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确定范围三角函数中求角的一道坎


8 % % H年第 :期

中学数学月刊

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确定范围 !! 三角函数中求角的一道坎
冯 寅 浙江省湖州中学 " # $ # % % % & 求角是三角函数中 的一个重 要 问题 ’ 它 包 括 了三角函数中 的主要思 想和 方 法 ’ 所以 在 三 角的学习中 ’ 我们应 该对求角 的 问 题 进 从中我们 可以发现 确 定 角 的 行 仔细的研究 ’ 范围是求角必须逾越的一道坎 ( ) 从单调区间选择函数 例 ) 已知 * 且 , ’ +都 是 锐 角 ’ .*/ 01 0$ %求 ’ , .+/ ’ * 2 +的值 ( 1 $ % 分析 此题已知 * 应该求 * ’ +的正弦 ’ 那么求正弦和求余弦是 2 +的正弦 或 余 弦 ( 否 相同呢 3 我们再看角 * 因为 * 2 +的范围 ( ’ 所以 % 而在这个区 4* 2+ 45 ’ +都是锐角 ’ 间内 ’ 正弦不是单调函数而余弦是单调函数 ’ 因此 ’ 我们应该求余弦 ( 01 因为 * 且 , ’ +都 是 锐 角 ’ .*/ ’ 1 , .+/ 0$ % 所以 80 1 ’ 6 7 ,* / ’ 6 7 ,+/ $ % 1 定求 * 28 +的正切值 ( 因为 < = .8 +/

8 < = .+ # 所以 / ’ 8 : $9 < = . + < = .* 2< = .8 + /$ ( < = . " * 28 + &/ $9 < = .* < = .8 + 又因为 * 所以 %4 * ’ +都是锐角 ’ 28 + 4

# 5 ( 8 而在 这 个 范 围 内 ’ 角 *2 8 +不 能 确 定 ( 此时 ’ 我们再回到条件来分 析如 下 ? 因为 * ’ + $ $ 所以角 都是锐角 ’ 且< = .* / ’ < = .+/ ’ > # 和 是惟一确定的 那么 问 题的 关键是 我 * + ( ’ 们对角 * 28 +的范围的判断不够精确 (

$ 因 为 *是 锐 角 且 < = . */ 4 $/ > 5 所以 5 同理 5那 % 4* 4 ( % 4+ 4 ( < = . ’ : : : # 5 因此 5 么’ %4 * 28 +4 ’ ’ * 28 +/ ( : : $ 例 @ 已知 < = . " *9 + &/ ’ < = .+/ 8 $ 求8 9 ’且 * ’ +A " % ’ 5 & ( * 9 +的值 ( > 分析 < = .*/ < = . B " *9 + &2 + C/ < = . " * 9+ &2 < = .+ / $9 < = . " * 9+ &D < = .+ $ ( # < = . " 8 *9 + &/ < = . B *2 " *9 + & C/ $ $ 9 8 > / $ $ $2 E 8 >

# 0$ % 因此 ’ ’ 6 7 , " *2 + &/ 6 7 ,* 6 7 ,+9 $ % , .* , .+ / 0 8 又因为 所 ( % 4* 2+ 4 5’ 8 5 以* 2 +/ ( : 从条件和过程中压缩范围 ; 一些三角函数问题往往在已知条件中会 对 角作某种限制 ’ 如已知 其某个函 数 值 或 是 等等 ( 当我们需要更精确的角 三角形的内角 ’ 的 范围的时候 ’ 我们可以 从这些条 件 中 进 行 挖掘 ( $ 例; 若* 且< ’ +都是锐角 ’ = .* / ’ > $求 < = .+/ ( * 28 +的值 ( # 分析 万方数据 题目给定了角 * 和 +的正切值 ’ 联 想 两 角和与倍角的 正切公式 ’ 我们 可 以 确

$ $ 2 # 8 /$ ( $ $ $9 E # 8 而 已知 * 则8 ’ + A" % ’ 5 & ’ * 9+ A" 95 ’ 那么 ’ 符合条件的角有三个 ( 思考是否真 8 5 & ’ 有三个角呢 3 我们来对角的范围进行压缩 (

$ 因为 < 则 54 + = .+/9 ’ + A" % ’ 5 & ’ > 8

Q+ , Q

中学数学月刊

/ , , -年第 1期 5 6 ’( .5 6 ’0). 5 6 ’4 $ : 由8 可得 9 507 8 9 54) 8 9 5( # 8 9 5( .8 9 50) 8 9 54 $ ; 把 :# ; 两式平方相加得 < * ./ 8 9 5 = ( .

这样的压缩还是不够的 $ 从我们的解题 !" # *而 中我们可以发现 # 我们求出了 % & ’( ) # + 这个结论帮助我们了解了角 ( 的真正范围可 " 以是 ,! ( ! $ " 那么 因 此# ." !/ ( . 0!. # / ( . + " 0). $ 1 2 从结构中观察 有些三角等式的结构本身就具有某种特 点# 这些特点能反映角与角之间的一些联系 # 根 据 角的这些联系 # 我们也 可 以 进 一 步 明 确 角的范围 $ 例 3 设 ( 且 5 # 0 # 4都 是 锐 角 # 6 ’(7 求 5 6 ’4) 5 6 ’0 # 8 9 507 8 9 54 )8 9 5( # ( . 0的值 $ 分析 由5 可得 6 ’( 75 6 ’4) 5 6 ’0 #

* $ / 因为 ( 所以 . " ! ( .0 # 0都是锐角 # / " 在这个区间内 ! # # ( . 0的大小无法惟一 / 确定 $ 观察 条 件 的 结 构 # 我 们 发 现 角 4在 消 去 即8 0 >7 *) * # 9 5 = ( .0 >) 后 没 有任何作用 # 而题目却赋予它锐 角 的 特

征 #由 此 我 们 思 考 # 因为 5 6 ’(. 5 6 ’0) 则5 又因为函数 ? .5 6 ’4! , # 6 ’( !5 6 ’0 #

" 上是增函数 因此 )5 6 ’@在 = , # > # # ( .0 ! / " " 故( 那么 # .0 !, # .0 ). $ , # . !( / +

一交二垂三中 B 解题策略 A
刘 飚 王克亮 江 苏 省 暨 阳 高 级 中 学 = 江苏省射阳县教育局教研室 = / * C , , > / / 1 + , , >

任何一种策略都是针对某一类或某一 个 特 定的具体问题而言的 # 现在我们所关心 的问题是 < 对于所给圆锥曲线和一条直线 # 要 求判断圆锥曲线上是否存在两点关于该直线 对称及其相关问题 $ 说得更清楚一些是 < 已知 圆锥曲线 D的方程为 E 直线 F 的 = @ # ? >) , # 方程为 G 其中 G 中有两 @7 H ?7 I ), = # H # I 个已知 # 还有一个为待定参数 > 试问 < 在圆锥 $ 曲 线 D上是否存在两点 J# 对称 K关于直线 F 如图 *所示 > 若存在 # 求出待定参数的取值 = L 范围 $ 弄清了题意之后 # 我们可作如下分析 < 假设圆锥曲线 D上存在两点 J= @ # ? > # * * 关于直线 F 对称 # 且线段 J # ? > K的中点 K = @ / / 万方数据 为 M= 首 先 因 为 J# @ # ? > $ K两点都在圆锥 , ,

曲 线 D上 # 故直线 J K与 曲 线 D有 两 个 不 同 的 交 点N 其 次# 因 为 J# K两点 关于直线 F 对 称# 所以直 线J 垂直且点 K 与直线 F 上$ M 一定在直线 F 由 此# 我们不难得到 这类问题的解题原理是 < 交B 直线 J = * > A < K 与圆锥曲线 D相交于 不同的两点 N 垂B 直线 J = / > A < KO 直线 F N 中B 直线 其中 @ = + > A < M= @ # ? >P J K # , , * 7@ @ # ? ? $ /) / , *7 ? /) / , 对于 这 三 个 要 求 # 我们可联想到下面的 一些应对策略 $
图*


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