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2016届高考数学一轮复习 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 1 章 第 3 节 简单的 逻辑联结词、全称量词与存在量词课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 1.下列结论正确的序号是________. ①命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1”;②“x=-1”是“x
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-5x-6=0”的必要不充分条件;③命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是“? x∈R, 均有 x +x+1<0”;④命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题. [解析] ①“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”,故①错误. ②若 x -5x-6=0,则 x=6 或 x=-1,所以“x=-1”是“x -5x-6=0”的充分不 必要条件,故②错误. ③命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是“? x∈R,均有 x +x+1≥0”,故③错 误. ④命题“若 x=y,则 sin x=sin y”为真命题,所以其逆否命题也是真命题,故④正 确. [答案] ④ 2.(2014·湖南高考改编)设命题 p:? x∈R,x +1>0,则綈 p 为________. [解析] 根据全称命题的否定为特称命题知. [答案] ? x∈R,x +1≤0 3.命题:“对任意 k>0,方程 x +x-k=0 有实根”的否定是________. [解析] 全称命题的否定是存在性命题,故原命题的否定是“存在 k>0,方程 x +x-
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

k=0 无实根”.
[答案] 存在 k>0,方程 x +x-k=0 无实根 4. 已知命题 p: 方程 x -mx+1=0 有实数解, 命题 q: x -2x+m>0 对任意 x 恒成立. 若 命题 p∨q 真、綈 p 真,则实数 m 的取值范围是________. [解析] 由綈 p 为真知,p 为假. 又 p∨q 真,则 q 为真. 由 p 为假知,Δ =m -4<0,即-2<m<2; 由 q 为真知,Δ =4-4m<0,即 m>1.综上知 1<m<2. [答案] 1<m<2 5.(2014·陕西高考改编)原命题为“若
2 2 2 2

an+an+1
2

<an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关

于其逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的有________个.

1

[解析]

an+an+1
2

<an?an+1<an?{an}为递减数列.

原命题与其逆命题都是真命题,所以其否命题和逆否命题也都是真命题. [答案] 3 6.已知 m,n 是不同的直线,α ,β 是不重合的平面. 命题 p:若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n; 命题 q:若 m⊥α ,n⊥β ,m∥n,则 α ∥β . 下面的命题中,①p∨q;②p∧q;③p∨綈 q;④綈 p∧q. 真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). [解析] ∵命题 p 是假命题,命题 q 是真命题. ∴綈 p 是真命题, 綈 q 是假命题, ∴p∨q 是真命题, p∧q 是假命题, p∨綈 q 是假命题, 綈 p∧q 是真命题. [答案] ①④ π? ? 7.(2014·无锡质检)若? θ ∈R,使 sin θ ≥1 成立,则 cos?θ - ?的值为________. 6? ? [解析] 由 sin θ ≥1,又-1≤sin θ ≤1,所以 sin θ =1. π? 1 π ? 所以 θ =2kπ + (k∈Z),故 cos?θ - ?= . 6? 2 2 ? [答案] 1 2
2

8.已知函数 f(x)=x ,g(x)=x-1,若? x∈R,使 f(x)<b·g(x)成立,则实数 b 的取 值范围是________. [解析] ∵? x∈R,f(x)<b·g(x), ∴? x∈R,x -bx+b<0, ∴Δ =(-b) -4b>0,解得 b<0 或 b>4. [答案] b<0 或 b>4 二、解答题 9.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)? T=2kπ ,k∈Z,sin(x+T)=sin x; (2)若直线 l⊥平面 α ,则对任意 l′? α ,l⊥l′; (3)若 an=-2n+10,则? n∈N ,使 Sn<0. [解] (1)原命题的否定为:? T=2kπ ,k∈Z,sin(x+T)≠sin x,假命题. (2)原命题的否定为:若直线 l⊥平面 α ,则存在 l′? α ,l 与 l′不垂直,假命题. (3)若 an=-2n+10,则对? n∈N ,Sn≥0,假命题. 10.已知命题 p:? m∈R,m+1≤0,命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 恒成立.若 p∧q
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2 * * 2 2

为假命题,求实数 m 的取值范围. [解] 易知命题 p 为真命题. 若命题 q 为真命题,则 Δ =m -4<0,即-2<m<2.
?m+1≤0, ? 若 p∧q 为真命题,有? ? ?-2<m<2,
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所以-2<m≤-1.

所以 p∧q 为假命题时,实数 m 的取值范围为{m|m≤-2 或 m>-1}. [B 级 能力提升练] 一、填空题 1.(2014·湖北高考改编)命题“? x∈R,x ≠x”的否定是________. [解析] 全称命题的否定,需要把全称量词改为特称量词,并否定结论. 【答案】 ? x∈R,x =x 2.已知命题 p:? x∈R,使 tan x=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},给 出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈 q)”是假命题;③命题“(綈 p) ∨q”是真命题;④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题.其中正确的序号是________. [解析] 命题 p:? x∈R,使 tan x=1 是真命题,所以綈 p 是假命题, 命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也是真命题.所以綈 q 是假命题,所以①②③ ④正确. [答案] ①②③④ 二、解答题 3.已知命题 p:函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调递增;命题 q:不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立,若 p∨q 是真命题,求实数 a 的取值范围. [解] 命题 p 为真时,0<a<1,从而命题 p 为假时,a≤0 或 a≥1. 若命题 q 为真,当 a-2=0,即 a=2 时,-4<0 符合题意.
? ?a-2<0, 当 a≠2 时,有? 2 ?Δ =4?a-2? +16?a-2?<0, ?
2 2 2 2 2

即-2<a<2. 故命题 q 为真时-2<a≤2;q 为假时 a≤-2 或 a>2. 若 p∨q 为假命题,则命题 p,q 同时为假命题. 即?
? ?a≤0或a≥1, ?a≤-2或a>2, ?

∴a≤-2 或 a>2.

∴p∨q 为真命题时-2<a≤2.

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