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三角函数部分高考题(带答案)


三角函数部分高考题
π? ? 1.为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像, 只需将函数 y ? sin 2 x 的图像 ( 3? ?
5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6

A



A.向左平移

B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

2.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两 点,则 MN 的最大值为( B A.1 B. 2 ) D.2

C. 3

3. ? tan x ? cot x ? cos2 x ? ( D ) (A) tan x (D) cot x 4.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是:( C )
?? ? ? (A) ? , ? ?3 2? ? ? 3? ? ? , ? ?3 2 ?
?? ? (B) ? , ? ? ?3 ?

(B) sin x

(C) cos x

? ? 4? ? (C) ? , ? ?3 3 ?

(D)

5.把函数 y ? sin x( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 表示的函数是 C

? 个单位长度,再 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所 2

? x ? (A) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (B) y ? sin( ? ) , x ? R 3 2 6 ? 2? (C) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (D) y ? sin(2 x ? ) , x ? R 3 3 5? 2? 2? 6.设 a ? sin , b ? cos , c ? tan ,则 D 7 7 7
(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) b ? c ? a (D) b ? a ? c

第 1 页 共 1 页

? ? 7.将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 ( ? , 0) 12 3
中心对称,则向量 ? 的坐标可能为( A. ( ? C ) C. (

?
12

, 0)

B. ( ?

?
6

, 0)

? , 0) 12

? D. ( , 0) 6

π 4 7π 3 , 则 sin(α ? )的值是 8.已知 cos(α- )+sinα= 6 5 6

(A)-

2 3 5

(B)

2 3 5

(C)-

4 5

(D)

4 5

? 9. (湖北) 将函数 y ? 3sin( x ? ? ) 的图象 F 按向量 ( ,3) 平移得到图象 F ? ,若 F ? 3 ? 的一条对称轴是直线 x ? ,则 ? 的一个可能取值是 A 4 5 5 11 11 ? ? A. B. ? ? C. D. ? ? 12 12 12 12
?? ? ? 10.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最大值是( C ?4 2?

)

A.1 11.函数 f(x)=
2 ,0 ] 2

B.

1? 3 2

C.

3 2

D.1+ 3

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是 B 3 ? 2 cos x ? 2sin x

(A)[-

(B)[-1,0]

(C)[- 2,0 ]

(D)[- 3,0 ]

12.函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x) 的图象,则 m 的值可以为 A A. -

? 2

? 2

B. ?

C.- ?

D.

13.在同一平面直角坐标系中, 函数 y ? cos(
y? 1 的交点个数是 C 2

x 3? ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 2 2

(A)0

(B)1

(C)2

(D)4

14.若 cosa ? 2 sin a ? ? 5, 则 tan a =B
第 2 页 共 2 页

(A)

1 2

(B)2

(C) ?

1 2

(D) ? 2 B )

15.已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0, 2π]的图像如下: 那么ω= ( A. 1 C. 1/2
3 ? sin 700 16. =( 2 ? cos 2 100

B. 2 D. 1/3 C )
2 2 3 2

A.

1 2

B.

C. 2

D.

17.函数 f(x)=

? 3sin x +sin( +x)的最大值是 2

2

18.已知 a, b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,?1 ) ,

n=(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=
? ?? ? 19. f ? x ? ? cos ? ? x ? ? 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 5 6? ?

π . 6

?=

.10 20.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小正周期



.?
?? ? 21.已知 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0),f 3? ?
?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有 ?6 3? ?6? ?3?
14 3

最小值,无最大值,则 ? =__________. 23.在 △ ABC 中, cos B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? 解:

5 4 , cos C ? . 13 5

33 ,求 BC 的长. 2

第 3 页 共 3 页

5 12 ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5

(Ⅰ)由 cos B ? ?

所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
33 1 33 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65

33 . ····························· 5 分 65

(Ⅱ)由 S△ ABC ?

故 AB ? AC ? 65 , ··················································································· 8 分
AB ? sin B 20 ? AB , sin C 13 20 13 故 AB 2 ? 65 , AB ? . 2 13 AB ? sin A 11 ? . ·································································· 10 分 所以 BC ? sin C 2

又 AC ?

π? ? 24.已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ?( ? ? 0 )的最小正周期为 2? ?

π.
(Ⅰ)求 ? 的值;
? 2π ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. ? 3?

解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?

因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以
2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

π? 1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? . 6? 2 ?

因为 0 ≤ x ≤

2π , 3

第 4 页 共 4 页

π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6

1 π? ? 所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ? π? 1 3 ? 3? ? 因此 0 ≤ sin ? 2 x ? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2? ?

25.求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。 【解】 : y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x
? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x
? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ? ?11 , ? 中的最大值为
2

zm a x? ? ? 1 ?1 ?

2

?6 ?1 0

最小值为
zm i n? ?1 ? 1 ?
2

?6 ?6

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 26.知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周 期是

? . 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合. (17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦 与余弦、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.

第 5 页 共 5 页

(Ⅰ)解:

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2 2? 2

?? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

?
16

?

k? ?? ?k ? Z ? 时, sin ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1, 2 4? ?

? k? ? ? 所以函数 f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? , k ? Z ?. 16 2 ? ?
? ? ? 27.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [? 解: (1 )
, ] 上的值域 12 2

? ?

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? s i n (x2? ∴周期T ?

?
6

)

2? ?? 2 ? ? k? ? ? (k ? Z ) 由 2 x ? ? k? ? (k ? Z ), 得x ? 6 2 2 3
第 6 页 共 6 页

∴ 函数图象的对称轴方程为 x ? k? ?
(2) x ? [?

?
3

(k ? Z )

? ? ? ? ? 因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) 在区间 [? , ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递 3 2 6 12 3
减, 所以 又 当x?
f (?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6

? ?

?
3

时, f ( x) 取最大值 1

?
12

)??

? 3 3 ? 1 ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x) 在区间 [?

? ?

28.已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数, 且
π 函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 π (Ⅰ)美洲 f( )的值; 8 π (Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的 6

横坐标舒畅长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的 单调递减区间. 解: (Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )
? 3 ? 1 = 2? sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?
π =2sin( ?x ? ? - ) 6

因为 所以 因此

f(x)为偶函数,
对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

π π sin(- ?x ? ? - )=sin( ?x ? ? - ). 6 6 π π π π 即-sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6

第 7 页 共 7 页

整理得 0. 又因为

π sin ?x cos( ? - )=0.因为 6

? >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=

π 6

0< ? <π,故
2? ? 2?

? - = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x .
?
2 ,   所以  ? =2.

π 6

π 2

π 2

由题意得

?

故 因为

f(x)=2cos2x.
f ( ) ? 2 c o s? 2 . 8 4

?

?

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所 6 6 ? ? 得图象横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f ( ? ) 的图象. 4 6
(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个

? ? ? ? ? ? ? ? 所以     g ( x) ? f ( ? ) ? 2 cos?2( ? )? ? 2 cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?
当 即 2kπ≤ ≤2 kπ+ π (k∈Z), 3 2? 8? 4kπ+≤ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3
2 ?

?

?

因此 g(x)的单调递减区间为

2? 8? ? ? 4k? ? ,4k? ? ? ? 3 3? ?

(k∈Z)

29.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们 的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值. 由条件的 cos ? ?
2 2 5 ,cos ? ? ,因为 ? , ? 为锐角,所以 10 5
2 2 5 , . 10 5

sin ? =

7 2 5 ,sin ? ? 10 5

第 8 页 共 8 页

因此 tan ? ? 7, tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=

1 2

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ) tan 2? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?
3? 3? ,∴ ? ? 2 ? = 2 4

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2? ?

30.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 ,
tan A? B C ? tan ? 4, 2 2
2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

A? B C C C ? tan ? 4 得 cot ? tan ? 4 2 2 2 2 C C cos sin 1 2 ? 2 ?4 ∴ ∴ ?4 C C C C sin cos sin cos 2 2 2 2 1 ∴ sin C ? ,又 C ? (0, ? ) 2 ? 5? ∴ C ? ,或C ? 6 6

解:由 tan

由 2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C) 即 sin( B ? C ) ? 0
B?C ?

∴B ?C

?
6 2? 3

A ? ? ? (B ? C) ?

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C 1 sin B b?c?a ? 2 3? 2 ? 2 sin A 3 2 x x x 32.已知函数 f ( x) ? 2sin cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

由正弦定理

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最值;

第 9 页 共 9 页

π? ? (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3? ?

解: (Ⅰ)

f ( x) ? sin

x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 2 2 4 ?2 3?

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

? x π? ? x π? 当 sin ? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得 ?2 3? ?2 3?

最大值 2.
π? ? x π? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?
x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?

? 函数 g ( x) 是偶函数.

34.已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变 换、一元二次函数的最值等基本知识,考查运算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由题意得 m n ? 3 sin A ? cos A ? 1,
? 1 ) A? 1 ? , s i n ( 6 2 ? ? ? 由 A 为锐角得 A ? ? , A ? . 6 6 3 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? , 2 ? 2 s A i ?n (? 6 ) .

所以
第 10 页 共 10 页

1 3 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 2 2

因为 x∈R,所以 sin x ???1,1? ,因此,当 sin x ?
3 最大值 . 2

1 时,f(x)有 2

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是
? 3? ?3, . ? ? 2? ?

35.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图
3 ?π 1? ? π? 像经过点 M ? , ? . (1) 求 f ( x) 的解析式; (2 ) 已知 ?,? ? ? 0, ? , 且 f (? ) ? , 5 ? 3 2? ? 2? f (? ) ? 12 ,求 f (? ? ? ) 的值. 13

? 1 (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M ( , ) 代入得 3 2 ? 1 ? 5 ? ? sin( ? ? ) ? , ? ?? ? ? , ?? ? , x) n i s ( ? x ) ?c o s ? 而0 ?? ?? , 故 f( 2 3 2 3 6 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2
3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65

x



36.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 ,
C? ? . 3

(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应 用三角函数有关知识的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b2 ? ab ? 4 ,

第 11 页 共 11 页

1 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 .··········· 4 分 2

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ···································· 6 分 ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ·································································· 8 分 当 cos A ? 0 时, A ?
? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ?
1 2 3 . ············································ 12 分 ab sin C ? 2 3

第 12 页 共 12 页


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