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【创新设计】高考数学一轮复习 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理 新人教A版

第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交,则 P(a,b) A.在圆上 C.在圆内 解析 由 答案 B 2.圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为 A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0 2 2 2 2 ( ) B.在圆外 D.以上都有可能 1 a +b 2 2 <1,得 a +b >1,∴点 P 在圆外. 2 2 ( ) 3 解析 易知圆心 C 坐标为(2,0),则 kCP= =- 3, 1-2 所以所求切线的斜率为 3 .故切线方程为 3 y- 3= 答案 D 3 (x-1),即 x- 3y+2=0. 3 3.(2015?甘肃诊断考试)已知圆 O1:(x-a) +(y-b) =4,O2:(x-a-1) +(y-b-2) =1(a,b∈R),则两圆的位置关系是 A.内含 C.相交 2 2 2 2 2 2 ( B.内切 D.外切 ) 解析 由 O1:(x-a) +(y-b) =4 得圆心坐标为(a,b),半径为 2;由 O2: (x-a-1) +(y-b-2) =1 得圆心坐标为(a+1,b+2),半径为 1,所以两圆圆心之间 的距离为|O1O2|= 1 +2 = 5 ,因为|2-1|=1< 5<2+1=3,所以两圆相交,故选 C. 答案 C 4.若直线 y=kx 与圆(x-2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值 1 2 2 2 2 2 2 分别为 1 A.k= ,b=-4 2 1 C.k= ,b=4 2 2 ( 1 B.k=- ,b=4 2 1 D.k=- ,b=-4 2 2 ) 解析 因为直线 y=kx 与圆(x-2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称, 则y 1 =kx 与直线 2x+y+b=0 垂直,且 2x+y+b=0 过圆心,所以解得 k= ,b=-4. 2 答案 A 5.(2014?江西卷)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直 径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4 A. π 5 C.(6-2 5)π 3 B. π 4 5 D. π 4 ) 解析 由题意得以 AB 为直径的圆 C 过原点 O,圆心 C 为 AB 的 中点, 设 D 为切点, 要使圆 C 的面积最小, 只需圆的半径最短, 也只需 OC+CD 最小, 其最小值为 OE(过原点 O 作直线 2x+y- 4=0 的垂线,垂足为 E)的长度(如图).由点到直线的距离公 式得|OE|= A. 答案 A 二、填空题 6.(2015?青岛质量检测)直线 y=2x+1 被圆 x +y =1 截得的弦长为________. 解析 圆 x +y =1 的圆心 O(0,0),半径 r=1.圆心 O 到直线 y=2x+1 的距离为 d= 1 2 +(-1) 答案 4 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 .所以圆 C 面积的最小值为 π ? ? 2 ?2 4 ? = π .故选 ? 5? 5 = 5 2 2 ,故弦长为 2 r -d =2 5 1 4 5 1- = . 5 5 7.(2014?湖北卷)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x +y =1 分成长度相等的 四段弧,则 a +b =______. π 2 |a| 解析 由题意知,直线 l1 截圆所得的劣弧长为 ,则圆心到直线 l1 的距离为 ,即 2 2 2 2 2 2 = 2 2 ,则 a =1. 2 2 2 2 同理可得 b =1,则 a +b =2. 答案 2 8. (2014?重庆卷)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) +(y-a) =4 相交于 A, B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 解析 依题意,圆 C 的半径是 2,圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离等于 |1?a+a-2| 2 3,于是有 = 3,即 a -8a+1=0,解得 a=4± 15. a2+1 答案 4± 15 三、解答题 9.已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1) +(y+1) =12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. ? ?y=kx+1, 法一 (1)证明 由? 2 2 ?(x-1) +(y+1) =12, ? 2 2 2 2 3 ?2= 2 消去 y 得(k +1)x -(2-4k)x-7=0, 因为 Δ =(2-4k) +28(k +1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB|= 1+k |x1-x2| =2 8-4k+11k =2 2 1+k 2 2 2 2 2 2 4k+3 11- 2, 1+k 4k+3 2 令 t= 2 ,则 tk -4k+(t-3)=0, 1+k 3 当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 k∈R, 4 所以 Δ =16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0, 4k+3 故 t= 2 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k 法二 (1)证明 圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 d= |k+2| 1+k 2 ,圆 C 的半径 R=2 3,R 2 3 -d =12- 2 2 k2+4k+4 11k2-4k+8 2 = ,而在 S=11k -4k+8 中, 2 2 1+k 1+k Δ =(-4) -4?

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