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高一期末复习:立体几何初步89

同步教育信息】
一. 本周教学内容 高一期末复习:立体几何初步 二. 教学目的 1. 复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用 2. 掌握典型题型及其处理方法 三. 教学重点、难点 《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法 四. 知识分析

1. 多面体的结构特征 对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握,棱柱、棱锥、棱台是不同的多面 体,但它们也有联系,棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台;棱锥又可以看作是一底面缩 为一点的棱台,因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。 2. 旋转体的结构特征 旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的,一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分 别是由哪一种平面图形旋转生成的, 从而可掌握旋转体中各元素的关系, 也就掌握了它们各 自的性质。 3. 表面积与体积的计算 有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,应以公式法为基础,充分利用几何体中的直 角三角形、直角梯形求有关的几何元素。 4. 三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式, 空间几何体的三视图可以使我们很好 地把握空间几何体的性质. 由空间几何体可以画出它的三视图, 同样由三视图可以想象出空 间几何体的形状,两者之间可以相互转化。

5. 直线和平面平行的判定方法 (1)定义: a ? ? ? ? ? a / /? ; (2)判定定理: a / / b,a ? ?,b ? ? ? a / /? ; (3)线面垂直的性质: b?a,b??,a ? ?,a / /? ; (4)面面平行的性质: ? / / ?,a ? ? ? a / / ? 。 6. 线线平行的判定方法 (1)定义:同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线; (2)公理 4: a / /b,b / / c, ? a / / c ; (3)平面几何中判定两直线平行的方法; (4)线面平行的性质: a / /?,a ? ?,? ? ? ? b ? a / /b ; (5)线面垂直的性质: a??,b?? ? a / /b ; (6)面面平行的性质: ? / / ?,? ? ? ? a,? ? ? ? a / /b 。 7. 证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义:a 与 ? 内任何直线垂直 ? a?? ;

m、n ? ?,m ? n ? A? ? ? l?? ? (2)判定定理 1: l?m,l?n ;
(3)判定定理 2: a / /b,a?a ? b?? ; (4)面面平行的性质: ? / / ?,a?? ? a?? ; (5)面面垂直的性质: ???,? ? ? ? l,a ? ?,a?l ? a?? 。 8. 证明线线垂直的方法 (1)定义:两条直线所成的角为 90°; (2)平面几何中证明线线垂直的方法; (3)线面垂直的性质: a??,b ? ? ? a?b ; (4)线面垂直的性质: a??,b / /? ? a?b 。 9. 判定两个平面平行的方法 (1)依定义采用反证法; (2)利用判定定理:

? / / ?,b / / ?,a ? ?,b ? ?,a ? b ? A ? ? / / ? ;

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;

a??,a?? ? ? / / ? ;
(4)平行于同一平面的两个平面平行;

? / /?,? ? /? ? ? ? / ? 。
10. 平行关系的转化

由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化, 因此要判定某一平行的过程就是从一平 行出发不断转化的过程,在解题时把握这一点,灵活确定转化的思路和方向。 11. 判定两个平面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角。 (2)判定定理: a ? ?,a?? ? ??? 12. 垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在, 则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂 线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直。故熟练掌握“线线垂直”“面面垂 直”间的转化条件是解决这类问题的关键。

【典型例题】
例 1. 图中所示的是一个零件的直观图,画出这个几何体的三视图。

解析: 该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成, 并挖去了一个与该半圆柱同心的 圆柱,这个几何体的三视图如图所示。

在视图中, 被挡住的轮廓线画成虚线, 尺寸线用细实线标出; Φ 表示直径, R 表示半径; 单位不注明时按 mm 计。 点评:画简单组合体的三视图应注意两个问题:(1)要确定主视、俯视、左视的方向, 同一物体放置位置的不同,所画的三视图可能不同。(2)要明确简单组合体是由哪几个基 本几何体生成的,并注意它们的生成方式,特别是交线位置。 例 2. 在球面上有四点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两垂直且 PA=PB=PC=a,求 这个球的表面积和体积。 解析:如图,设过 A、B、C 三点的球的截面半径为 r,球心到截面距离为 d,球半径为 R,则 R ? r ? d 。
2 2 2

在三棱锥 P ? ABC 中 ∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC ∴P 在△ABC 上的射影 O1 是△ABC 的垂心 又 PA=PB=PC ∴ O1 又是△ABC 的外心 因此可知△ABC 是等边三角形,边长为 2a

?r ?

3 6 ? 2a ? a 3 3

6 3 PO1 ? a 2 ? a 2 ? a 9 3 又∵

∴ R ? r ? d ? r ? ( R ? PO1 )
2 2 2 2

2

?R ?

3 a 2

3 S 球 ? 4?R 2 ? 4? ? a 2 ? 3?a 2 4 于是,

V球 ?

4 3 4 3 3 3 ?R ? ? ( a) 3 ? ?a 3 3 2 2

点评:因为 PA,PB,PC 两两垂直,于是也可以构造一个长方体来解决,长方体对角

线恰为球的直径, R ? 3a ,所以
2 2

R?

3 a 2 ,这样就简单了。

例 3. 如图,已知 P 为△ABC 外一点,PA、PB、PC 两两垂直且 PA=PB=PC=a,求 P 点到平面 ABC 的距离。 解析:过 P 作 PO⊥平面 ABC 于 O 点,连结 AO、BO、CO

∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC ∵PA=PB=PC=a ∴△PAO≌△PBO≌△PCO ∴OA=OB=OC ∴O 为△ABC 的外心 ∵PA、PB、PC 两两垂直 ∴AB=BC=CA= 2a ,△ABC 为正三角形



AO ?

3 6 AB ? a 3 3 PA2 ? AO2 ? 3 a 3

? PO ?

3 a 因此点 P 到平面 ABC 的距离为 3

点评:(1)求点到平面距离的基本程序是:首先找到或作出要求的距离;然后使所求 距离在某一个三角形中;最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离。 (2)求距离问题转化到解三角形有关问题后,在三角形中求距离常常用到勾股定理、 正弦定理及有关三角函数知识。 (3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容,高考命题中出现较多,应充分注意, 除了上面提到的方法之外,还有其他一些方法,比如以后学习的等积法,希望同学们在学习 过程中不断总结. 例 4. 如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 中点。 (1)求证:MN//平面 PAD; (2)求证:MN⊥CD; (3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD。

解析:取 PD 中点 E,连结 AE、EN



EN

// 1 // 1 // CD AB AM 2 2

故四边形 AMNE 为平行四边形 ∴MN//AE 又 AE ? 平面 PAD,MN ? 平面 PAD ∴MN//平面 PAD (2)∵PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥AB 又 AD⊥AB ∴AB⊥平面 PAD ∴AB⊥AE,即 AB⊥MN 又 CD//AB,∴MN⊥CD (3)∵PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥AD 又∠APD=45°,E 为 PD 中点 ∴AE⊥PD,即 MN⊥PD 又 MN⊥CD,∴MN⊥平面 PCD 点评: 应用线面平行的判定定理证明线面平行, 关键是找到平面内与平面外直线平行的 直线。 处理有关线面垂直和线线垂直的问题, 要注意转化思想的应用, 即将线线垂直转化为线 面垂直,线面垂直又可转化为线线垂直。 例 5. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB1?BC1 ,求证: AB1 ?A1C 。

解析:取 AB 中点 D, A1 B1 中点 D1 ,连结 A1 D、BD1 、CD、C1 D1 由正三棱柱性质知: CD?AB,C1 D1?A1 B1 又正三棱柱侧面与底面垂直 则有 CD⊥面 ABB1 A1 , C1 D1?面ABB1 A1 所以 C1 D1 ?AB1 又 AB1?BC1 ,C1 D1 ? BC1 ? C1 所以 AB1?平面BC1 D1 又 A1 D1 所以 AB1 ?BD1

//

DB

所以四边形 DBD1 A1 为平行四边形 所以 BD1 / / A1 D 又 CD⊥平面 ABB1 A1 所以 AB1?平面DCA1 又 A1C ? 平面DCA1 所以 AB1 ?A1C 所以 A1 D?AB1 所以 CD⊥ AB1

点评:证明线线垂直的主要方法是证明线面垂直。 例 6. 已知正方体 ABCD 一 A1BlC1D1 的棱长为 a,O 为面 A1BlC1D1 的中心,求点 O 到平 面 C1BD 的距离。 解析:连结 AC ? BD ? H

因为 BD⊥AC 又 C1C?平面ABCD 所以 BD⊥ C1C 所以平面 C1 BD?平面AA1C1C,且交线为C1 H 作 OG?C1 H于G,所以OG?面C1 BD 所以 OG 的长为点 O 到面 C1 BD 的距离。

连结 OH,在 Rt△ HOC1 中,

OH ? a,OC1 ?

2 a 2

所以

C1 H ?

3 a 2
a? 2 a 2 ? 3a 3 3 a 2

OH ? OC1 OG ? ? C1 H
所以

点评:本例是通过定理“如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面” (即其中一个平面内一点在另一个平面上正射影在两互相垂直平面 的交线上)得到点 O 到平面 C1BD 的距离 OG 的。

【模拟试题】
一. 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 给出四个命题: ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体; ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题: ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥; ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥; ③棱锥的所有面可能都是直角三角形; ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为 1:2:3,它的表面积为 88,则它的对角线长 为( ) A. 12 B. 24 C. 2 14 D. 4 14

4. 湖面上漂着一个球,湖结冰后将球取出,冰面上留下一个面直径为 24cm,深为 8cm 的 空穴,则该球的半径是( ) A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 8 2cm )

5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积为侧面积的比是(

1 ? 2? A. 2?

1 ? 4? B. 4?

1 ? 2?
C.

?

1 ? 4? D. 2?

6. 已知直线 l?平面?,直线m ? 平面? ,有下面四个命题: ① ? / / ? ? l?m ;② ??? ? l / / m ;③ l / / m ? ??? ;④ l?m ? ? / / ? 。 其中正确的两个命题是( ) A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中,量得水面的高度为 6cm,若将这些 水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( ) A. 6 3cm B. 6cm
2

C. 2 18

2

D. 3 12 )

3

8. 设正方体的全面积为 24cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是(

A.

6?cm

3

32 ?cm 3 3 B.

8 ?cm 3 3 C.

4 ?cm 3 3 D.


9. 对于直线 m、n 和平面 ?、? 能得出 ??? 的一个条件是( A. m?n,m / /?,n / / ? C. m / / n,n??,m ? ?

B. m?n,? ? ? ? m,n ? ? D. m / / n,m??,n??

10. 如果直线 l、m 与平面 ?、?、? 满足:l ? ? ? ?,l / /?,m ? ?,m?? ,那么必有 ( )

A.

???和l?m

B. D.

? / /?,和m / / ?
???且???

C. m / / ?,且l?m

11. 已知正方体的八个顶点中,有四个点恰好为正四面体的顶点,则该正四面体的体积与 正方体的体积之比为( ) A. 1: 3 B. 1: 2 C. 2:3 D. 1:3

12. 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图 所示,那么水瓶的形状是( )

二. 填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 正方体的全面积是 a ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为 5:2:8,体积为 14cm ,则棱台的高为 ____________。 15. 正三棱柱的底面边长为 a, 过它的一条侧棱上相距为 b 的两点作两个互相平行的截面, 在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。 16. 已知 ?、? 是两个不同的平面,m、n 是平面 ?及? 之外的两条不同的直线,给出四个 论断: ①m⊥n,② ??? ,③ n?? ,④ m ? ? 。 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 ______________。 三. 解答题(共 74 分) 17. (12 分)正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F、G 分别是棱 DA、DC、 DD1 的中点, 试找出过正方体的三个顶点且与平面 EFG 平行的平面,并证明之。 18. (12 分)球内有相距 1cm 的两个平行截面,截面的面积分别是 5?cm 和8?cm ,球
2 2
3

2

心不在截面之间,求球的表面积与体积。 19. (12 分)一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱锥的表面积。

3 20. (12 分)直角梯形的一个内角为 45°,下底长为上底长的 2 ,这个梯形绕下底所在
直线旋转一周所成的旋转体的全面积是( 5 ?

2 ) ? ,求这个旋转体的体积。

21. (12 分) 有一块扇形铁皮 OAB, ∠AOB=60°, OA=72cm, 要剪下来一个扇形 ABCD, 作圆台形容器的侧面,并且余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形 容器的下底面(大底面)。(如图)试求 (1)AD 应取多长? (2)容器的容积。

22. (14 分)如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4,E、 F 分别为 AB、BC 的中点, EF ? BD ? G 。 (1)求证:平面 B1 EF?平面BDD1 B ; (2)求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d; (3)求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积 V。

【试题答案】
一. 1. B 7. B 二. 2. B 8. D 3. C 9. C 4. C 10. A 5. A 11. D 6. D 12. B

?
13. 2

a2

14. 2cm

15. 3ab

16. m?n,m??,n?? ? ???(或m??,n??,??? ? m?n) 三. 17. 证明:过 A、C、D1 的平面与平面 EFG 平行,由 E、F、G 是棱 DA、DC、 DD1 的 中点可得 GE// AD1 ,GF// CD1 , GE ? 平面 EFG, GF ? 平面 EFG ∴ AD1 //平面 AEG, CD1 //平面 EFG 又 AD1 ? CD1 ? D1 ∴平面 EFG//平面 ACD1 18. 解:如图,设两平行截面半径分别为 r1 和r2 ,且r2 ? r1

依题意, ?r1 ? 5?,?r2 ? 8?
2 2

? r12 ? 5,r22 ? 8 ? OA1 和OA2 都是球的半径R OO1 ? OO2 ? R 2 ? r12 ? R 2 ? r22 ? R2 ? 5 R2 ? 8

? R2 ? 5 ? R2 ? 8 ? 1 解得R 2 ? 9
2

?R ? 3

? S 球 ? 4?R ? 36? (cm 2 ) V球 ? 4 2 ?R ? 36? (cm 3 ) 3

19. 解:由三视图知正三棱锥的高为 2mm 由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为 2 3mm

3 a?2 3 设底面边长为 a,则 2
∴正三棱柱的表面积

?a ? 4

S ? S 侧 ? 2S 底 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ?

1 ? 4 ? 2 3 ? 24 ? 8 3 (mm 2 ) 2

20. 解:如图,梯形 ABCD,AB//CD,∠A=90°,∠B=45°,绕 AB 边旋转一周后形成 一圆柱和一圆锥的组合体。



CD ? x,AB ?

3 x 2



AD ? AB ? CD ?

x 2 ,BC ? x 2 2

S全面积 ? S圆柱底 ? S圆柱侧 ? S圆锥侧
? ? ? AD2 ? 2? ? AD ? CD ? ? ? AD ? BC x2 ? x 2 ? 2? ? ? x ? x ? ? x 4 2 2 2 5? 2 2 ? ?x 4 ???

5? 2 ? ? x 2 ? (5 ? 2 )?,则x ? 2 根据题设 4
所以旋转体体积

V ? ? ? AD 2 ? CD ?

?
3

AD 2 ? ( AB ? CD)

? ? ? 12 ? 2 ? ? 7 ? 3

?
3

? 12 ? (3 ? 2)

21. 解:如图,设圆台上、下底面半径分别为 r、R、AD=x,则 OD ? 72 ? x

由题意得

?⌒ 60 ? ? ? AB ? 2?R ? ? 72 180 ? ? ? ?⌒ 60 ? ? ? (72 ? x ) ?CD ? 2?r ? 180 ? ? ? ?OD ? 72 ? x ? 3R

? R ? 12,r ? 6,x ? 36

? AD ? 36cm
2 2 (2)又圆台的高 h= x ? ( R ? r ) ?

36 2 ? (12 ? 6) 2 ? 6 35

1 ?V ? ?h( R 2 ? Rr ? r 2 ) 3

1 ? ? ? 6 35 ? (12 2 ? 12 ? 6 ? 6 2 ) 3 ? 504 35? (cm3 )
22. 证明:(1)如图,连结 AC

∵正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面呈正方形 ∴AC⊥BD 又 AC⊥ D1 D ∴AC⊥平面 BDD1 B1 ∵E、F 分别为 AB、BC 的中点 ∴EF//AC ∴EF⊥平面 BDD1 B ∴平面 B1 EF?平面BDD1 B1 解(2)在对角面 BDD1 B1 中,作 D1 H?B1G ,垂足为 H ∵平面 B1 EF?平面BDD1 B1 ,且平面 B1 EF ? 平面 BDD1 B1 ? B1G ∴ D1 H?平面B1 EF,且垂足为H ∴ D1 H 为点 D1 到平面 B1 EF 的距离 在 Rt△ D1 HB1 中, D1 H ? D1 B ? sin ?D1 B1 H

? D1 B1 ? 2 A1 B1 ? 2 ? 2 2 ? 4 BB 4 sin ?D1 B1 H ? sin ?B1GB ? 1 ? GB1 17 ? D1 H ? 4 ? 4 16 17 ? 17 17
1 ? D1 H ? S ?B1EF 3

(2)

V ? VB1 ? EFD1 ? VD1 ? B1EF ?

1 16 1 ? ? ? 2 ? 17 3 17 2 16 ? 3 ?


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