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人教版高中数学选修2-2学案:1.5.3定积分的概念

中小学精品资料 1.5.3 定积分的概念 【学习目标】 1.了解定积分的概念和性质; 2.了解定积分的几何意义; 3.能对简单的定积分进行计算. 【新知自学】 知识回顾: 求曲边梯形的面积: (1)思想:以直代曲、逼近; (2)步骤:分割 ?近似代替 ?求和 ?取极限;关键:近似代替; 结果:分割越细,面积越精确. 新知梳理: 1.定积分的概念: 一般地, 设函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上连续, 用分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? … ? xi ?1 ? xi ? … ? xn ? b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x ? ______,在每个小区间 ? xi?1 , xi ? 上取一点 ?i ?i ? 1,2, Sn ? ? f (?i )?x ? ? i ?1 i ?1 n n , n? ,作和式: b?a f (?i ) .如果 ?x 无限接近于 0 (亦即 n ??? )时,上述和 n 式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数 S 为________________________.记为_______. 其中 f ( x ) 称为_________, x 叫做________, [ a, b] 为_______, b 叫做积分____, a 叫做 积分_____________. 说明: (1)定积分 ? b a f ( x)dx 是一个常数,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)称为 ? b a f ( x)dx ,而不是 Sn . (2)曲边图形面积: S ? ? f ? x ?dx ;变速运动路程 S ? ? a b t2 t1 v(t )dt ;变力做功 W ? ? F (r )dr . a b 2.定积分的几何意义: 如下图所示,如果在区间 [a, b]上函数f ( x) 连续且恒有 f ( x) ? 0 ,那么定积分 示直线 x ? a , x ? b(a ? b) , y ? 0 和曲线 y=f(x)围成的曲边梯形的面积. ? f ( x)dx 表 a b 中小学精品资料 3.定积分的性质: (1) kdx ? _______( k 为常数) ; a ? b (2) kf ( x)dx ? ____________(其中 k 是不为 0 的常数) ; a ? b (3) (4) ? ? f ( x) ? f b a 1 b a 2 ( x) ?dx ? _______________; . ? f ( x)dx ? __________________(其中 a ? c ? b ) ) 对点练习: 1.下列等于 1 的积分是( A. ? xdx 0 1 B. ? ( x ? 1)dx 0 1 C. 1dx 0 ? 1 D. ? 1 dx 0 2 1 1 ? x 2 ( x ? 0), 3.设 f ( x) ? ? x 则 f ( x)dx 的值是( ?2 ( x ? 0). ?1 ? ) A. ?x ?1 0 ?1 1 2 dx 1 0 B.? 2 x dx ?1 1 C.? x 2 dx ? ? 2 x dx D.? 2 x dx ? ? x 2 dx ?1 0 0 1 3.曲线 y ? x 2 , x ? 0, y ? 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为__________. 4. 当函数 f ( x) 在区间 [a, b]上 连续且恒有 f ( x) ? 0 (即函数图象在 x 轴下方)时,定积分 ? f ( x)dx 表示___________________________. a b 【合作探究】 典例精析: 例 1. 根据定积分的几何意义计算定积分: | x ? 2 |dx 的值. 1 ? 3 中小学精品资料 变式练习: 根据定积分的几何意义计算定积分 ? 2 1 ( x ? 1)dx 的值. 例 2.利用定积分的定义,计算 ? x dx 的值. 3 0 1 中小学精品资料 变式练习: 计算 ? 2 0 x 3 dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么含义. 【课堂小结】 【当堂达标】 1.求由 y ? e x , x ? 2, y ? 1 围成的曲边梯形的面积时,若选择 x 为积分变量,则积分区间为 ( ) A.[0, e 2 ] B.[0,2] C.[1,2] D.[0,1] 2.下列命题不正确的是( ) . A.若 f ( x) 是连续的奇函数,则 B.若 f ( x) 是连续的偶函数,则 ? ? a ?a a f ( x)dx ? 0 f ( x)dx ? 2 f ( x)dx 0 ?a ? a C.若 f ( x) 在 [ a, b] 上连续且恒正,则 D.若 f ( x) 在 [ a, b] 上连续且 b ? f ( x)dx ? 0 a b ? f ( x)dx ? 0 ,则 f ( x) 在 [a, b] 上恒正 a 中小学精品资料 3.化简求值 xdx ? xdx ? ______________= _____________ . 0 1 ? 1 ? 2 4.试用定积分的几何意义说明 ? 2 0 4 ? x 2 dx 的大小. 【课时作业】 1.已知 ? f ( x)dx ? 3, 则? [ f ( x) ? 6]dx =( 0 0 2 2 ) A.9 B.12 C.15 D.18 2.若函数 f ( x) ? x 3 ? x ,则 A.0 C. B.8 2 ? 2 ?2 f ( x)dx 等于( ) . ? f ( x)dx 0 D.2 ? f ( x)dx 0 2 3.将和式的极限 1 p ? 2 p ?

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