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利用函数性质判定方程解的存在课件_图文

第四章
§1
1.1

函数应用

函数与方程

利用函数性质判定方程解的存在

1.理解函数零点的概念,领会函数零点与相应方程解的关

系.(难点)
2.掌握零点存在的判定条件.(重点)

解方程擂台赛
x ? 1 ? 0 x ? 3x ? 2 ? 0
2

x ? 2x ? 2 ? 0
3

2x ? x ? 0 1 lg x ? ? 0 x

一元一次方程

的解? x -1 =0

x ?1

一次函数 f( 的图像与 x )= x -1

x 轴交点坐标? (1 , 0 )

y
? ? ? 1 2 x

o

-1 ?

方程的根=交点的横 坐标

2 一元二次方程 x 的解 ? 1 , 2 -3 x + 2 = 0
2 二次函数 f ( x ) = x -3 x + 2的图像与 x 轴交点坐标?

y

,0?,?2 ,0? ?1

o

1

2

x

函数的零点
我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为

这个函数的零点.
等价关系: 方程 f (x) = 0 有实数解
零点是实数 而不是点

? ?

函数 y = f (x) 的图像与 x 轴有交点 函数 y = f (x) 有零点

韦达是法国十六世纪最有影响力的 数学家之一。第一个引进系统的代 数符号,并对方程论进行改进。

他的《分析方法入门》一书,记录了他以前在代数方面的 成就,使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方 程论的贡献是在《论方程的识别与修正》一书中提出了二 次、三次和四次方程的解。

第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未 知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。 韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与 系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与 系数关系的结论称为“韦达定理”)。

1.利用函数图像判断下列方程有没有实数解,有几个: (1)-x2+3x+5=0; (2)2x(x-2)=-3;
y

y?2 xx ( ? 2 )
0

x

两个函数的 交点的横坐 标即为方程 的解

y ? ?3

有,2个

没有

(3) x2 =4x-4;

(4)5 x2 +2x=3 x2 +5.

有,1个

有,2个

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图像:
[-2,1] f(-2)>0 f(1)<0

.
-2 -1

y
2

.
-1 -2

f(-2)·f(1)<0 , x=-1是
x

.

1

0

1

2

.

3 4

x2-2x-3=0的一个解 [2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0

-3 -4

.

x=3是x2-2x-3=0的另一个解

y

零点存在定理:
0

.
a

.

b

x

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,

并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间
(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区 间(a,b) 内至少有一个实数解. 思考:有零点则一定有f(a)·f(b)<0吗?
y y

.
a
0

.
b
x

.
a 0

.
b
x

有零点,可能有多个

若函数 y = f (x) 在区间 ? a, b? 上的图像为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是(
A. B. C. D.

C



若 f (a)f (b) > 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) = 0 ; 若 f (a)f (b) < 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) = 0 ; 若 f (a)f (b) > 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) = 0 ; 若 f (a)f (b) < 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) = 0 ;

x 2 例 1: 已知函数 f ( x) = 3 - x ,问:方程 f ( x) = 0 在区间

[-1,0]内有没有实数解?为什么?
解:因为
f (- 1) = 3- 1 - (- 1) 2 = 2 < 0, f (0) = 30 - 02 = 1 > 0 ,函数 3

f ( x) = 3x - x2 的图像是连续曲线,

所以 f ( x) 在区间[-1,0]内有零点,即 f ( x) = 0 在区间[-1, 0]内有实数解。

例 2. 判定方程 ( x - 2)( x - 5) = 1有两个相异的实数解, 且一个大于 5, 一个小于 2。

数形结合
解:考虑函数 f ( x) =
( x - 2)( x - 5) - 1 ,有

f (5) = (5 - 2)(5 - 5) - 1 = - 1, f (2) = (2 - 2)(2 - 5) - 1 = - 1

又 因 为 f ( x) 的 图 像 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 所 以 抛 物 线 与 横 轴 在
(5, + ? ) 内有一个交点,在 (- ? , 2) 内也有一个交点.

所以方程 ( x - 2)( x - 5) = 1 有两个相异的实数解,且一个大于 5,一 个小于 2.

函数f(x)=–x3–3x+5的零点所在的大致区间为( A ) A.(1,2) C.(0,1) B.(–2,0) D.(0,0.5 )

解 析 : f ( 1 ) = 1 > 0 , f ( 2 ) = 9 < 0

提升总结:
二次函数的零点与二次方程的实根的关系
判别式Δ
二次函数 y=ax2+bx+c(a >0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a >0)的根 二次函数 y=ax2+bx+c(a >0)的零点
有两个相异实 根x1,x2(x1<x2) 有两个零点 x1,x2 有两个相等实根 x1=x2 ? ? b 2a 有一个二重零 点x1=x2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

没有实根

没有零点

2 1.在二次函数 y? 中,ac<0,则其零点的个 a x ? b x? c

数为( B )
A.1 B.2 C.3 D.不存在

2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x) 对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7

f(x)

23

9

–7

11

–5

–12

–26

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( C )个
A.5 B.4 C.3 D.2

3.(2012·三明高一检测)函数 f (x) ? 2x ?1 ? x ? 3 的零点 x 0 ? ( B A. C.

)

? 0,1?

B. D.

?1,2? ?3,+??

? 2,3?

解析:由于f(1)=-1<0,f(2)=1>0,

所以零点在(1,2)之间.

1.函数的零点

2.三个等价关系
3.函数的零点或相应方程的根的存在性以及个 数的判断

行动与不满足是进步的第一必需品。


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