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第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷和参考答案(非数学类)


第二届(2010 年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 (非数学类)
(150 分钟) 解: (1) x n ? (1 ? a )(1 ? a ) ? (1 ? a ) = x n ? (1 ? a )(1 ? a )(1 ? a ) ? (1 ? a ) / (1 ? a )
2 2 2 2
n n

= (1 ? a )(1 ? a ) ? (1 ? a ) / (1 ? a ) = ? = (1 ? a
2 2 2

n

2

n ?1

) / (1 ? a )

? lim x n ? lim (1 ? a
n?? n??
?x

2

n ?1

) / (1 ? a ) ? 1 / (1 ? a )
ln e
?x

(2) lim e
x? ?

1? ? ?1 ? ? x? ?

x

2

? lim e
x? ?

1 x2 (1 ? ) x

? lim e
x? ?

1 2 x ln(1 ? ) ? x x

令 x=1/t,则
(ln(1 ? t ) ? t ) 1/ (1 ? t ) ?1

原式= lim e
t?0

t

2

? lim e
t?0

2t

? lim e
t?0

?

1 2 (1 ? t )

?e

?

1 2

? 1 ? n ? sx 1 n n ? sx ? ? sx n x dx ? ( ? ) ? x de ? ( ? )[ x e |0 ? ? e dx ] ? 0 0 0 s s (3) ? n n n ( n ? 1) n! n! ? sx n ?1 ?0 e x dx ? s I n ?1 ? s 2 I n ? 2 ? ? ? s n I 0 ? s n ?1 s

In ?

?

?

e

? sx

(4)略(不难,难得写) (5)用参数方程求解。答案好像是 14 二、 (15 分)设函数 f ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 上具有二阶导数,并且
f ??( x ) ? 0, lim f ?( x ) ? ? ? 0, lim f ?( x ) ? ? ? 0, 且存在一点 x 0 ,使得 f ( x 0 ) ? 0 。
x ? ?? x ? ??

证明:方程 f ( x ) ? 0 在 ( ?? , ?? ) 恰有两个实根。 解: (简要过程) 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为 f(x)有小于 0 的值,所以只需在两边 找两大于 0 的值。 将 f(x)二阶泰勒展开
f ( x ) ? f (0) ? f (0) x ?
'

f (? )
''

2

x

2

因为二阶倒数大于 0,所以
x ? ??

lim f ( x ) ? ?? , lim f ( x ) ? ??
x ? ??

证明完成。

? x ? 2t ? t 2 ( t ? ? 1) 所确定,其中? ( t ) 具有二阶 三、 (15 分)设函数 y ? f ( x ) 由参数方程 ? ? y ? ? (t )

导数,曲线 y ? ? ( t ) 与 y ?
2

?
2

t

2

e

?u

2

du ?

3 2e

1

在 t ? 1 出相切,求函数? ( t ) 。
2

解: (这儿少了一个条件

d y dx

?

? )由 y ? ? (t ) 与 y ? ? t
1

e

?u

2

du ?

3 2e

在 t ? 1 出相切得

? (1) ?
dy dx
2

3 2e

,? (1) ?
'

2 e

?

dy / dt dx / dt

?

? ' (t )
2 ? 2t

d y dx
2

?

d ( dy / dx ) dx

?

d ( dy / dx ) / dt dx / d t

?

? '' ( t )(2 ? 2 t ) ? 2? ' ( t )
(2 ? 2 t )
3

=。。 。

上式可以得到一个微分方程,求解即可。 四、 (15 分)设 a n ? 0, S n ?
??

?a
k ?1

n

k

, 证明:

(1)当 ? ? 1 时,级数 ?

an Sn
?

收敛;

n ?1

(2)当 ? ? 1 且 s n ? ? ( n ? ? ) 时,级数 ? 解: (1) a n >0, s n 单调递增 当 ? a n 收敛时,?
n ?1 ? ?

??

an Sn
?

发散。

n ?1

an sn
?

?

an s1
?

,而

an s1
?

收敛,所以

an sn
?

收敛;

当 ? a n 发散时,
n ?1

lim s n ? ?
n? ?

?

an sn
?

?

s n ? s n ?1 sn
?

?

?

?

sn s n ?1

dx sn
?

?

?

?

sn s n ?1

dx x
?

所以, ?

an sn
?

?

a1 s1
?

n ?1

??

n?2

?

sn s n ?1

dx x
?

?

a1 s1
?

?

?

sn s1

dx x
?

而?

sn s1

dx x
?

?

a1 s1
?

? lim

sn

1? ?

? s1

1? ?

n? ?

1??

?

a1 s1
?

?

s1

1? ?

? ?1

? k ,收敛于 k。

所以, ?

?

an sn
?

收敛。

n ?1

(2)? lim s n ? ?
n? ?

所以 ? a n 发散,所以存在 k 1 ,使得 ? a n ? a1
n ?1

?

k1

n?2

于是, ?
2

k1

an sn
?

?

?
2

k1

an sn

?

?a
2

k1

n

s k1

?

1 2

依此类推,可得存在 1 ? k1 ? k 2 ? ... 使得 ?
ki
kN

k i ?1

an sn
?

?

1 2

成立

所以 ?
1

an sn
?

? N?

1 2

当 n ? ? 时, N ? ? 所以 ?
?

an sn
?

发散

n ?1

五、 (15 分)设 l 是过原点、方向为 (? , ? , ? ) , (其中 ? ? ? ? ? ? 1) 的直线,均匀椭球
2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

?

z c

2 2

? 1 ,其中( 0 ? c ? b ? a , 密度为 1)绕 l 旋转。

(1)求其转动惯量; (2)求其转动惯量关于方向 (? , ? , ? ) 的最大值和最小值。 解: (1)椭球上一点 P(x,y,z)到直线的距离
d ? (1 ? ? ) x ? (1 ? ? ) y ? (1 ? ? ) z ? 2?? xy ? 2 ?? yz ? 2?? zx
2 2 2 2 2 2 2

? ??? xydV ?
?

??? yzdV ? ??? zxdV
? ?

?0
2 2

??? z dV ?
2 ?

?

c ?c

z dz
x a
2 2

2

??
? y b
2 2

dxdy ?
z c
2 2

?

c ?c

? ab (1 ?

z c

) z dz ?
2

4 15

? abc 3

?1 ?

由轮换对称性,

??? x
?

2

dV ?

4 15

? a 3 bc , ??? y 2 dV ?
?

4 15

? ab 3 c

I ?

??? d
?

2

dV ? (1 ? ? )
2

4 15

? a 3 bc ? (1 ? ? 2 )

4 15

? ab 3 c ? (1 ? ? 2 )

4 15

? abc 3

15 (2)? a ? b ? c

?

4

? abc[(1 ? ? 2 ) a 2 ? (1 ? ? 2 ) b 2 ? (1 ? ? 2 ) c 2 ]

? 当 ? ? 1 时, I max ?

4 15

? abc ( a 2 ? b 2 )

当 ? ? 1 时, I min ?

4 15

? abc ( b 2 ? c 2 )

六、(15 分)设函数 ? ( x ) 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上,曲线 积分 ? ?
c

2 xydx ? ? ( x ) dy x ? y
4 2

的值为常数。

(1)设 L 为正向闭曲线 ( x ? 2) ? y ? 1, 证明 ? ?
2 2

2 xydx ? ? ( x ) dy x ?y
4 2

? 0;

c

(2)求函数 ? ( x ) ; (3)设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求 ? ?
c

2 xydx ? ? ( x ) dy x ? y
4 2



解: (1) L 不绕原点,在 L 上取两点 A,B,将 L 分为两段 L1 , L 2 ,再从 A,B 作一曲线 L3 , 使之包围原点。 则有
2 xydx ? ? ( x ) dy x ?y
4 2

? ?
L

?

L1 ? L3

? ?

2 xydx ? ? ( x ) dy x ? y
4 2

?

L2 ? L3

?

? ?

2 xydx ? ? ( x ) dy x ?y
4 2

(2) 令 P ?

2 xy x ?y
4 2

,Q ?

? ( x)
x ?y
4 2

由(1)知

?Q ?x

?

?P ?y

? 0 ,代入可得

? ' ( x )( x 4 ? y 2 ) ? ? ( x )4 x 3 ? 2 x 5 ? 2 xy 2
上式将两边看做 y 的多项式,整理得

y ? ( x ) ? ? ( x ) x ? ? ( x )4 x ? y ( ? 2 x ) ? 2 x
2 ' ' 4 3 2

5

由此可得

? ' ( x) ? ?2 x

? ' ( x ) x 4 ? ? ( x )4 x 3 ? 2 x 5
解得: ? ( x ) ? ? x
'
2

(3) 取 L 为 x ? y ? ? ,方向为顺时针
4 2 4

?

?Q ?x

?

?P ?y

?0

?? ?
c

2 xydx ? ? ( x ) dy x ?y
4 2

?

c? L 2

? ?

2 xydx ? ? ( x ) dy
'

x ?y
4

2

?

? ?
L
'?

2 xydx ? ? ( x ) dy x ?y
4 2

?

1

?4

? 2 xydx ? x ?
L
'?

dy ? ?

(最后一步曲线积分略去,不知答案对不对)


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