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集合的概念与运算技巧

集合的概念与运算技巧
编稿:林景飞 审稿:张扬 责编:严春梅

命题趋向:
1.高考试题通过选择题和填空题,以及大题的解集,全面考查集合与简易逻辑的知识, 题型新,分值稳定.一般占 5--10 分. 2.简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现,应引起注意.

规律方法指导:
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、 包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 2.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于 用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P; 要 重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题. 3.注意空集 如A 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性, 或 A≠ 两种可能,此时应分类讨论.

B,则有 A=

经典例题精析: 类型一:正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.

1.已知集合 M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则 M∩N=( A. (0,1) , (1,2) B.{(0,1) , (1,2)} C.{y|y=1,或 y=2} ≥1}

) D.{y|y

思路点拨: 集合 M、N 是用描述法表示的,元素是实数 y 而不是实数对(x,y), 因此 M、N 分别表示函数 y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求 M∩N 即求两函数 值域的交集. 解析:M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}. ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选 D. 总结升华:

①本题求 M∩N, 经常发生解方程组





, 从而选 B 的错误,

这是由于在集合概念的理解上, 仅注意了构成集合元素的共同属性, 而忽视了集合的元素是 什么.事实上 M、N 的元素是数而不是点,因此 M、N 是数集而不是点集. ②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2+1}、{y|y=x2 +1,x∈R}、{(x,y)|y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的. 举一反三: 【变式 1】若 P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则 P∩Q 等于( ) A.P B.Q C. D.不知道

【答案】事实上,P、Q 中的代表元素都是 y,它们分别表示函数 y=x2,y= x2+1 的值域, 由 P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知 Q P,即 P∩Q=Q.∴应选 B.

【变式 2】若 P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有( ) A.P∩Q= B.P Q C.P=Q D.P Q

【答案】选 A.P 表示函数 y=x2 的值域,Q 表示抛物线 y=x2 上的点组成的点集,因此 P∩Q= .

【变式 3】若 A.{3} 【答案】 B.{1} C.

,则

=( ) D.{-1} 应选 D.

类型二:集合元素的互异性

2. 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2- x+ -1=0},且 A∪B=A,则 的 值. 思路点拨: 要解决集合的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两 个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式。由 A ∪ B=A


从而推出 B 有四种可能,进而求出 的值。 ∵ A={1,2},

解析:∵ A∪B=A,

∴ B= 或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}. 若 B= ,则令△<0 得 ∈ ; 若 B={1},则令△=0 得 =2,此时 1 是方程的根; 若 B={2},则令△=0 得 =2,此时 2 不是方程的根,∴ ∈ ; 若 B={1,2},则令△>0 得 ∈R 且 ≠2,把 x=1 代入方程得 ∈R,把 x=2 代入方程得 =3. 综上 的值为 2 或 3. 总结升华: ①本题不能直接写出 B={1, -1},因为 -1 可能等于 1,与集合元素的互异性矛盾, 另外还要考虑到集合 B 有可能是空集,还有可能是单元素集的情况. ②集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常 常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败。 ③解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正 举一反三: 【变式 1】若 A={2,4, },

B={1,

,

,-

,

},

且 A∩B={2,5},则实数 的值是________.

【答案】 :∵A∩B={2,5},∴ 一步考查. 当 当 当 故 时,

,由此求得





A={2,4,5},集合 B 中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进

,与元素的互异性相违背,故应舍去

. .

时,B={1,0,5,2,4},与 A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去

时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时 A∩B={2,5},满足题设. 为所求.

【变式 2】 已知集合 A={ ,

,

}, B={ ,

,

}. 若 A=B, 则 的值是______.

【答案】分两种情况进行讨论. (1)若 = 且 = ,消去 b 得: , .

时, 集合 B 中的三元素均为零, 和元素的互异性相矛盾, 故 ∴

,即 c=1,但 c=1 时,B 中的三元素又相同,此时无解.

(2)若 +b= c2 且 +2b= c,消去 b 得:2 c2- c- =0, ∵ ≠0,

∴ 2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又 c≠1,故



类型三:证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题, 是我们解答数学问题过程中经常遇到, 并且必须解决的问 题,因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义 的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.

3. 设集合 A={a|a=3n+2,n∈Z},集合 B={b|b=3k-1,k∈Z},则集合 A、B 的关系 是________. 思路点拨: 本题主要考查集合间关系的运算. 解析:设 a∈A,则 a=3n+2=3(n+1)-1(n∈Z), ∵n∈Z,∴n+1∈Z.∴ ∈B,故 . ①

又设 b∈B,则 b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z), ∵ k∈Z,∴k-1∈Z,∴ b∈A,故 ②

由①、②知 A=B. 总结升华:这里说明 a∈B 或 b∈A 的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再 推理. 举一反三: 【变式 1】若 A、B、C 为三个集合, A. 【答案】选 A. 由 知, ,故选 A. B. C. ,则一定有( ) D.

【变式 2】 已知全集 A.{2} 【答案】选 C. B.{5}

, 且

, C.{3,4}

, 则

等于 (



D.{2,3,4,5}

【变式 3】设集合 A.1 【答案】选 C. B .3

,则满足 C .4 D.8

的集合 B 的个数是( )



,则集合 B 中必含有元素 3 ,即此题可转化为求集合 个.

的子集个数问题,所以满足题目条件的集合 B 共有

【变式 4】记关于 的不等式 (I)若 (II)若 ,求 ;

的解集为

,不等式

的解集为



,求正数 的取值范围.

【答案】 (I)由 (II) 由

,得

. .

,得 .

,又

,所以



即 的取值范围是

类型四:空集的特殊性和特殊作用

空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的 真子集.显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设 中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误.

4. 已知集合 A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若 A∩ = ,则实数 m 的取值范 围是_________. 思路点拨:从方程观点看, 集合 A 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2+(m+2)x+1=0 的 解集,而 x=0 不是方程的解,所以由 A∩ = 可知该方程只有两个负根或无实数根,从而 分别由判别式转化为关于 m 的不等式,并解出 m 的范围. 解析:由 A∩ = ,又方程 x2+(m+2)x+1=0 无零根, 所以该方程只有两个负根或无实数根,

或△=(m+2)2-4<0. 解得 m≥0 或-4<m<0,即 m>-4. 点评:此题容易发生的错误是由 A∩ = 只片面地推出方程只有两个负根(因为两根 之积为 1,因为方程无零根) ,而把 A= 漏掉,因此要全面准确理解和识别集合语言. 总结升华:从以上解答应看到:解决有关 A∩ = 、A∪B= ,A B 等集合问题易 忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 举一反三: 【变式 1】已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0}且 A∪B=A,则实数 a 组成的集合 C 是________. 【答案】答案:C={0,1,2}. 当 B= 时, =0,符合题设, 当 B 为非空集合时, 由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 2. 当 B={1}时,a=2, 当 B={2}时,a =1. 故正确答案为 C={0,1,2}.

【变式 2】已知集合 则实数 的取值范围是_________. 【 答 案 】



.若



故实数 的取值范围是



【变式 3】已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x ≤2p-1}.若 B A,则实数 p 的取值范围是________. 【答案】p 的取值范围是 p≤3 错解:由 x2-3x-10≤0 得-2≤x≤5

欲使 B

A,只须

∴ p 的取值范围是-3≤p≤3. 上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即 B= 时,符合题设. 正解:①当 B≠ 时,即 p+1≤2p-1 p≥2.

由B

A 得: p<2.

∴ 2≤p≤3. ②当 B= 时,即 p+1>2p-1 由①、②得:p≤3.

类型五:利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象, 解题时要尽可能借助文氏图、 数轴或直角坐标系等工具将抽象 问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.

5. 设 A={x|-2<x<-1 或 x>1},B={x|x2+ x+b≤0}, 已知 A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},求 、b 的值. 思路点拨:可在数轴上画出图形,利用图形分析解答. 解析:如图所示, 设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动, 显然当且仅当 时,才能使 A∪B={x|x>-2},

且 A∩B={x|1<x≤3}. 根据二次不等式与二次方程的关系, 可知-1 与 3 是方程 x2+ x+b=0 的两根, ∴ =-(-1+3)=-2, b=(-1)×3=-3. 点评:类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合 的方法,会得到直观、明了的解题效果. 总结升华:本题采用数轴表示法,根据数轴表示的范围,可直观、准确的写出问题的结 果. 举一反三: 【变式 1】设全集 U={x|0<x<10,x∈N*},若 A∩B={3},A∩CUB={1,5,7},CUA∩ CUB={9}, 则集合 A=____________;B=___________. 【答案】A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}. 先画出文氏图,用填图的方法来解 【变式 2】集合 A={x|x2+5x-6≤0},B={x|x2+3x>0},求 A∪B 和 A∩B. 【答案】∵ A={x|x2+5x-6≤0}={x|-6≤x≤1},

B={x|x2+3x>0}={x|x<-3 或 x>0}. 如图所示, ∴ A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3 或 x>0}=R. A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3 或 x>0}={x|-6≤x<-3 或 0<x≤1}.

学习成果测评
一.选择题:
1.设 M={x|x +x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与 M 的关系是( A、{a}=M 2.已知全集 是( ) A、[0,2] B、M {a} C、M {a} D、M
2

) {a} ,则 的取值范围

=R,A={x||x- |<2},B={x||x-1|≥3},且 A∩B= B、(-2,2)
2

C、(0,2]
2

D、(0,2) )

3.已知集合 M={x|x= -3 +2, ∈R},N={x|x=b -b,b∈R},则 M,N 的关系是( A、M N B、M N C、M=N D、不确定



4.设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z 且|x|≤5},则 A∪B 中的元素个数是 ) A、11 B、10 C、16 D、15 5.集合 M={1,2,3,4,5}的子集是( ) A、15 B、16 C、31

D、32

6、集合 M={x|x= A、M=N B、M N

,k∈Z},N={x|x= C、M N

,k∈Z},则( D、M∩N=

)

7、已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠ A、-3≤m≤4 B、-3<m<4 C、2<m<4

,若 A∪B=A,则(

)

D、2<m≤4

8.集合 M= A. a -1 B. a 1

,且 C. a -1

,则实数 a 的取值范围是( D.a 1 )

)

9.满足{ ,b} M={ ,b,c,d}的所有集合 M 的个数是( A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

10.若命题 P:x A A. x A B

B ,则

P 是(

) D. x A B

B. x A 或 x B

C. x A 且 x B

11.已知集合 M={ A.{-1}

, }.P={- ,2 -1};若 card(M C.{0} D.{3}

P)=3,则 M P= (

)

B.{1}

12.设集合 P={3,4,5}.Q={4,5,6,7}.令 P*Q= 个数是 ( A. 3 ) B. 7 C. 10 D. 12

,则 P*Q 中元素的

二.填空题:

13.已知 M={

},N={x|

,则 M∩N=__________.

14.非空集合 p 满足下列两个条件:(1)p 则 6- ∈p,则集合 p 个数是__________. 15.设 A={1,2},B={x|x

{1,2,3,4,5},(2)若元素 ∈p,

A},若用列举法表示,则集合 B 是__________.

16 . 含 有 三 个 实 数 的 集 合 可 表 示 为 __________. 三.解答题: 17 . 已 知 全 集 . =R , 且

,则

,求

18.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求 M∩N. 19.设集合 A={(x,y)|y= x+1},B={(x,y)|y=|x|},若 A∩B 是单元素集合,求 取 值范围. 20. 设 A={x|x +px+q=0}≠ ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 A∩M= ,A ∩N=A,求 p、q 的值.
2

2

21.已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -mx+2=0},且 A∩B=B,求实数 m 范围.

2

2

22 . 已 知 集 合 ,求 ,b 的值.

, 且

23.已知集合 A={x|x -4mx+2m+6=0,x∈R},若 A∩R-≠ ,求实数 m 的取值范围。 24.命题甲:方程 x +mx+1=0 有两个相异负根;命题乙:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根,这两个命题有且只有一个成立,求 m 的取值范围。
2 2

2

参考答案:
一.选择题: 1.C 2.A 7.D 8.C 二.填空题: 13. ; 14. 7 ; 15. ; 16.-1. 3.C 9.D 4.C 10.B 5.D 11.B 6. C 12.D

三.解答题: 17.

18.解:M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}. ∴ M∩N=M={y|y≥1}. 19. ≥1 或 ≤-1;提示:画图.

2

20.





21.解:化简条件得 A={1,2},A∩B=B B A. 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论,B= ,B={1}或{2},B={1,2}. 当 B= 时,△=m -8<0.∴
2



当 B={1}或{2}时,

,m 无解.

当 B={1,2}时,

∴ m=3.

综上所述,m=3 或 22. 解: ∵ 又∵ 故 而 ∴a=-3,b=-4. . ∴ , ∴



中元素必是 B 的元素. 中的元素属于 B, . . ∴-1,4 是方程 的两根,

23.解:设全集 ={m|△=(-4m) -4(2m+6)≥0}={m|m≤-1 或 m≥ 若方程 x -4mx+2m+6=0 的二根为 x1、x2 均非负,
2

2

}.

因此,{m|m≥

}关于 补集{m|m≤-1}即为所求.

24.解:使命题甲成立的条件是:

∴集合 A={m|m>2}. 2 使命题乙成立的条件是:△2=16(m-2) -16<0,∴1<m<3, ∴ 集合 B={m|1<m<3}. 若命题甲、乙有且只有一个成立,则有:(1)m∈A∩CRB,(2)m∈CRA∩B. 若为(1),则有:A∩CRB={m|m>2}∩{m|m≤1 或 m≥3}={m|m≥3}; 若为(2),则有:B∩CRA={m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2}; 综合(1)、(2)可知所求 m 的取值范围是{m|1<m≤2 或 m≥3}。