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版高中数学第三章函数的应用章末复习课学案新人教A版必修1(数学教案)

第三章 函数的应用 章末复习课 网络构建 核心归纳 1.函数的零点与方程的根的关系 函数 f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的解,函数 f(x)的零点的个数与方程 f(x)=0 的解 的个数相等,也可以说方程 f(x)=0 的解就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标,即函 数 f(x)的函数值等于 0 时自变量 x 的取值. 因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决. 讨论方程的解所在的大致区间可以转 化为讨论函数的零点所在的大致区间, 讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个 数. 2.函数零点的存在性定理 (1) 该 定 理 的 条 件 是 : ① 函 数 f(x) 在 区 间 [a , b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 ; ② f(a)·f(b)<0,即 f(a)和 f(b)的符号相反.这两个条件缺一不可. (2)该定理的结论是“至少存在一个零点”,仅仅能确定函数零点是存在的,但是不能 确定函数零点的个数. 3.函数应用 (1)要解决函数应用问题,首先要增强应用函数的意识.一般来说,解决函数应用问题 可分三步:第一步,理解题意,弄清关系;第二步,抓住关键,建立模型;第三步,数学解 决、检验模型.其中第二步尤为关键. (2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略,寻求 解题途径. (3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面.一般分为两类:一类是 借助于生活经验、函数知识等建立函数模型,以二次函数模型为主,一般是求二次函数的最 值.另一类是根据几何、物理概念建立函数模型. 1 要点一 函数的零点与方程的根 函数的零点与方程的根的关系及应用 1.函数的零点与方程的根的关系:方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 2.确定函数零点的个数有两个基本方法:利用图象研究与 x 轴的交点个数或转化成两 个函数图象的交点个数进行判断. 【例 1】 ? ?x -2,x≤0, (1)函数 f(x)=? ?2x-6+ln x,x>0 ? x 2 的零点个数是________. (2)若函数 f(x)=|2 -2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是________. 解析 (1)①当 x≤0 时,由 f(x)=0,即 x -2=0,解得 x= 2或 x=- 2.因为 x≤0, 所以 x=- 2. ②法一 (函数单调性法)当 x>0 时,f(x)=2x-6+ln x. 而 f(1)=2×1-6+ln 1=-4<0,f(3)=2×3-6+ln 3=ln 3>0,所以 f(1)·f(3)<0, 又函数 f(x)的图象是连续的, 故由零点存在性定理, 可得函数 f(x)在(1,3)内至少有一个零 点.而函数 y=2x-6 在(0,+∞)上单调递增,y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,所以函 数 f(x)=2x-6+ln x 在(0,+∞)上单调递增. 故函数 f(x)=2x-6+ln x 在(0,+∞)内有且只有 1 个零点.综上,函数 f(x)共有 2 个零点. 法二 (数形结合法)当 x>0 时,由 f(x)=0,得 2x-6+ln x=0, 即 ln x=6-2x. 如图,分别作出函数 y=ln x 和 y=6-2x 的图象. 2 显然,由图可知,两函数图象只有一个交点,且在 y 轴的右侧,故当 x>0 时,f(x)=0 只有一个解. 综上,函数 f(x)共有 2 个零点. (2)由 f(x)=0 得|2 -2|=b,在同一坐标系中作出函数 y=|2 -2|和 y=b 的图象,如 图所示,由图可知 0<b<2,即若 f(x)有两个零点,则 b 的取值范围是(0,2). x x 2 答案 (1)2 (2)(0,2) 【训练 1】 已知关于 x 的方程 a·4 +b·2 +c=0(a≠0),常数 a,b 同号,b,c 异 号,则下列结论中正确的是( A.此方程无实根 B.此方程有两个互异的负实根 C.此方程有两个异号实根 D.此方程仅有一个实根 解析 由常数 a,b 同号,b,c 异号,可得 a,c 异号,令 2 =t,则方程变为 at +bt +c=0,t>0,由于此方程的判别式 Δ =b -4ac>0,故此方程有 2 个不等实数根,且两根之 积为 <0,故关于 t 的方程只有一个实数根,故关于 x 的方程只有一个实数根. 答案 D 要点二 二分法求方程的近似解(或函数的零点) 1.二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数,转化为求函数的零点. (2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差 1). (3)利用二分法求函数的零点. (4)归纳结论. 2.使用二分法的注意事项 (1)二分法的实质是通过“取中点”,不断缩小零点所在区间的范围,所以要选好计算 的初始区间,保证所选区间既符合条件,又使区间长度尽量小. (2)计算时注意依据给定的精确度,及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求. (3)二分法在具体使用时有一定的局限性, 首先二分法只能一次求得一个零点, 其次 f(x) 在(a,b)内有不变号零点时,不能用二分法求得. 【例 2】 设函数 f(x)=x +3x-5,其图象在(-∞,+∞)上是连续不断的. 先求值:f(0)=________,f(1)=________,f(2)=________,f(3)=________. 所以 f(x)在区间________内存在一个零点 x0,填下表, 区间 中点 m 3 2 x x ) x 2 c a f(m)符号 区间长度 3 结论 x0 的值为多少?(精确度 0.1) 解 f(0)=-5,f(1)=-1, f(2)=9,f(3)=31, 所以初始区间为(1,2). 区间 (1,2) (1,1.5) (1,1.25) (1.125,1.25) (1.125,1.187 5)

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