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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十五) 8.7双曲线


课时提升作业(五十五)
双 曲 线 60 分) (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个焦点,若 |PF1|=9,则|PF2|等于 A.1 C.1 或 17 ( ) B.17 D.以上答案均不对

【解析】选 B.由双曲线定义 ||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1 或 17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 c-a=6-4=2>1,所 以|PF2|=17. 【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为 2>1,从而误选 C. 2.(2015 ?汉中模拟) 已知双曲线 - =1(a>0,b>0) 的右顶点与抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点重合,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交 点坐标为(-2,-1),则双曲线的离心率为 A. 【解析】选 B.由 B. 解得 C. ( ) D.

由题意得

则 = ,

又知 -a=0,故 a=2,b=1,c=

-1-

所以双曲线的离心率 e= = . 【加固训练】 与椭圆 C: + =1 共焦点且过点(1, 程为 ( A.x2- =1 C. - =1 B.y2-2x2=1 D. -x2=1 ) )的双曲线的标准方

【解析】选 C.椭圆 + =1 的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标 准方程为 - =1(m>0,n>0), 则 解得 m=n=2,故选 C.

3.点 P 在双曲线 - =1(a>0,b>0)上,F1,F2 分别是双曲线的左、 右焦点, ∠F1PF2= 90°,且△F1PF2 的三条边长之比为 3∶4∶5,则双曲线的渐近线方程是 ( ) x x B.y=±4x D.y=±2 x

A.y=±2 C.y=±2

【解析】 选 D.设△F1PF2 的三条边长分别为|PF1|=4m,|PF2|=3m,|F1F2|=5m, 其 中 m>0, 则 2a=|PF1|-|PF2|=m,2c=|F1F2|=5m, 所 以 b= = =2 ,所以双曲线的渐近线方程是 y=〒2 x. m, 所 以

4.(2015 ?贵阳模拟 ) 已知双曲线 - =1(a>0) 的两条渐近线与以椭圆 + =1 的左焦点为圆心 , 半径为 的圆相切 , 则双曲线的离心率为 ( )

-2-

A.

B.

C.

D.

【解析】 选 A.双曲线 - =1(a>0)的渐近线方程为 y=〒 x;椭圆 + =1 的左焦点为(-4,0),因为渐近线与以椭圆 + =1 的左焦点为圆心、 半径 为 的圆相切,所以 = ,解得 a=4,所以双曲线的离心率为 .

5.(2015?武汉模拟)P 是双曲线 - =1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦 点,双曲线的离心率是 ,且∠F1PF2=90°,若△F1PF2 的面积是 9,则 a+b 的值等于 ( A.5 ) B.6 C.7 D.8

【解析】选 C.因为 e= = ,所以可设 a=4k,b=3k,c=5k,其中 k>0. 由|PF1|2+|PF2|2=100k2, |PF1|· |PF2|=9,(|PF1|-|PF2|)2=100k2-36=64k2,解得 k=1 或 k=-1(舍去), 所以 a+b=4k+3k=7.故选 C. 【方法技巧】双曲线离心率的求解方法 (1)直接法:利用已知条件直接求出 a,c 的值,再利用离心率公式直接求 解. (2) 利 用 渐 近 线 方 程 : 利 用 离 心 率 与 渐 近 线 斜 率 之 间 的 关 系 e= 求解.

(3)利用关于 a,c 的齐次式:利用已知条件,寻找 a 与 c 的关系式,然后 求解. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015?滁州模拟)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F1F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 P(3,4),则此双
-3-

曲线的方程为

.

【解析】设坐标原点为 O,圆的半径为 r, 则 2r=|F1F2|=2c,即 r=c, 而 r=|OP|=5,双曲线的渐近线方程为 y=〒 x, P(3,4)在 y= x 上, 所以 求得

所以双曲线的方程为 - =1. 答案: - =1 7.若点 P 在曲线 C1: - =1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5)2+y2=1 上,点 R 在曲 线 C3: (x+5)2+y2=1 上,则|PQ|-|PR|的最大值是 .

【解析】曲线 C2 是以曲线 C1 的右焦点 F2 为圆心 ,1 为半径的圆 ,则 |PQ|max=|PF2|+r=|PF2|+1,此时点 P 在双曲线左支上;曲线 C3 是以曲线 C1 的 左 焦 点 F1 为 圆 心 ,1 为 半 径 的 圆 , 则 |PR|min=|PF1|-r=|PF1|-1. 故 (|PQ|-|PR|)max= (|PF2|+1)-(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=10. 答案:10 【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法 与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为 线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解. 8.(2015?榆林模拟)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如 果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直 , 那么此双曲线的离心率
-4-



.

【解析】设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0), 如图所示,双曲线的一条渐近线方程为 y= x,而 kBF=- ,

所以 ·

=-1,整理得 b2=ac,

所以 c2-a2-ac=0,两边同除以 a2,得 e2-e-1=0, 解得 e= 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.过双曲线 - =1 的右焦点 F2,倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|. (2)求△AOB 的面积. 【解析】(1)由双曲线的方程得 a= 所以 c= ,b= , 或 e= (舍去).

=3,F1(-3,0),F2(3,0).

直线 AB 的方程为 y= (x-3). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 5x2+6x-27=0.所以 x1+x2=- ,x1x2=- .

-5-

所以|AB|= = = · =

|x1-x2|

. x-3y-3 =0. = . .

(2)直线 AB 的方程变形为

所以原点 O 到直线 AB 的距离为 d= 所以 S△AOB= |AB|·d= 〓 〓 =

10.已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1,双曲线 C2 的左、 右焦点分别是 C1 的左、 右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程. (2) 若直线 l:y=kx+ ? 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且

>2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围.

【解析】(1)设双曲线 C2 的方程为 - =1(a>0,b>0), 则 a2=4-1=3,c2=4,再由 a2+b2=c2, 得 b2=1, 故 C2 的方程为 -y2=1. (2)将 y=kx+ 得(1-3k2)x2-6 代入 -y2=1, kx-9=0.

由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得

所以 k2≠ 且 k2<1.



-6-

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 所以 · ,x1x2= =x1x2+y1y2 )(kx2+ ) . ,

=x1x2+(kx1+ =(k2+1)x1x2+ 又由 ·

k(x1+x2)+2= >2,得

>2,解得 <k2<3, 由①②得, <k2<1. 故 k 的取值范围为





. (20 分钟 40 分)

1.(5 分)(2015? 杭州模拟)如图,F1,F2 分别是双曲线 C: - =1(a>0,b>0) 的左、 右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离 心率是 ( )

A. 【解析】选 B.由

B.

C. 可解得 x= ,

D.

-7-

y= 由 即P 则N

,即 Q

. 可解得 x=,y= ,

.设 PQ 的中点为 N, , =- ,

而 M(3c,0).所以 kMN· =-1,即 整理得 2c3=3a2c,即 e2= ,解得 e= .

【一题多解】本题还可以用如下方法求解: 直线 BF1 的方程为 y= x+b, 由 得P ,



得Q ,

.

从而 N 点坐标为

则直线 MN 的方程为 y- =则 c+ =3c,得 a2=2b2,得 e= .

.从而得 M

,又 M(3c,0),

【加固训练】已知双曲线 mx2-ny2=1(m>0,n>0) 的离心率为 2, 则椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为 A. B. ( ) C. D.

【解析】选 B.由已知双曲线的离心率为 2,得: =2,

-8-

解得:m=3n,又 m>0,n>0,所以 m>n,即 > , 故由椭圆 mx2+ny2=1 得 + =1.

所以所求椭圆的离心率为:e=

=

= .

2.(5 分)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成的 角为 60°的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是 这对直线与双曲线 C 的交点 , 则该双曲线的离心率的取值范围是 ( A. C. ) B. D.

【解析】 选 A.设双曲线的焦点在 x 轴上,则由作图易知双曲线的渐近线 的斜率 必须满足 < 2. 【误区警示】本题极易漏掉 ≤ 解. 【方法技巧】双曲线离心率取值范围的验证技巧 已知双曲线 - =1(a>0,b>0). 则:(1)当 a>b>0 时,双曲线的离心率满足 1<e< (2)当 a=b>0 时,e= (3)当 b>a>0 时,e> (亦称为等轴双曲线). . . ,其原因是对问题考虑不全 ,造成漏 < ≤ ,所以 < ≤ 3, <1+ ≤ 4, 即 有 ,所以 <e≤

≤2.又双曲线的离心率为 e= =

-9-

3.(5 分)(2015? 苏州模拟)已知 P 为双曲线 C: - =1 上的点,点 M 满足 | |=1,且 ? =0,则当| . |=1,所以点 M 的轨迹是以原点为圆心,1 为 · =0,所 |取得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐

近线的距离为

【解析】因为点 M 满足|

半径的单位圆.不妨设 P 为双曲线右支上的任一点,因为 以 OM⊥PM,所以

△OPM 为直角三角形,且∠OMP=90°,|OP|为该直角三角形的斜边长;因 为 P 为双曲线 C: - =1 上的点,在 Rt△OPM 中,要使直角边| |最小,

则只需|OP|最小,因为当点 P 为双曲线 C 的右支与 x 轴的交点时,|OP| 最小,此时 P(3,0),所以此时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为 . 答案: 4.(12 分)设 A,B 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线 的实轴长为 4 ,焦点到渐近线的距离为 .

(1)求双曲线的方程. (2)已知直线 y= x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支 上存在点 D,使 + =t ,求 t 的值及点 D 的坐标. , y=0.

【解析】(1)由题意知 a=2 所以一条渐近线为 y= 所以 = .

x.即 bx-2

所以 b2=3,所以双曲线的方程为 - =1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.

- 10 -

将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 x+84=0, ,y1+y2=12. 所以 ,3).

则 x1+x2=16 所以

所以 t=4,点 D 的坐标为(4

5.(13 分)(能力挑战题)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于 不同的两点 A,B. (1)求实数 k 的取值范围. (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1,整 理得(k2-2)x2+2kx+2=0. ①

依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,



解得 k 的取值范围是-2<k<-

.

(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则由①式得 ②

假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点

- 11 -

F(c,0). 则由 FA⊥FB 得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0. 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③ 把②式及 c= 代入③式化简得 5k2+2 k-6=0. 或 k= (舍去),

解得 k=-

可知存在 k=-

使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F.

【加固训练】 双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2, 经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点 . 已知 | |,| |,| |成等差数列,且 与 同向.

(1)求双曲线的离心率. (2)设直线 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d, 由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2, 得 d= m,tan∠AOF= , tan∠AOB=tan2∠AOF= 由倍角公式,得 则离心率 e= . (2)不妨设过 F 与 l1 垂直的直线方程为 y=- (x-c),与双曲线方程 - =1 联立,将 a=2b,c= b 代入, = ,

= ,解得 = ,

- 12 -

化简有 4= =

x2-

x+21=0,

|x1-x2| ,

将数值代入,有 4=

,

解得 b=3,故所求的双曲线方程为 - =1.

- 13 -


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