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2章基本初等函数2课时


第2课时

函数的定义域与值 域

基础知识梳理
1.函数定义域 (1)当函数是由解析式给出时,则其定 义域是使解析式有意义的自变量的取值集 合.也就是:①分式的分母 不为零 ,②偶 次方根的被开方数 为非负数 ,③对数的真 数 大于零 ,④指数函数和对数函数的底数

基础知识梳理
必须大于零且不等于1 ,⑤三角函 数中的正切函数y=tanx必须满足 π x≠kπ+ ,(k∈Z),余切函数 y= 2
cotx 必须满足 x≠kπ,(k∈Z).

(2)由实际问题确定函数的定义 域,不仅要考虑解析式有意义,还 要有实际意义 .

基础知识梳理
2.函数的值域 (1)函数的值域的定义:在函数y =f(x)中与自变量x的值对应的y的值 叫做函数值,所有函数值的集合, 叫做函数的值域.

基础知识梳理
(2)确定函数值域的原则:①当函 数y=f(x)用表格给出时,函数的值域 是指表格中所有y值组成的集合 .②当 函数y=f(x)用图象给出时,函数的值 域是指 图象上每一个点的纵坐标组成 的集合 ,③当函数y=f(x)用解析式给 出时,函数的值域由 定义域和解析式 确定.

基础知识梳理
(3)求函数值域的方法有: 直接法、 换元法、配方法、 判别式法 、几何法 、 不等式法 、单调性法等.

三基能力强化
1.(2009 年高考江西卷改编)函数 y 2x+1 = 的定义域为( 2 -x -3x+4 )

A.(-4,-1) C.(-1,1) 答案:B

B.(-4,1) D.(-1,1]

三基能力强化
2.函数y=x2-2x的定义域为 {0,1,2,3},那么其值域为( ) A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 答案:A

三基能力强化
1 3.已知函数 f(x)= ,则 f[f(x)] x+1 的定义域为( )

A.{x|x≠-2} B.{x|x≠-1} C.{x|x≠-2且x≠-1} D.{x|x≠-2或x≠-1} 答案:C

三基能力强化
4.(教材习题改编)函数y=x2-6x +7(0≤x≤6)的值域为________. 答案:[-2,7]

三基能力强化
5.函数y=log3(9-x2)的定义域为 A,值域为B,则A∩B=________. 解析:由9-x2>0?-3<x<3,则 A=(-3,3), 又0<9-x2≤9, ∴y=log3(9-x2)≤2,则 B=(-∞,2]. ∴A∩B=(-3,2]. 答案:(-3,2]

课堂互动讲练
考点一 求已知函数的定义域

1.给定函数的解析式,求函数的 定义域的依据是基本代数式的意义,如 分式的分母不等于零,偶次根式的被开 方数为非负数,零指数幂的底数不为 零,对数的真数大于零且底数为不等于 1的正数以及三角函数的定义等.

课堂互动讲练
2.求函数的定义域往往归结 为解不等式组的问题.在解不等式 组时要细心,取交集时可借助数 轴,并且要注意端点值或边界值.

课堂互动讲练
例1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= + x2-1; 2-|x| x2 (2)y= +(5x-4)0. lg(4x+3)

课堂互动讲练
【思路点拨】 本例都给出了 具体的解析式,应根据各种特殊函 数的定义域要求,分别解出范围, 最后取交集.

课堂互动讲练
?2-|x|≠0, 【解】 (1)由? 2 得 ?x -1≥0, ?x≠± 2, ? ?x≤-1,或x≥1.

∴函数的定义域为 (-∞,-2)∪(-2,-1]∪[1,2) ∪(2,+∞).

课堂互动讲练
(2) 由
?4x+3>0, ? ?4x+3≠1, ? ?5x-4≠0,



? ?x>-3,且x≠-1, ? 4 2 ? 4 ? x≠ . ? ? 5

∴函数的定义域为 3 1 1 4 4 (- ,- )∪(- , )∪( ,+∞). 4 2 2 5 5

课堂互动讲练

【名师点评】 本题的易错点 是:(1)特殊函数的定义域把握不住; (2)没有取交集,错误地认为取并集.

课堂互动讲练
考点二 求抽象函数的定义域

1.所谓抽象函数是指用f(x), g(x)或F(x),G(x)等表示的函数, 而没有具体解析式的函数类型.

课堂互动讲练
2.已知函数f(x)的定义域为[a, b],则函数f[g(x)]的定义域是指满足 不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围;一般 地,若函数f[g(x)]的定义域是[a,b], 指的是x∈[a,b],要求f(x)的定义域 就是求x∈[a,b]时g(x)的值域.

课堂互动讲练
例2 已知函数 y = f(x) 的定义域是
f(x2) [0,2],那么 g(x)= 的定 1+lg(x+1) 义域是________.

课堂互动讲练

【思路点拨】 (1)x2与已知f(x) 中x的含义相同. (2)分析分式的分母及对数式的真 数满足的条件.

课堂互动讲练
?0≤x2≤2 ? 由?x+1>0 ? ?1+lg(x+1)≠0

【解析】



?- 2≤x≤ 2 ? ?x>-1 ? ? 9 ?x>-1且x≠- 10 ?

课堂互动讲练
9 9 ∴-1<x<- 或- <x≤ 2. 10 10 9 9 故定义域为(-1,- )∪(- , 2]. 10 10

9 9 【答案】 (-1, - )∪(- , 2] 10 10

课堂互动讲练

【误区警示】 误认为f(x2)的定 义域是[0,4],同时易漏掉x+1>0这 一限制.

课堂互动讲练
互动探究
已知函数 y=f(x2)的定义域是[0,2], 那么 f(x ) g(x)= 的定义域是________. 1+lg(x+1)
?0≤x≤4 ? 解析:由?x+1>0 ? ?1+lg(x+1)≠0

,得

课堂互动讲练
?0≤x≤4 ? ?x>-1 ? ? 9 ?x>-1且x≠-10 ?

,∴0≤x≤4.

答案:[0,4]

课堂互动讲练
考点三
求已知函数的值域

函数的值域是函数值的集合,它是 由函数的定义域与对应关系确定的.函 数的最值是函数值域的端点值,求最值 与求值域的思路是基本相同的.在函数 的定义域受到限制时,一定要注意定义 域对值域的影响.

课堂互动讲练
例3
x2 (1)y= 2 ; x +1 (2)y=2x+ 1-2x; 4 (3)y=x+x.

课堂互动讲练

【思路点拨】 (1)对解析式变形 利用基本初等函数的性质; (2)换元法或利用函数的单调性; (3)函数的单调性或导数法.

课堂互动讲练
x2 【解】 (1)法一:∵y= 2 x +1 2 (x +1)-1 1 = =1- 2 , 2 x +1 x +1 1 2 又∵x +1≥1,∴0< 2 ≤1. x +1 1 ∴0≤1- 2 <1, x +1 x2 即函数 y= 2 的值域为[0,1). x +1

课堂互动讲练
法二:函数的定义域为 R. 设 u=x2+1,则 u≥1,由反比例 1 函 数 f(u) = - u 的 图 象 及 性 质 知 f(u)∈[-1,0). x2 1 ∴原函数 y= 2 =1- 2 =1 x +1 x +1 +f(u)的值域为[0,1).

课堂互动讲练
x2 y 2 法三: 由 y= 2 得 x = , x +1 1-y ∵x2≥0, y ∴ ≥0,解得 0≤y<1, 1-y 故原函数的值域为[0,1).

课堂互动讲练
1-t2 (2)法一:设 t= 1-2x,则 x= . 2 12 5 2 ∴y=1-t -t=-(t+ ) + . 2 4 1 ∵二次函数的对称轴为 t=- , 2 12 5 ∴在[0,+∞)上 y=-(t+ ) + 的最 2 4 大值为 1,无最小值,其值域为(-∞,1].

课堂互动讲练
法二: ∵y=2x 与 y=- 1-2x 均为定义域上的增函数,故 y=2x 1 - 1-2x是定义域为{x|x≤ }上的 2 增函数, 故函数的值域为(-∞,1].

课堂互动讲练
4 (3)法一:∵函数 y=x+x是定义域 为 {x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于 原点对称,故只讨论 x>0 时,即可知 x <0 时的最值和值域. 4 4 ∵当 x>0 时,y=x+x≥2 x· = 4 , x 当且仅当x=2时,等号成立, ∴当x<0时,y≤-4. 综上,函数的值域为(-∞,-4]∪ [4,+∞).

课堂互动讲练
2 x -4 4 法二:∵y′=1- 2= 2 , x x ∴当x≤-2或x≥2时,y′≥0,即f(x)在 (-∞,-2]和[2,+∞)上递增;在[-2,0) 和(0,2]上递减. 故x=-2时, f(x)极大值=f(-2)=-4, x=2时,f(x)极小值=f(2)=4. ∴所求函数的值域为(-∞,-4]∪ [4,+∞).

课堂互动讲练
【规律小结】 cf(x)+d (1)形如 y= af(x)+b

的函数求值域或最值时,可先将函数化 e 为 y= +f 的形式, 然后利用不等 af(x)+b 式的性质或反比例函数的图象及性质求 解;(2)形如 y=af(x)+ bf(x)+c形式的

课堂互动讲练

函数求值域或最值,可用换元法 将根号化去转化为基本初等函数 求值域或最值;(3)用均值不等式 求值域或最值时一定要注意其使 用条件“一正、二定、三等号”.

课堂互动讲练
考点四 函数的定义域与值域的综合

给出函数的定义域或值域求其中 的字母参数取值或范围,其关键是从 定义域、值域入手、做好转化.

课堂互动讲练
例4 (解题示范)(本题满分 12 分) 2 mx +8x+n 已知函数 f(x)=log3 的 2 x +1
定 义 域为 ( - ∞ ,+ ∞) , 值 域 为 [0,2],求实数 m、n 的值.

课堂互动讲练
mx2+8x+n 【思路点拨】 设 u= , 2 x +1 则 x∈R,u∈[1,9].

【解】 u∈[1,9],

mx2+8x+n 设 u= ,则 2 x +1

得(u-m)x2-8x+(u-n)=0. 2分 ∵x∈R,且设u-m≠0,

课堂互动讲练
∴Δ=(-8)2-4(u-m)(u-n)≥0, 4分 即u2-(m+n)u+(mn-16)≤0. 6分 由1≤u≤9知,u的一元二次方程u2-(m+ n)· u+(mn-16)=0的两根为1和9,由根与系 数关系得,
?m+n=1+9, ? 解得 m=n=5. ?mn-16=1×9.

10 分

课堂互动讲练
若u-m=0,即u=m=5时,对 应x=0,符合条件, ∴m=n=5为所求. 12分 【误区警示】 主要问题是对 x∈R,y∈[0,2]的对应关系不理解不 会转化为二次不等式问题.

课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分 10 分)若函数 f(x)= ax+b 的最大值为 4,最小值为-1, 2 x +1 求实数 a,b 的值. ax+b 解:设 y= 2 ,去分母得 x +1 yx2-ax+y-b=0, y=0显然在函数值域[-1,4]内; 2分

课堂互动讲练
y≠0时,x∈R, ∴Δ=a2-4y(y-b)≥0, 即4y2-4by-a2≤0① ①的解为-1≤y≤4. 因而方程4y2-4by-a2=0的两根为 -1,4. 7分 由根与系数关系知,b=-1+4=3,
a2 - =(-1)×4. 4 ∴a=±4. ∴a=4,b=3或a=-4,b=3. 10分

规律方法总结
1.求函数定义域的常见题型及 求法

(1)已知函数的解析式求其定义 域,只要使解析式有意义即可. (2)已知函数f(x)的定义域,求函 数f[g(x)]的定义域,此时f(x)的定义域 即为g(x)的值域.

规律方法总结
(3)涉及实际问题的定义域问题需 考虑问题的实际意义. (4)当解析式中含有参数时,需对 参数进行讨论.

规律方法总结
2.求函数值域常用的方法 (1)直接法——从自变量x的范围 出发,推出y=f(x)的取值范围; (2)二次函数法——利用换元法 将函数转化为二次函数求值域(或最 值 );

规律方法总结
(3)判别式法——运用方程思想,依 据二次方程有实根的条件,求出y的取值 范围; (4)利用函数的单调性; (5)利用重要不等式——基本不等式 求值域; (6)图象法——当一个函数图象可画 出时,通过图象可求其值域和最值;

规律方法总结
(7)利用函数的导数求最值——当 一个函数在定义域上可导时,可据其 导数求最值; (8)数形结合法——利用函数所表 示的几何意义,借助几何方法或图象 来求函数的值域.


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