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4.2.1.直线与圆的位置关系9


若把地平线看作一条直线,太阳看作一个圆,根据 日落的过程,你能得出直线与圆有几种位置关系?

长大 河漠 落孤 日烟 圆直

4.2

直线、圆的位置关系

二、新授讲解

切点 切线

交点

交点

割线

相离

相切

相交

直线和圆的位置关系可用直线和圆的公共点的个数来 定义,即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两个 公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。

思考:在初中,我们怎样判断直线 与圆的位置关系?现在,如何用直 线的方程和圆的方程判断它们之间 的位置关系?
方法一:判断直线与圆的位置关系,就是看 由它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二:可以根据圆心到直线的距离与半径长的 关系判断直线与圆的位置关系。

三、例题讲解
例1、如图,已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关 系;如果相交,求它们的交点坐标。
解法一: ?3x ? y ? 6 ? 0 ? 2 2 x ? y ? 2y ? 4 ? 0 ?

y

l B

? x ? 3x ? 2 ? 0
2

? ? ? (?3)2 ? 4 ?1? 2 ? 1 ? 0

C O

? 相交
由 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,解得

.

A x

? 交点坐标为(2,0),(1,3)

x1 ? 2, x2 ? 1

解法二:原方程化为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 圆心坐标(0,1)

半径为 5 圆心到直线L的距离 d ?

3? 0 ?1 ? 6 32 ? 12

?

5 ? 5 10

? 直线L与圆相交有两个公共点

㈠代数法步骤: ⒈将直线方程与圆的方程联立成方程组 ⒉利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程 ⒊求出其判别式△的值 ⒋比较△与0的大小关系,若△>0,则直线与圆相交;若 △=0,则直线与圆相切;若△<0,则直线与圆相离。 ㈡几何法步骤: ⒈把直线方程化为一般式,求出圆心和半径 ⒉利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 ⒊作判断:当d>r 时,直线与圆相离;当d=r 时,直线与 圆相切;当d<r 时,圆与直线相交。

例2、已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5,求直线l的 y 方程。
解:原方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 ? 弦长为 4 5

? 弦心距为

52 ? (2 5 ) 2 ? 5

M

. .

O

x

即 圆心到所求直线的距离为 5

? 直线L过点M(-3,-3),
所以设为y+3=k(x+3) 根据点到直线的距离公式

即 kx-y+3k-3=0
1 ,解得 k ? ? , 或k ? 2 ? 5 2 2 k ?1

2 ? 3k ? 3

? 直线L的方程为 x ? 2 y ? 9 ? 0,或2x ? y ? 3 ? 0

五、课堂小结
1、直线和圆的三种位置关系
直线与圆的位置关系 公共点个数

相交

相切

相离

2
交点 割线

1
切点 切线

0
无 无

公共点名称 直线名称 数量关系

d<r

d=r

d>r

2、直线和圆位置关系的判断方法 ⑴代数法 ⑵几何法


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