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四川省岳池县第一中学高中数学1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质导学案理(无答案)新人教A版选修2_3

§1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质 学习目标 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受 集合语言的意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 课前预习案 教材助读 (预习教材 P32~ P35,找出疑惑之处) 复习 1:写出二项式定理的公式: r ⑴ 公 式 中 Cn 叫做 , 表示 二项展开式的通项公式 ,通项为展开式的第 项,各项次数都为 项. 是 ,用符号 ⑵ 在 (a ? b) n 展 开 式 中 , 共 有 是 , b 的 次 数 规 律 是 是 , a 的次数规律 , 各 项 系 数 分 别 . ? 2 ? ? 复习 2:求 ? ? x? ? x? ? 10 展开式中的第 4 项二项式系数和第 4 项的系数. 课内探究案 一、新课导学 探究点一:杨辉三角 问题 1:在 (a ? b) 展开式中,当 n=1,2,3,?时,各项的二项式系数有何规律? n ?a ? b?1 ?a ? b?2 ?a ? b?3 ?a ? b?4 ?a ? b?5 ?a ? b?6 新知 1:上述二项式系数表叫做“杨辉三角” ,表中二项式系数关系是 探究任务二 r 问题 2:设函数 f ?r ? ? Cn ,函数的定义域是 二项式系数的性质 ,函数图象有何性质?(以 1 n=6 为例) 探究点二: 二项式系数的性质 ⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是 r ? n . 2 试试: ① 在(a+b) 展开式中,与倒数第三项二项式系数相等是( A 第2项 B 第3项 C 第4项 D 第5项 6 ) ② 若 a ? b n 的展开式中,第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等,则 n = . 反思:为什么二项式系数有对称性? ⑵ 增减性与最大值 :从图象得知,中间项的二项式系数最 ,左边二项式系数逐渐 , 右边二项式系数逐渐 . 当 n 是偶数时,中间项共有 项,是第 项,它的二项式系数是 ,取得最大值; 当 n 是奇数时,中间项共有 项,分别是第 项和第 项,它的二项式系数分别是 和 ,二项式系数都取得最大值. 试试: (a ? b) 的各二项式系数的最大值是 n ? ? ⑶ 各二项式系数的和: n 在 (a ? b) 展开式中,若 a ? b ? 1 ,则可得到 0 1 r n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 即 1 2 r n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 二、合作探究 例 1 求 ?1 ? 2 x ? 的展开式中系数最大的项. 10 变式:在二项式(x-1) 的展开式中, 小的项和最大的项. n 11 ⑴ 求二项式系数最大的系数的项; ⑵ 求项系数最 小结:在 (a ? b) 展开式 中, 要正确区分二项式系数和项系数的不同,可以利用通项公式, 找到二项式系数和项系数的关系来达到目的. 例2 证明:在 (a ? b) 展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. n 2 1 3 5 11 变式:⑴ 化简: C11 ; ? C11 ? C11 ? ? ? ? ? C11 0 1 2 n ⑵ 求和: Cn . ? 2Cn ? 2 2 Cn ? ? ? ? ? 2 n Cn 小结:取特殊值法(又称赋值法)在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ,除此之外 还有倒序相加法. ※ 动手试试 练 1. ① 在 (1+x) 的展开式中,二项式系数最大的是第 项为 可) ② 在(1-x) 的展开式中,二项式系数最大的是 第 项为 . (用符号表示即可) 练 2. 若 ?1 ? 2x? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a7 x 7 , 7 11 10 ; (用符号表示即 则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a7 ? , a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? . a 0 ? a 2 ? a 4 ? a6 ? 【归纳总结】 ※ 学习小 结 ?对称性 1. 二项式系数的三个性质?增减性与最大值 2. 数学方法 : 赋值法和递推法 ? ?各二项式系数的和 ? ※ 知识拓展 早在我 国南宋数学家杨辉 1261 年所著的 《详解九章算法》 一书里这个表称为杨辉三角。 杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元 11 世纪)已经用过 它。这表明我国发现这个表不晚于 11 世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡 (1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三角的发现要 比欧洲早五百年左右. 三、当堂检测 1. 在 ? x ? ? ? 1 ? ? 的展开式中,系数最大的项是 x? 项; 99 12 第 2. 在 ?1 ? x ? 的展开式中,二项式系 数最大的是 第 项,项系数最小的项是第 项; 1 2 9 3. 计算 310 ? 39 C10 ? 38 C10 ? ?? 3C10 ?1 = 3 2 9 4. 若 ?1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a9 x ,则 a1 ? a2 ? ? ? a9 = 9 ; 5. 化简: 0 1 n Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 0 1 n ?1 Cn ?1 ? C n ?1 ? ? ? ? ? C n ?1 四、课后反思 课后训练案 1. ⑴ 求 ? ? x 3 ? ? 展开式的中间一项; ? ? 3 ? x ? ? 12 ⑵ 求 x y?y x ? ? 15 展开式的中间两项. 2. 已知 ?1 ? x ? 的展开式中第 4 项与第 8 项 的二项式系数相等,求这两项的

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