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惠州市2016届高三数学第一次调研考试试题(理)


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考试时间:2015 年 7 月 1 日 15:00-17:00

惠州市 2016 届高三第一次调研考试
理科数学 注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考 证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(CU A) B 为( 1、已知全集 U ? ?0, 1, 2, 3, 4? ,集合 A ? ? 1 , 2, 3? , B ? ?2, 4? , 则
1, 2, 4? (A) ?
2、复数 1 ?

) .

3, 4? (B) ?2,

2, 4? (C) ?0,
) .

2, 3, 4? (D) ?0,

5 ( i 是虚数单位)的模等于( 2?i
(B) 10 ) .

(A) 10

(C) 5

(D) 5

3、下列命题中的假命题是( (A) ?x ? R, lg x ? 0 (C) ?x ? R,2 x ? 0

(B) ?x ? R, tan x ? 0 (D) ?x ? R, x 2 ? 0 ) .

4、已知向量 m ? (a, ?2), n ? (1,1 ? a) ,且 m // n ,则实数 a =( (A)-1 (B)2 或-1 (C)2

(D)-2 ) .

5、 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 7, b ? 3, c ? 2, 则?A =( (A) 30
?

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 90 ).

?

6、已知函数 f ( x ) ? ? (A)

?log 3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) =(

1 9

1 1 主视图 1 1 俯视图 1 侧视图

1 2

(B)

1 4

(C)

1 6

(D)

1 8

7、已知某几何体的三视图如右图所示,正视图和侧视图是边长为 1 的正方形,俯 视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( (A) 2 (B) 1 (C) ) .

1 2

(D)

1 3

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?x ? y ?1 ? 0 ? 8、已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 0 ?
(A) ?2 9、函数 f ( x) ? sin (A) 3? (B) 2 (C) 1 (D) ?1 )



2 2 x ? cos x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( 3 3 4 3 7 (B) ? (C) ? (D) ? 3 2 6

10、设 ? , ? , ? 为不同的平面, m, n, l 为不同的直线,则 m ? ? 的一个充分条件为( (A) ? ? ? , ?



? ?l ,m ? l

(B) ?

? ? m ,? ? ? , ? ? ?

(C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

(D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

11、将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读,则每所大学至少 保送 1 人的不同保送方法数为( (A)150 12、已知抛物线 y ? (B)180 )种。 (C)240 (D)540

1 2 y2 x 与双曲线 2 ? x 2 ? 1(a ? 0) 有共同的焦点 F , O 为坐标原点, P 在 x 轴上方且 8 a

在双曲线上,则 OP ? FP 的最小值为( (A) 3 ? 2 3 (B) 2 3 ? 3

uu u r uur

) . (C) ?

7 4

(D)

3 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。第22题~第24题为 选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? 2 5 1 4 ) 的展开式中常数项为 14、 ( x ? 3x
13、若 sin( 15、

?

. . (用数字表示)

? ? (1 ? cos x)dx =
2 ? 2

?



s1 ? 1, s2 ? 2 ? 3 ? 5, s3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 15, s4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 34, s5 ? 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 65, LLLLLLL

16、如下面数表为一组等式:某学生猜测 S2n?1 ? (2n ? 1)(an2 ? bn ? c) , 若该学生回答正确,则 3a ? b ? .

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三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (满分 12 分) 已知 {an } 为等差数列,且满足 a1 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 12 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

18、 (满分 12 分) 一个盒子中装有大量 形状大小一样但重量不尽相同的小球, 从中随机抽取 50 个作为样本, 称出它们的重 .. 量(单位:克) ,重量分组区间为 ?5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ?35,45? ,由此得到样本的重量频率分布直方图 (如右图) , (Ⅰ)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值; (Ⅱ)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在 ?5,15? 内的小球个数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

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19、 (满分 12 分) 如 右 图 , 三 棱 柱 ABC 中 , AB ? AC ? AA1 ? BC1 ? 2 , ?AAC ? 1A 1B 1C 1 1 ? 60? , 平 面 ABC1 ? 平 面

D; (Ⅰ)求证: BD ? 平面 AAC (Ⅱ)求二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值. AAC 1 1C , AC1 与 AC 1 相交于点 1 1C ;

B1 C1 D A1

B

C

A

20、 (满分 12 分)

y 2 x2 2 如图, 曲线 C 由上半椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和部分抛物线 C2 : y ? ?x ? 1 ( y ? 0) a b
连接而成, C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于 P, Q (均异于点 A, B ) ,若 AP

3 ; 2

? AQ ,求直线 l 的方程.
y

A

B

O

x

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21、 (满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? , g ? x ? ? ?x ? ? a ?1? x ? a (其中 a ? R ).
2

2

(Ⅰ)如果函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 有相同的极值点,求 a 的值,并直接写出函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)令 F ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? ,讨论函数 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上零点的个数。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 为⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于 E , AD 垂直 CD 于 D , BC 垂直 CD 于 C , EF 垂 直 AB 于 F ,连接 AE , BE . 证明: (Ⅰ) ?FEB ? ?CEB ; (Ⅱ) EF ? AD ? BC .
2

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23、 (满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1? t ,以该直角坐标系的原点 O 为极点, (t 为参数) ?y ? 2 ? t

x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,圆 C 2 的方程为 ? ? ?2 cos? ? 2 3 sin ? .
(Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C 2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C 2 的交点为 A 、 B ,求弦 AB 的长.

24、 (满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 m ? 1 且关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 的解集为 [0, 4] ; (Ⅰ)求 m 的值;
2 2 (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.

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惠州市 2016 届高三第一次调研考试 理科数学参考答案与评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 1—6:C、A、D、B、C、B; 7—12:C、B、C、D、A、A;

4?,又 B ? ?2, 1、 4? ,故选 C;2、 【解析】 CU A ? ?0, 【解析】 1 ?
3、 【解析】对选项 D,由于当 x ? 0 时, x 2 ? 0 ,故选 D.

5 ? 3 ? i ,故模为 10 ,故选 A. 2?i

4、 【解析】因为 m // n ,所以 a(1 ? a) ? ?2 ,解得 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,故 a ? ?1或a ? 2 ,故选 B. 5、 【解析】由余弦定理 cos A ? 6、 【解析】 f ( ) ? log 3

b2 ? c 2 ? a 2 9 ? 4 ? 7 1 ? ? ,又由 A ? (0?,180?) ,得 A ? 60? ,故选 C. 2bc 2 ?3? 2 2

1 1 1 1 ? ?2 , f (?2) ? 2 ? 2 ? ,所以 f ( f ( )) ? ,故选 B. 9 4 9 4 1 1 7、 【解析】该几何体为直三棱柱,故体为 V ? Sh ? ?1? 1? 1 ? ,故选 C. 2 2
8、 【解析】 由于可行域为三角形,且三角形的三个顶点分别为 (0, ?1) ,(1, 0) ,(0,1) ,所以最优解为 (0,1) 时 可使目标函数取得最大值为 2,故选 B. 9、 【解析】 f ( x) ? sin

1 9

2 2 ?? 2? ?2 x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? ,周期 T ? ? 3? ,相邻的两条对称轴间距离为 3 3 4? ? ?3

1 3? T ,所以距离为 ,故选 C. 2 2
10、 【解析】对于选项 A,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件 m?α,故不正确; 对于选项 B,因为 α 与 β 可能平行,也可能相交,所以 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 C,因为 α 与 β 可能平行,也可能相交,所以 m 与 β 不一定垂直,故不正确; 对于选项 D,由 n⊥α,n⊥β,可得 α∥β,而 m⊥α,则 m⊥β,故正确,故选 D.
1 1 2 11、 【解析】分为两类,第一类为 2+2+1 即有 2 所学校分别保送 2 名同学,方法数为 C3C5C4 ? 90,第二类

为 3+1+1 即有 1 所学校保送 3 名同学,方法数为 C3C5 A2 ? 60 ,故不同保送的方法数为 150 种,故选 A.
1 3 2

12、 【解析】抛物线 y ?

1 2 y2 x ? x 2 ? 8 y ,焦点 F 为 (0, 2) ,则双曲线 2 ? x 2 ? 1的 c ? 2 ,则 a 2 ? 3 ,即双 8 a

曲线方程为

1 2 y2 2 ? x 2 ? 1,设 P(m, n) , (n ? 3) ,则 n2 ? 3m2 ? 3 ? m ? n ? 1 , 3 3

u r uur 则 uu

OPgFP ? (m, n)g(m, n ? 2)

1 4 3 7 ? m 2 ? n 2 ? 2n ? n 2 ? 1 ? n 2 ? 2n ? ( n ? ) 2 ? , 3 3 4 4

因为 n ? 3 ,故当 n ? 3 时取得最小值,最小值为 3 ? 2 3 ,故选 A;
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二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13、 ?

7 25

14、

13、 【解析】 sin(

?

2 3

15、 ? ? 2

16、 4 ;

2

??) ?

3 3 7 ? cos ? ? ,则 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? . 5 5 25

14、 【解析】 ( x ?

1 4 1 1 r 4? r r 4? 2 r ) 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C 4 x (? ) r x ?r ? C 4 x (? ) r ,故常数项为 3x 3 3

1 2 2 T3 ? C 4 (? ) 2 ? 3 3
15、 【解析】

( 1 ? cos x) dx ? ( x ? sin x) ??
2 ? 2

?

?
2 ?

?
2

?? ?2

?a ? b ? c ? 1 ? 16、 【解析】可由待定系数法求得 ?4a ? 2b ? c ? 5 ,解得 a ? 2, b ? ?2, c ? 1 ,所以 3a ? b ? 4 ?9a ? 3b ? c ? 13 ?
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (满分 12 分) 【解】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

………………2 分

解得 a1 ? 2, d ? 2 …………………………………………………………4 分 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ,得 an ? 2n …………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) ? n 2 ? n 2 2

……………8 分

∴ a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) , Sk ? k 2 ? k
2 2 2 因 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,所以 ak ?1 ? a3 Sk ,从而 (2k ? 2) ? 6(k ? k ) ,………10 分



k 2 ? k ? 2 ? 0 , k ? N * ,解得 k ? 2 或 k ? ?1 (舍去)
…………………………………12 分

∴ k?2 18、 (满分 12 分)

【解】 (Ⅰ)由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018? ?10 ? 1,解得 a ? 0.03 ;………………………1 分 又由最高矩形中点的的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20(克) ,………2 分 而 50 个样本小球重量的平均值为: X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6 (克) 故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克; ………………4 分

(Ⅱ)利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 ? 5,15? 内的概率为 0.2 ,………………………5 分
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则 X ? B (3, ) . X 的可能取值为 0 、 1 、 2 、 3 ,………………………6 分

1 5

64 48 ?1? ? 4? 1?1? ? 4? , P ? X ? 1? ? C3 , P ? X ? 0? ? C ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3

0

3

2

1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? ? 4? , P ? X ? 3? ? C3 . …………10 分 P ? X ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
2 3

2

3

0

? X 的分布列为:

X

0

1
48 125

2
12 125

3

P

64 125

1 125

? EX ? 0 ?

1 3 64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? .(或者 EX ? 3 ? ? )………………12 分 5 5 125 125 125 125 5

19、 (满分 12 分)

D 是 AC1 的中点,因为 BA ? BC1 ,所以 BD ? AC1 ,……2 分 【解】(Ⅰ)依题意,侧面 AAC 1 1C 是菱形,

BD ? 平面 ABC1 ,平面 ABC1 又平面 ABC1 ? 平面 AAC 1 1C ,且

平面 AAC 1 1C ? AC1

所以 BD ? 平面 AAC 1 1C .…………………………………………5 分 (Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知 BD ? 平面 AAC 1 1C , CD ? 面 AAC 1 1C ,所以 CD ? BD , 又 CD ? AC1 , AC1

BD ? D ,所以 CD ? 平面 ABC1 ,

B1 C1

B

过 D 作 DH ? AB ,垂足为 H ,连结 CH ,则 CH ? AB , 所以 ?DHC 为二面角 C1 ? AB ? C 的平面角. …………8 分 在 Rt?DAB 中, AD ? 1, BD ? 3, AB ? 2 , 所以 DH ?
A1 第 18 题 H C

D A

AD ? DB 3 15 2 2 , CH ? DH ? DC ? ……10 分 ? AB 2 2

所以 cos ?DHC ?

DH 5 5 ? ,即二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值是 . ……………12 分 CH 5 5

[向量法]以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示, …………………………………6 分 由已知可得 AC1 ? 2, AD ? 1, BD ? A 1D ? DC ? 3, BC ? 6 故 D ? 0, 0, 0 ? , A ?1, 0, 0 ? , B 0, 0, 3 , C1 ? ?1, 0, 0 ? , C 0, 3, 0 , 则 AB ? ?1, 0, 3 , BC ? 0, 3, ? 3 , 设平面 ABC 的一个法向量是 n ? ? x, y, z ? ,
z B1 C1 B

?

?

?

?

uu u r

?

?

uuu r

?

?

……………8 分
A1

C

y

D A
第 18 题

x

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uu u r ? ? ? ? x ? 3z ?? x ? 3z ? 0 ? AB ? n ? 0 则 ? uuu ,即 ? ,解得 ? r ? ? ?y ? z ? ? 3 y ? 3z ? 0 ? BC ? n ? 0 uuu r 显然 DC ? 0, 3, 0 是平面 ABC1 的一个法向量,

令 z ? 1 ,得 n ?

?

3,1,1 …………9 分

?

?

?

………10 分

uuu r uuu r 5 n ? DC 3 5 所以 cos ? n, DC ?? ,即二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值是 .………12 分 ? uuu r ? 5 5 5? 3 n DC
20、 (满分 12 分) 【解】(Ⅰ)因为抛物线 y ? ? x2 ? 1与 x 轴交于点 (?1, 0), (1, 0) ,所以 b ? 1 …………………………1 分 由因为 e ? 1 ?

y2 b2 3 1 2 ? x 2 ? 1………………………3 分 ,所以椭圆方程为 ? ? 1 ? ? a ? 4 2 2 4 a 2 a

(Ⅱ)因为 B(1,0) ,若过点 B 的直线 l 斜率不存在时,不满足题意,所以直线 l 斜率存在,……………4 分 设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,………………………5 分

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 联立 ? y 2 ? (k 2 ? 4) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ? ? ?(k ? 4) x ? (k ? 4) ? ? ( x ? 1) ? 0 ……………7 分 2 ? x ? 1 ? ? 4
? x1 ?

? k 2 ? 4 ?8k ? k2 ? 4 k2 ? 4 ?8k y ? k ( x ? 1) ? k ( ? 1) ? y ? ,所以 ,所以 P , 2 1 1 1 ? 2 ? ………8 分 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 ?k ?4 k ?4?

联立 ?

? y ? k ( x ? 1) ? x2 ? kx ? k ? 1 ? 0 ? ( x ? k ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x2 ? ?k ? 1 ………………………9 分 2 ? y ? ?x ?1
2

所以 y2 ? k ( x2 ?1) ? k (?k ? 2) ? y1 ? ?k 2 ? 2k ,所以 Q(?k ? 1, ?k ? 2k ) …………………………10 分 由 AP

uu u r uuu r ? k2 ? 4 ?8k ? 2 ? AQ ? AP ? AQ ? 0 ? ? 2 ? 1, 2 ? ?(?k , ?k ? 2k ) ? 0 …………………………11 分
?k ?4 k ?4?
8 3 8 3

化简得 3k ? 8 ? 0 ,所以 k ? ? ,所以直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 1) 即 8 x ? 3 y ? 8 ? 0 ……12 分 21、 (满分 12 分)
3 2 2 【解】(Ⅰ) f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x ? 2ax ? a x , 2

则 f ? ? x ? ? 3x ? 4ax ? a ? ?3x ? a ?? x ? a ? ,
2 2

…………………………………………1 分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? a 或 所以

a a ?1 ,而二次函数 g ? x ? 在 x ? 处有极大值, 3 2
…………………………………………3 分 ………………………4 分
10

a ?1 a ?1 a ?a或 ? ,解得 a ? ?1 或 a ? 3 ; 2 2 3

当 a ? 3 时, f ? x ? 的递增区间为 ? ??,1? , ? 3, ??? ,递减区间为 ?1,3? .
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当 a ? ?1 时, f ? x ? 的递增区间为 ? ??, ?1? , ? ? , ?? ? ,递减区间为 ? ?1, ? ? . ……………5 分
2 ( Ⅱ) f ? x ? ? g ? x ? ? x ? x ? a ? ? ? ? ? x ? ? a ? 1? x ? a ? ? ? x ? x ? a ? ? ? x ? a ?? x ? 1? 2
2 2 ? ? x ? a? ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1? ?, 2

? 1 ? 3

? ?

? ?

1? 3?

……………………………………6 分

令 h ? x ? ? x2 ? ?1 ? a ? x ? 1 , ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? ? a ? 1?? a ? 3? , ①、当 ? ? 0 即 ?1 ? a ? 3 时, h ? x ? ? 0 无实根,故 y ? F ( x) 的零点为 x ? a ?? ?1,3? ,满足题意, 即函数 y ? F ( x) 有唯一零点 x ? a ?? ?1,3? ; ②、当 ? ? 0 即 a ? ?1 或 a ? 3 时, 若 a ? ?1 ,则 h ? x ? ? 0 的实数解为 x ? ?1 ,故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有唯一零点 x ? ?1 ; 若 a ? 3 ,则 h ? x ? ? 0 的实数解为 x ? 1 ,故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有两零点, x ? 1 或 3 ;……8 分 ③、当 ? ? 0 即 a ? ?1 或 a ? 3 时, 若 a ? ?1 ,由于 h ? ?1? ? a ? 1 ? 0, h ?0 ? ? 1, h ?3 ? ? 13 ? 3a ? 0 , 此时 h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上有一实数解,故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有唯一零点; ……9 分 若 a ? 3 时,由于 h ? ?1? ? a ? 1 ? 4, h ? 0? ? 1 ? 0, h ?3? ? 13 ? 3a , 当 13 ? 3a ? 0 即 a ? ………………………………………7 分

13 时,数形结合可知 h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上有唯一实数解, 3

故 y ? F ( x) 在区间 ? ?1,3? 上有唯一零点;……………………………………………………10 分 若 13 ? 3a ? 0 即 3 ? a ?

13 a ?1 a ?1 5 ? , 时,由于 y ? h( x) 的对称轴为 x ? ,故 1 ? 3 2 2 3

又 h(1) ? 1 ? 0, h(3) ? 13 ? 3a ? 0, 且 ? ? 0 , 所以 h( x) 在区间 ?? 1,3? 上有两个不等零点. ………………………………………………11 分 综上,当 a ? 3 或 a ? 当3 ? a ?

13 时,函数 y ? F ( x) 有唯一零点; 3

13 时,函数 y ? F ( x) 有两不相等的零点。……………………………………12 分 3

考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,评卷时请注意看清题号。 22、 (满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 【证明】 (Ⅰ)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠ CEB=∠ EAB. …………………………………………1 分 π 由 AB 为⊙ O 的直径,得 AE⊥ EB,从而∠ EAB+∠ EBF= ;………………………3 分 2 π 又 EF⊥ AB,得∠ FEB+∠ EBF= ,从而∠ FEB=∠ EAB. 故∠ FEB=∠ CEB.……5 分 2
11

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(Ⅱ)由 BC⊥ CE,EF⊥ AB,∠ FEB=∠ CEB,BE 是公共边,得 Rt△ BCE≌ Rt△ BFE,………6 分 所以 BC=BF. 类似可证,Rt△ ADE≌ Rt△ AFE,得 AD=AF. ………………………………………………8 分 又在 Rt△ AEB 中,EF⊥ AB,故 EF2=AF· BF,所以 EF2=AD· BC. ………………………10 分 23、 (满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 【解】 (Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 …………………………2 分 圆 C2 的直角坐标方程 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,……………………………………4 分 所以圆心的直角坐标为 (?1, 3) ,因此圆心的一个极坐标为 (2, (答案不唯一,只要符合要求就给分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心 (?1, 3) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

2? ) . …………6 分 3

?1 ? 3 ? 1 2

?

6 ,………8 分 2

所以 AB ? 2 4 ?

6 ? 10 .………………………………………………………………10 分 4

24、 (满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【解】 (Ⅰ)因为 m ? 1 ,不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 ,…………………1 分 ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,………………………………3 分

∵其解集为 [0, 4] ,∴ ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 , (方法一:利用基本不等式)

?3 ? m ? 0 , m ? 3 . ………………………………5 分 ?m ? 1 ? 4

∵ (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? 2(a ? b ) ,…………………8 分
2 2 2 2 2 2
2 2 ∴a ?b ?

9 9 2 2 ,∴ a ? b 的最小值为 .…………………………………………10 分 2 2

(方法二:利用柯西不等式) ∵ (a ? b ) ? (1 ? 1 ) ? (a ?1 ? b ?1) ? (a ? b) ? 9 ,……………………………8 分
2 2 2 2 2 2
2 2 ∴a ?b ?

9 9 2 2 ,∴ a ? b 的最小值为 .…………………………………………10 分 2 2

(方法三:消元法求二次函数的最值)
2 2 2 2 2 2 ∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a ,∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?
2 2 ∴ a ? b 的最小值为

3 2

9 9 ? , 2 2

………9 分

9 . 2

……………………………………………………10 分

快乐的学习,快乐的考试!

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