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高一数学教案:用二分法求方程的近似解》一课的教学设计.doc


《用二分法求方程的近似解》一课的教学设计
江苏省太湖高级中学 肖瑛

求方程的解是常见的数学问题, 这之前我们都是在等式状态 下研究方程的变化关系,从而得到诸如求根公式等方程的解。但有些 方程求精确解较难,本课试图从另一个角度来求方程的近似解。说求 方程的近似解倒不如说是逼近解。本课重点是学习一种思维。
1、 教学目标 1.1 知识目标: 理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。 1.2 能力目标: 体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法; 让学生能够初步了解近似逼近思想, 培养学生能够探究问题的能力、 严谨的科 学态度和创新能力。 1.3 情感、态度与价值观 正面解决问题困难时,可以通过迂回的方法去解决。 2、 教学重点 能够借用计算器,用二分法求相应方程的近似解。 3、教学难点 对二分法的理论支撑的理解。 4、教学方法 实例导入 ?推出课题 ?实践探究 ?总结提炼 ?学生感悟(总结、反思) 5、教具 多媒体课件 6、教学过程 ………………………………………………………………………………………………… 一、 创设情景,引入新课 师:大家先来看一段录像(放映 CCTV2 幸运 52 片段) 支持人李咏说道:猜一猜这件商品的价格。观众甲:2000!李咏:高了! 观众甲:1000!李咏:低了!观众甲:1700!李咏:高了!观众甲:1400!李 咏:低了!观众甲:1500!李咏:低了!观众甲:1550!李咏:低了!观众甲: 1580!李咏:高了!观众甲:1570!李咏:低了!观众甲:1578!李咏:低了! 观众甲:1579!李咏:这件商品归你了。下一件…… 师: (手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格,你如何猜? 生 1:先初步估算一个价格,如果高了再每隔十元降低报价。 生 2:这样太慢了,先初步估算一个价格,如果高了每隔 100 元降低报价。如 果低了,每 50 元上涨;如果再高了,每隔 20 元降低报价;如果低了, 每隔 10 元上升报价…… 生 3:先初步估算一个价格,如果高了,再报一个价格;如果低了,就报两个 价格和的一半;如果高了,再把报的低价与一半价相加再求其半,报出

价格; 如果低了, 就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的 半价…… 师:在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如,一天,我们华庄校区与锡 南校区的线路出了故障, (相距大约 3500 米) 电工是怎样检测的呢?是按照生 1 那样每 隔 10 米或者按照生 2 那样每隔 100 米来检测还是按照生 3 那样来检测呢? 生: (齐答)按照生 3 那样来检测。 师:生 3 的回答,我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件,区间逼近法) 。 二、讲解新课 师:那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢? (多媒体)能否求解方程式 lg x ? 3 ? x; x 2 ? 2x ? 1 ? 0; x 3 ? 3x ? 1 ? 0 ? 生 4:方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解可用求根公式来解。
2

师: 不解方程, 当然也不许用求根公式, 如何求方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个正的近似解? (精
2

确到 0.1) (探究离不开问题,问题教学有赖于教师对问题情景的创设,以及问题的呈现方式) 1、 学生先自行探求,并进行组织交流。 (倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式,有助于发挥学生学习的主动性) ①师生共同探讨交流, 引出借助函数 f(x)= x ? 2 x ? 1 的图象, 能够缩小根所在区间,
2

并根据 f(2)<0,f(3)>0,可得出根所在区间(2,3); ②引发学生思考,如何进一步有效缩小根所在的区间; ③共同探讨各种方法,引导学生探寻出通过不断对分区间,有助于问题的解决; ④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程,加深学生对上述方法的理解; ⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时,到什么时候才能达到所要求的精确度。 2、 学生简述上述求方程近似解的过程。 (通过自己的语言表达,有助于学生对概念的理解) (思考,解决。问题激励,语言激励) (生推导,师欣赏,鼓励学生,生口答,得出) 生 5: 设f ( x) ? x ? 2x ? 1, 先画出函数图象的简图 ,
2

因为f (2) ? ?1 ? 0, f (3) ? 2 ? 0, 所以在区间 (2,3)内,

方程x 2 ? 2x ? 1 ? 0有一解,记为 x1;
f (2) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x1 ? (2,2.5), f (2.25) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x1 ? (2.25,2.5), f (2.375) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x1 ? (2.375,2.5), f (2.375) ? 0, f (2.4375 ) ? 0 ? x1 ? (2.375,2.4375 ),

因为 2.375 与 2.4375 精确到 0.1 的近似值都为 2.4,所以此方程的近似解为 x1 ? 2.4 3、 揭示二分法的定义。 指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。 例题剖析 (多媒体)例 1. 根据表格中的数据,可以断定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间
x

是( ) x -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 D (2,3) 3 20.09 5

ex
x+2

A (-1,0) B (0,1) C (1,2) 师:我们可以通过什么来判断某根所在的区间的? 生 6: f (m) f (n) ? 0 ? x ? (m, n), 师:有了这个依据,本题应选什么?为什么? 生 7:

设f ( x) ? e x ? x ? 2,? f (1) ? 0, f (2) ? 0即f (1) f (2) ? 0

? x ? (1,2),故选C

师:现在,判断某根所在区间有哪些方法? 生 8:画图或利用函数值的正负来判断。 例2. 利用计算器,求方程 lg x ? 3 ? x的近似解。(精确到 0.1 )

(本例鼓励学生自行尝试, 即能否利用二分法来求解本例, 此处教师仅仅是引导学 生如何把问题进行有效转化。要让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐,感 受数学学习的乐趣)(让学生思考片刻) 师:估计方程的根在什么范围内? 生: (无语) 师: (启发,师微笑着说)判断某根所在区间的方法是---(部分学生跟着说出方法) 那,现在我们可以画出哪些函数的图象? 生 9:作:y=lgx,y=3-x 的图象; 师:你们发现了什么? 生(齐答) :图象有一个交点; 师:这意味着什么? 生:在两个函数图象的交点处,函数值相等。因此,这 个点的横坐标就是方程 lgx=3-x 的解。从图象上可 以发现,这个方程有惟一解,且在区间(2,3)内。 师:判断出了根所在区间后接下去怎么办? 生:利用函数; 师:哪个函数?怎么算出近似解来? 生 10:

设f ( x) ? lg x ? x ? 3, 用计算器,得 f (2) ? 0, f (3) ? 0 ? x ? (2,3),

f (2.5) ? 0, f (3) ? 0 ? x ? (2.5,3), f (2.5) ? 0, f (2.75) ? 0 ? x ? (2.5,2.75)

f (2.5) ? 0, f (2.625) ? 0 ? x ? (2.5,2.625), f (2.5625 ) ? 0, f (2.625) ? 0 ? x ? (2.5625 ,2.625),
因为 2.5625 与 2.625 精确到 0.1 的近似值都为 2.6,所以原方程的近似解为 x ? 2.6 师:在求解上述两类不同类型方程近似解的基础上,引导学生归纳二分法求解方程 f(x)=0[或 g(x)= h(x)]近似解的基本步骤: ①画图或利用函数值的正负,确定初始区间(a,b),验证 f(a)f(b)<0; ②求区间(a,b)的中点 x 1 ( x1 ?

a?b ); 2

③计算 f(x1):若 f(x1)=0,则 x1 就是函数 f(x)的零点,x1 就是 f(x)=0 的根,计算 终止; 若 f(a) f(x1) ? 0,则选择区间(a, x1) ; 若 f(a) f(x1) ? 0,则选择区间(x1,b) ; ④循环操作②、③,直到当区间的两端点精确到同一个近似值时才终止计算。 (通过归纳总结,能够完善学生的认知结构)

精确到0.1 ) (多媒体)练习:1) 求方程x ? 3x ? 1 ? 0的一个正的近似解?(
3

0.1 ) 2) 求方程2 ? x ? 4的近似解?(精确到
x

2 ? x 的根的个数为( ) 3) 用二分法判断方程
x 2

A. 1

B. 2
x

C. 3

D. 4

4) 方程lg( x ? 4) ? 10 的根的情况是( ) A.仅有一根 B.有一正根一负根 C.有两负根 D.无实根 (全班共四组,第一、二组做练习 1) 、3) ;三、四组做练习 2) 、4) 。 ) (目的:让学生进一步巩固掌握二分法求近似解的操作步骤及其应用) 思考:从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个接点,现在某接点发生故障, 需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般至少需要检查接点的个数 为几个? (此例既体现了二分法的应用价值,也有利于发展学生的应用意识) 三、课堂小结 师:请同学们回顾一下本节课的教学过程,你觉得你已经掌握了哪些知识? (生总结,并可以互相交流讨论,师投影显示本课重点知识) 1、 二分法是一种求一元方程近似解的通法。 2、 利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。 3、 可以利用函数的图象来判断方程根的个数。 四、布置作业 必修 1 第 81 页习题 3、4、5 8、教学后记 本节课始终以学生动口、动脑、动手去探索,激发学生的学习动机,激励学生去取

得成功, 顺应合理的逻辑结构和认知结构, 符合学生的认知规律和心理特点, 重视思维训练, 发挥学生的主体作用,注意数学思想方法的溶入渗透,满足学生渴望的奖励结构。


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