2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷

2013 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 一试 一、填空题（每小题 8 分，共 80 分） 1、设 A、B 是两个非空的有限集，全集 U ? Α ? Β ，且 U 中含有 m 个元素，若（CUA）∪ （CUB）中 含有 n 个元素，则 A∩B 中所含元素的个数为 . 2、已知△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足 a sin A sin B ? B cos2 A ? 2a .则 的值是 .

a b

3、在直角坐标系 xOy 中，已知三点 A(a,1)、B(2,b)、C(3,4)，若向量 OA 与 OB 在向量 OC 方向上的投影 相同，则 3a－4b 的值是 . 4、已知正三棱锥 P-ABC 的侧棱与地面所成的角为 45° ，则相邻侧面所成角的余弦值为 . 5、已知三个互不相等的整数 x、y、z 之和介于 40 与 44 之间，若 x、y、z 依次构成公差为 d 的的等差 数列，x+y，y+z，z+x 依次构成公比为 q 的等比数列，则 d· q 的值是 . 6、设点 P、Q 分别在直线 3x—y+5=0 和 3x—y—13=0 上运动，线段 PQ 的中点为 M(x0,y0),且 x0+y0≥4. y 则 0 的取值范围是 . x0 7、在一个圆上随机取三点，则以这三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率等于= . 4 4 4 4 8、设 M=1 +2 +3 +…+2013 ，则 M 的各位数字为 . x ? 1 ? 1? ，都有 9、若对任意 x ? ? ? ， ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? an xn ? ，则 a3 ? a4 的值是 1 ? x ? 2 x2 ? 2 ? 10、若 0 ≤ xi ≤1? i ? 1， 2， 3， 4， 5? ，M=|x1—x2|3+|x2—x3|3+|x3—x4|3+|x4—x5|3+|x5—x1|3 的最大值是

. .

二试 一、 （本题满分 20 分） 已知函数 f ? x ? ?
1 3 2? ?? sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? sin ? x ? ? , x ? R . 4 2 4? ?

?

?

(1) 求函数 f ? x ? 的最小正周期； (2) 求函数 f ? x ? 的单调区间.

二、 （本题满分 20 分） (3) 设不经过坐标原点 O 的直线 l 与圆 x2+y2=1 交于不同的两点 P、Q，若直线 PQ 的斜率是直线 OP 和 OQ 斜率的等比中项，求△ POQ 面积 S 的取值范围. 三、 （本题满分 20 分） (4) 如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆弧的中点，P 是 AB 延长线上的一点，PD 与半圆 O 相切于点 D，∠APD 的评 分线分别交 AC、BC 于点 E、F.求证：线段 AE、BF、EF 构成一个直角三角形. (第 3 题)

四、 （本题满分 30 分） 已知曲线 C1 : f ? x ? ?

1 x 1 e ? e? x ? ，曲线 C2 : g ? x ? ? ? e x ? e? x ? ，直线 x=a 与曲线 C1 、 C2 分别交于点 A、 ? 2 2

B，曲线 C1 在点 A 处的切线为 l1 ，曲线 C2 在点 B 处的切线为 l2 . （1） 证明：直线 l1 与 l2 必相交，且交点到直线 AB 的距离为定值； （2） 设 a<0，直线 l1 与 l2 的交点为 P.若△ PAB 为钝角三角形，求 a 的取值范围.

五、 （本题满分 30 分） 设P 0, P 1, P 2,
, Pn ? n ? N? ? 是平面上的 n ? 1 个点，且任意两点间的距离都小于 1.证明 ?
k ?1 n

1

? PP

0 k

? 1?

4

?

7 . 2

解答 一试 1、 m ? n 2、 2 提示：注意到， ?CU A? ? ?CU B? ? CU ? A ? B? ,由韦恩图可知， A ? B 中含有 m ? n . 提示：由题设及正弦定律，得：

2a ? a sin Asin B ? b(1 ? sin 2 A)
? B ? sin A(a sin B ? b sin A) ? b
故

b ? 2 a
提示：方法 1 向量 OA 、 OB 在向量 OC 方向上的投影分别为

3、2

OA ? OC OC

、

OB ? OC OC

.

依题意的得 OA? OC ? OB ? OC ,及 3a ? 4 ? 6 ? 4b

方法 2

因为向量 OA 和 OB 在向量 OC 方向上的投影相同，所以 AB ? OC ，即 AB ? OC ? 0 ，即

3a ? 4b ? 2 .

1 提示：如图，设正三菱锥 P ? ABC 的底面 ABC 所成的角，即 5 ?PCE ? 45? .过点 A 作 AF ? PC ， 垂足为 F ， 由于对称性知，BF ? PC ， ? AFB 故 为 侧 面 PAC 与 PBC 所 成 的 角 . 在 等 腰 直 角 ?EFC 中 ，
4、
A

P F

C E 1 （第 图 4 题） B

2 6 10 EF ? CE ? a . 所 以 AF ? BF ? BE 2 ? EF 2 ? a . 在 ?AFB 2 4 4
AF 2 ? BF 2 ? AB2 1 ? . 中， cos?AFB ? 2 AF ? BF 5

5、42

提示：由 x ? y ? d ， z ? y ? d ，得 x ? y ? 2 y ? d ， y ? z ? 2 y ? d ， z ? x ? 2 y .又由于

( x ? y)(z ? x) ? ( y ? z) 2 ，得 2 y(2 y ? d ) ? (2 y ? d )2 ，即 d (d ? 6 y) ? 0 .因为 d ? 0 ，所以 d ? ?6 y .
又 40 40 ? x ? y ? z ? 3 y ? 44 ， 所以 所以 q ?

40 44 ? y? .因为 y 为整数， 所以 y ? 14 ， 从而 d ? ?16 y ? ?84 . 3 3

y ? z 2y ? d 1 ? ? ? .故 d ? q ? 42 . x ? y 2y ? d 2

6、 [1,3)

提示： 设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ，则 x1 ? x2 ? 2 x0 ， y1 ? y2 ? 2 y0 ，且

3x1 ? y1 ? 5 ? 0,3x2 ? y2 ?13 ? 0
两 式 相 加 ， 得

3( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 8 ? 0

，

即

3x0 ? y0 ? 4 ? 0

.

所

以

3x0 ? y0 ? 4 ? (4 ? x0 ) ? 4 ? 8 ? x ，则 x0 ? 2 .从而，
1? y0 ? 3. x0

y0 3x0 ? 4 4 ? ? 3 ? 在 [2,??] 上单调递增.故 x0 x0 x0

y 4 M

方法 2

易知，点 M 在直线 y ? 3x ? 4 上.又点 M 的坐标满足 x ? y ? 4 ，

所以点 M 在如图所示的射线 M 0 M : y ? 3x ? 4( x ? 2) 上， 其中点 M 0 (2,2) . 因为

2

M0

y0 y 表示射线上的点与原点 O 连线的斜率，所 1 ? kOM 0 ? 0 ? 3 . x0 x0

o

2

4

x

图 2 （第 6 题）

7、

1 4

提示：不妨设 ?ABC 是半径为 1 的圆的任一内接三角形， ? A 、 ? B 所对的弧长分别为 x 、

y ，则有
?0 ? x ? 2? , ? ?0 ? y ? 2? , ?0 ? x ? y ? 2? ?
这个不等式组表示如图所示的 ?POQ 区域 （不含边界） ， 其面积为 S1 ? 2? .
2

若 ?ABC 为锐角三角形，则 x , y 满足

y Q
2π

?0 ? x ? ? , ? ?0 ? y ? ? , ?? ? x ? y ? 2? ?
这个不等式组表示如图所示的 ?DEF 区域（不含边界） ，其中 D 、 E 、 F

E

F
2π

1 2 分别为 OP 、 OQ 、 PQ 的中点，其面积为 S 2 ? ? .故所求的概率为 2

o

D
图 3 （第 7 题）

P

x

p?

S2 1 ? . S1 4

8、1

提示：设 a 、 b 为正整数，则 (10a ? b) 的个位数字与 b 的个位数字相同.从而，
4
4

14 ? 24 ? 34 ? ? ? 104 的个位数字与 1 ? 6 ? 1 ? 6 ? 5 ? 6 ? 1 ? 6 ? 1 ? 0 ? 33 的个位数字相同为 3 .所以
4 4 14 ? 24 ? 34 ? ? ? 20104 的个位数字与 3 ? 201 的个位数字相同为 3 .又 2011 ? 20124 ? 2013 的个

位数字与 1 ? 2 ? 3 的个位数字相同为 8 ，故 M 的个位数字与 3 ? 8 ? 11 的个位数字相同为1 .
4 4 4

9、 ? 2

提示：方法 1

由题设知，对于任意 x ? ? ?

? 1 ? ,1? ，都有 ? 2 ?

x ? (1 ? x ? x 2 )(a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ? ?) ? a0 ? (a1 ? a0 ) x ? (a2 ? a1 ? 2a0 ) x 2 ? ?,
其中， x 项的系数为 ak ? ak ?1 ? 2ak ?2 ， k ? 2,3,? .
k

?a0 ? 0, ?a0 ? 0, ?a ? a ? 1, ?a ? 1, 1 0 1 ? ? ? ? 所以 ?a2 ? a1 ? 2a0 ? 0, ，解得 ?a2 ? ?1, 故 a3 ? a4 ? 2 . ?a ? a ? 2a ? 0, ?a ? 3, 1 ? 3 2 ? 3 ?a4 ? ?5, ?a4 ? a3 ? 2a2 ? 0. ? ?
方法 2 在已知等式中，令 x ? 0 ，的 a0 ? 0 .代入已知等式，化简得

1 ? a1 ? a2 x ? a3 x 2 ? ? ? an x n ?1 ? ? . 1 ? x ? 2x2 ?1? 2x ? a2 ? a3 x ? ? ? an x n ? 2 ? ? . 令 x ? 0 ，得 a1 ? 1 .代入上式，化简得 1? x ? 2x2
再令 x ? 0 ，得 a2 ? ?1.用同样的方法，得 a3 ? 3, a4 ? ?5 .故 a3 ? a4 ? ?2 .

10、4

提示（1）若存在正整数 j ，使得 x j ? x j ?1 ( j ? 1,2,?,5 ，规定 x6 ? x1 ) ，则 M ? 4 .上式等

号可以成立，例如，取 x1 ? 0, x2 ? 1, x3 ? 0, x4 ? 1, x5 ? 0 . （2）若对任意正整数 i ，都有 xi ? xi ?1 (i ? 1,2,?5, 规定 x6 ? x1 ) ，则要么 xi ?1 ? xi 且 xi ? xi ?1 ，要么

xi ?1 ? xi ? xi ?1

或

xi ?1 ? xi ? xi ?1

，

如

果

xi ?1 ? xi

且

xi ? xi ?1

，

则

有

x1 ? x2 , x2 ? x3，x3 ? x4 , x4 ? x5 , x5 ? x1, x1 ? x2 ，矛盾.因此，只有 xi ?1 ? xi ? xi ?1 或 xi ?1 ? xi ? xi ?1 .
对以上两种情况，都有 xi ?1 ? xi ? xi ? xi ?1 ? xi ?1 ? xi ?1 ? 1 .从而， M ? 1 ? 3 ? 4 .综合（1） （2） ，
3 3 3

M 的最大值为 4.

二试

1 3 ? f ( x) ? ( 3 ? cos2 x) ? [1 ? cos(2 x ? )] 1、 4 4 2

?
（1） T ?

3 1 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sin(2 x ? ) . 4 4 2 6

2? ?? . 2

（2）由 2k? ?

?

2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

，函数 f ( x) 的单调递增区间为

? ?? ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) . ? 6 3? ?
2 2 2、设 PQ ： y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0) ，代入 x ? y ? 1 ，得

(k 2 ? 1) x 2 ? 2kbx ? b2 ?1 ? 0 .
由 ? ? 4k 2b2 ? 4(k 2 ? 1)(b2 ?1) ? 0 ，得 b ? k ? 1 .设 P( x1 , y1 ) ， Q( x2 , y2 )(x1 x2 ? 0) ，则
2 2

x1 ? x2 ? ?
从而， kOP ? kOQ

2kb b2 ?1 , x x ? . 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1

y1 y2 (kx1 ? b)(kx2 ? b) kb( x1 ? x2 ) ? b 2 2 2 .因为 kOP ? kOQ ? k ，所以 ? ? ? ?k ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

b 2kb b ? ? ，解得 k ? ?1 .又圆 kb( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0 .因为 k ? 0, b ? 0 ，所以 x1 ? x2 ? ? .从而， ? 2 k k ?1 k
心 O 到直线 PQ 的距离为 d ?

b k 2 ?1

?

b 2

，所以

PQ ? 2 1 ? d 2 ? 2 1 ?

b2 . 2

于是，

b 1 b2 b2 b2 S ? PQ ? d ? 1? ? (1 ? ) 2 2 2 2 2 2 2 b b ? (1 ? ) 2 ?1 ? 2 2 2
又 x1 x2 ?

b2 ?1 ? 1? ? 0 ，所以 b ? 0 .因此，上式等号不成立.故 ?POQ 面积 S 的取值范围是 ? 0, ? . 2 k ?1 ? 2?
如图 1，设直线 FE 与半圆 O 交于 M、N 两点，连接 DE 、 DF 、 DB ，则

3、证法 1

m 1 ⌒ ⌒ m 1 ⌒ ⌒ ⌒ ?APM ? ( AM ? BN ) ， ?DPM ? ( MC ? CD ? ND ) . 2 2

因为 ?APM ? ?DPM ,所以 AM ? BN ? MC ? CD ? ND . 又 AM ? MC ? CD ? CN ? NB ，所以 MC ? ND .从而，
m 1 ⌒ ⌒ ⌒ 1 ⌒ m ?DPM ? ( MC ? CD ? ND ) ? CD ? ?CBD .所以 P 、 2 2 D 、 F 、 B 四点共圆.同理， P 、 D 、 E 、 A 四点共圆.又
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

⌒

⌒

⌒

⌒

⌒

M N

(第 3 题图 1)

PE 平分 ?APD ，所以 DF ? BF, DE ? AE .因为

?PDE ? 180? ? ?PAE ? 135?, ?PDF ? ?ABF ? 45? ，所以 ?EDF ? ?PDE ? ?PDF ? 90? .故
AE 2 ? BF 2 ? DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ，即线段 AE 、 BF 、 EF 可以组成一个直角三角形.
证法 2 如图 2，连 AD 、 BD 分别交 PE 于 K 、 L ，连结

DE DF ，则 ?PDB ? ?BAD, ?KDL ? 90? .因为

?DKL ? ?PAK ? ?APK 1 ? ?PDB ? ?APD 2
， (第 3 题图 2)

L

1 ?DLK ? ?PDL ? ?DPL ? ?PDB ? ?APD 所以 2 1 ?DKL ? ?DLK ? 45? ? ?ABC .又 ?ABC ? ?PFB ? ?BPE ? ?PFD ? ?APD ，所以 2 ?PDB ? ?PFB ，所以 PF ? BF .同理 DE ? AE .因为 ?EDK ? ?EAD ? ?FBD ? ?FDL ，
所以

?EDF ? ?EDK ? ?KDF ? ?FDL ? ?KDF ? ?KDL ? 90?
故 AE ? BF ? DE ? DF ? EF ，即线段 AE 、 BF 、 EF 可以组成一个直角三角形.
2 2 2 2 2

4、（1）因为 f ' ( x) ?

1 x ?x 1 (e ? e ) ? g ( x), g ' ( x) ? (e x ? e ? x ) ? f ( x) ，所以 2 2 1 a 1 kl1 ? (e ? e ? a ), kl2 ? (e a ? e ? a ) .又 e ? a ? 0 ，所以 kl1 ? kl2 ，故直线 l1 与 l 2 必相交.又 2 2

a l1 : y ? f (a) ? g (a)(x ? a), l2 : y ? g (a) ? f (a)(x ? a) ， 联立求得交点坐标为 P(a ? 1, e ) .故点 P 到直

线 AB : x ? a 的距离 d ? 1 为定值. （2）由（1）知， A? a,

? ?

1 a ? ? 1 ? (e ? e ?a ) ? 、 B? a, (e a ? e ? a ) ? 、 P a ? 1, ea .所以 2 ? ? 2 ?

?

?

? 1 ? ? 1 ? AB ? (0,?e ?a ), AP ? ?1, (e a ? e ?a ) ?, BP ? ?1, (e a ? e ?a ) ? 于是 ? 2 ? ? 2 ?
AB ? AP ? 1 ?2 a 1 1 (e ? 1), BA ? BP ? (e ? 2 a ? 1), PA ? PB ? 1 ? (e 2 a ? e ?2 a ) . 2 2 4

因为 a ? 0 ，所以 AB ? AP ? 0, BA? BP ? 0 所以 ? A 、 ? B 为锐角， ? P 为钝角. 由 1?

1 2a ?2a 1 (e ? e ) ? 0 ， 得 e2a ? 5 ? 2 ， 则 a ? l n (5 ? 2) . 故 a 的 取 值 范 围 为 4 2

1 ? ? ? ? ?, in( 5 ? 2) ? . 2 ? ?
5、令 点 集 S k ? {Pm k ? P0 Pm ? k ? 1}, k ? 1,2,? , S k 表 示 集 合 Sk 中 元 素 的 个 数 . 设

max{P 0P 1, P 0P 2 ,?, P 0P n } ? M ，则当 k ? [ M ] 时， S k 为空集，即 S k ? 0 .
若 Pm ? S k ，则以点 Pm 为圆心的圆盘 {Q PmQ ? } 互不相交，且都包含在以点 P 0 为圆心的圆环

1 2

{Q k ?

1 3 2 1 2 1 3 因此有 S k ? ? ( ) ? ? [(k ? ) ? (k ? ) ] .即 Sk ? ? 8(2k ? 1) .所以， ? PmQ ? k ? } 内， 2 2 2 2 2
[M ] [M ] Sk 1 2k ? 1 ? ? 8 ? ? ? 4 4 4 k ?1 ( P k ?1 (k ? 1) k ?1 (k ? 1) 0P k ? 1) n

2

当 n ? 2 时，有

? 3 [ M ] 2k ? 1 ? ? 8? ? 16 ? ? (k ? 1) 4 ? ? k ?2 ? ? ? 3 [ M ] 2k ? 1 ? ? 8? ? 16 ? ? k 2 (k ? 1) 2 ? ? k ?2 ? ?
= ? 8?

? 3 [M ] ? 1 1 ?? ? ? ? ? ? k 2 (k ? 1) 2 ? ?? ? 16 ? k ?2 ? ?? ?

?3 ? 1 ?? 1 ? ? 8? ? ? ?? ? 16 ? 2 2 ([M ] ? 1) 2 ? ? ? ?? ? ? 3 1? 7 ? 8? ? ? ? ? 16 4 ? 2
当 n ?1 时 ，

1 1 1 7 ? ? ? ， 不 等 式 也 成 立 . 综 上 ， 对 任 意 n? N* ， 都 有 4 4 ( P0 P (1 ? 1) 16 2 1 ? 1)

? ( P P ? 1)
k ?1 0 1

n

1

4

?

7 . 2