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(精选+详解)2013届高三数学名校试题汇编 (第1期)专题05 平面向量


第五章
一.基础题

平面向量

1.【重庆市部分 重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】△ABC 外接圆的半径为1 , 圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 的值是( A. 3 B.2 C.1 D. 0

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?



2.【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数 量积中最大的是( ) A. PP2 ? PP 1 1 3
???? ???? ? ?

B. PP2 ? PP4 1 1

???? ???? ? ?

C. P1 P2 ? P1 P5

D. PP2 ? PP6 1 1

???? ???? ? ?

3.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试】已知非零向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函 数 f ( x) ? (ax ? b)2 (x ? R) 是 A. 既是奇函数又是偶函数 B. 非奇非偶函数 C. 奇函数 D. 偶函数

?

?

?

?

?

?

4.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试】已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为

??? ??? ??? ? ? ? ? BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,则
A. AO ? 2OD 【答案】B 【解析】因为 D 为 BC 边中点,所以由 2OA ? OB ? OC ? 0 得 OB ? OC ? ?2OA ? 2 AO ,

????

????

B. AO ? OD

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2AO ? OD

????

????

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ??? ? ?

??? ?

????

即 2OD ? 2 AO ,所以 AO ? OD ,选 B. 5.【2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】已知|a|=1,|b|=2,向量 a 与 b 的 夹角为

????

????

????

????

2? ,c=a+2b,则|c|=( 3
B、 21 C、2 3

) D、3 2

A、 13

6.【2012-2013 杭州地区七校联考数学(理) ABC 中,点 E 为 AB 边的中点,点 F 为 AC 】△ 边的中点,BF 交 CE 于点 G,若 AG ? xAE ? yAF ,则 x ? y 等于( A.

????

??? ?

??? ?



3 2

B.

4 3

C. 1

D.

2 3

7.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学】已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹 角为

?

?

? ? ? ,那么 a ? 3b 等于 3
B. 10 C. 13 D.4

A. 7

8.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】已知平面向量 a ? ( x1 , y1 ) ,

?

? ? ? ? ? x ?y b ? ( x2 , y2 ) ,若 | a |? 2 , | b |? 3 , a ? b ? ?6 ,则 1 1 的值是( x2 ? y 2
A.



2 3

B. ?

2 3

C.

5 6

D. ?

5 6

【答 案】B

【解析】由已知,向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 反向,则 3a ? 2b ? 0 , 则 3( x , y ) ? 2( x , y ) ? (0,0) ,得 1 1 2 2

?

?

?

?

2 , 2 ,故 x1 ? y1 2 x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ?? 3 3 x2 ? y2 3
? ?
?

9.【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】已知 a ? (1, ?2), b ? (4,2), 则 2a 与 ( a ? b) 的 夹角为 ? ,则 cos? ? .

?

?

10.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】 若 | a |? 2 , | b |? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角是 ________ .

?

?

? ?

?

?

?

? 11. 【2012—2013 北京市朝阳区高三期中考试数学 (理)在 ?ABC 中, BA ? BC ? 4 , ABC 】 若
的面积为 2 ,则角 B ? .
[来源:学科网]

??? ??? ? ?

二.能力题 1. 【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学】如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6 下

列向量的数量积中最大的是 A. PP ? PP 1 2 1 3

???? ???? ? ? ???? ???? ? ?

B. PP ? PP 1 2 1 4 D. PP ? PP 1 2 1 6

???? ???? ? ? ???? ???? ? ?

C . PP ? PP 1 2 1 5

2.【河北省唐山市 2012-2013 学年度 高三年级摸底考试】

己知△ABC 的外心、重心、垂心分别为 O,G,H,若 OH ? ?OG ,则 ? = (A)

????

????

1 3

(B)

1 2

(C)3

(D)2

3.【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】 已知正方形错误!未找到引用源。的边长为 1,点错误!未找到引用源。是错误!未找到引 用源。边上的动点,则 (1)错误!未找到引用源。的 值为 (2)错误!未找到引用源。的最大值为 . .

4.【浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考】 .已知 A, B 是圆 C ( C 为圆心)上的两点,

??? ??? ? ? ??? ? | AB |? 2 ,则 AB ? AC =

▲ 错 错 误 误 ! 错 错 错 ! 未 误 误 误 未 找 ! ! ! 错 错找 未 到 未 未 误 误到 引 找 找 找 ! !引 到 用 到 到 未 未用 源 引 引 引 找 找源 用 。 用 用 到 到。 源 源 引 引 源 。 。 用 用 。

错 错 误错 误 !误 ! 未! 未 找未 找 到找 到 引到 引 用引 用 源用 源 。源 。 。 源 源 【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】已知△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直 5. 。 。
[来源:学科网 ZXXK]

线分别交直线 AB、 于 E、 两点, AB ? ? AE (? ? 0) ,AC ? ? AF (? ? 0) , AC F 若 则 的最小值是 .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1

?

?

4

?

6. 【 2012 河 北 省 名 校 名 师 俱 乐 部 高 三 第 二 次 调 研 考 试 】 若 非 零 向 量 a, b 满 足

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ,则 | a ? b |? | a ? b |? 2 |b | a ? b 与 a ? b 的夹角是
A.

? 3

B.

? 2

C.

2? 3

D.

5? 6

[来源:学科网]

7.【2013 届河北省重点中学联合考试】已知 向量 m , n 的夹角为

?? ? ,且| m |= 3 ,| 6 ? ? ??? ?? ? ???? ?? ? ???? n |=2,在△ABC 中, AB = m + n , AC = m -3 n ,D 为 BC 中点,则| AD |=
A、1 B、2 C、3 D、4

??

?

8.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】 已知向量 a,b 是互相垂直的单位向量,且 | c |? 13 , c ? a ? 3, c ? b ? 4, ,则对任意的实

?

? ?

? ?

数 t1 , t2 , | c ? t1 a ? t2 b | 的最小值为 A.5 B. 7 C. 12 D. 13

?

?

?

9.【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】在△错误!未找到引用源。中,已知错误! 未找到引用源。是错误!未找到引用源。边上一点,若错误!未找到引用源。,则错误! 未找到引用源。=( ) B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引

A.错误!未找到引用源。 用源。

D.错误!未找到引用源。
A

D B

E C

错误!未找到引用源。1

F

三.拔高题 1.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】已知 O 为平面上的一个定点,A、B、C 是该平 面上不共线的三个动点,点 P 满足条件

??? ???? ? ??? ? ??? ? ??? OB ? OC ? AB AC ? ? 则动点 P 的轨迹一定通 OP ? ?? ( ??? ? ??? ), ? ? (0, ??) , 2 | AB | cos B | AC | cos C
过 ?ABC 的( ) A.重心 B.垂心 【答案】C 【解析】设线段 BC 的中点为 D,则 C.外心 D.内心

??? ???? ? OB ? OC ???? ? OD 2 ,

??? ? ??? ? ??? ???? ? ??? OB ? OC ? AB AC ? ? ?? ( ??? ? ??? ) OP ? | AB | cos B | AC | cos C 2 ∴ ??? ? ??? ? ???? AB AC ? ? ? OD ? ? ( ??? ? ??? ) | AB | cos B | AC | cos C ,

??? ? ??? ? ??? ???? ? ??? ? AB AC ? ? OP ? OD ? ? ( ??? ? ??? ) ? DP | AB | cos B | AC | cos C ∴ , ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? AB AC AB ? BC AC ? BC ? ? ? ? DP ? BC ? ? ( ??? ? ??? ) ? BC ? ? ( ??? ? ??? ) | AB | cos B | AC | cos C | AB | cos B | AC | cos C ∴ ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? | AB || BC | cos(? ? B) | AC || BC | cos C ??? ? ??? ? ? ?( ? ) ? ? (? | BC | ? | BC |) ? 0 | AB | cos B | AC | cos C ,
∴ DP ? BC ,即点 P 一 定在线段 BC 的垂直平分线上, 即动点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的外心,选 C. 2.【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】 如图,在四边形 ABCD 中, | AB | ? | BD | ? | DC |? 4 , AB ? BD ? BD ? DC ? 0 ,

| AB | ? | BD | ? | BD | ? | DC |? 4 ,则 ( AB ? DC) ? AC 的值
A.2 B. 2 2 C.4 D. 4 2 【答案】C 【 解析】 ?

?| AB | ? | BD | ? | DC |? 4, ? ?| AB | ? | BD | ? | BD | ? | DC |? 4. ?

解方程组,得 | BD |? 2 , | AB | ? | DC |? 2 . 又∵ AB ? BD ? BD ? DC ? 0 , ∴ AB 与 DC 共线且方向相同. ∴| AB ? DC |?| AB | ? | DC |? 2 . 又∵ AB ? BD ? DC ? CA ? 0 , ∴ AC ? AB ? BD ? DC . ∴( AB ? DC) ? AC ? ( AB ? DC) ? ( AB ? BD ? DC)

? ( AB ? DC) 2 ? ( AB ? DC) ? BD ?| AB ? DC |2 ? AB ? BD ? DC ? BD =22+0+0=4.
3.【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】 (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的两边长分别 为 AB ? 25 , AC ? 39 ,且O 为 ?ABC 外接圆的圆心. (注: 39 ? 3 ? 13 , 65 ? 5 ? 13 ) (1)若外接圆 O 的半径为 (2)求 AO ? BC 的值.

65 ,且角 B 为钝角,求 BC 边的长; 2

???? ??? ?

4.[湖北省武汉市四校 2013 届高三 10 月联考] 已知向量错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。满足关系式: 错误!未找到引用源。. (1)用 k 表示错误!未找到引用源。; (2)证明:错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。不垂直; (3)当错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。 的夹角为错误!未找到引用源。时, 求 k 的值. 解: (1)错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

即错误!未找到引用源。 故错误!未找到引用源。……(4 分)

5.[湖北省武汉市四校 2013 届高三 10 月联考] (本小题满分 14 分)已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,向量错误!未找到引用源。、错误! 未找到引用源。、错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。, (O 不在直线 l 上错误! 未找到引用源。) (1)求错误!未找到引用源。的表达式; (2)若函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上为增函数,求 a 的范围; (3)当错误!未找到引用源。时,求证:错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。的 正整数 n 成立.

6. 【 四 川 省 成 都 石 室 中 学 2013 届 高 三 9 月 月 考 】 已 知 向 量 m ? (2 3sin ,2) ,

u r

x 4

u r r r x x n ? (cos ,cos2 ) .函数 f ( x) ? m ? n . 4 4 1 ? (I)若 f ( x) ? ,求 cos( x ? ) 的值; 2 3 (II)在 V ABC 中,角 A、B、C 的对边 分别是 a、b、c ,且满足 (2a ? c)cos B ? b cos C , 求 f ( A) 的取值范围.

7. 【 河 北 省 邯 郸 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 】 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 (

? ? a ? 2(cos x , cos x b? ? ? ),

(cos ? x , 3 si n ) ?x ? ? ? (其中 0 ? ? ? 1 ),函数 f(x)= a · b ,若直线 x ? 是函数 f ( x ) 图象的一条对称轴, 3
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

(1)试求ω 的值;(2)先列表再作出函数 f(x)在区间 [?? , ? ] 上的图象.

8.【浙江省嘉兴一中 2013 届高三 10 月月考】在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b, c,且 1 ?

tan A 2c ? . tan B b

(1)求角 A; (2)若 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos2 C ,试求|m ? n|的最小值. 2

?

?

9. 【浙江省温州市十校联合体 2013 届高三上学期期初考试】 1 -1 (本小题 14 分)已知向量 a=( , ),b=(2,cos2 x). sinx sinx π (1)若 x∈(0, ],试判断 a 与 b 能否平行? 2 π (2)若 x∈(0, ],求函数 f(x)=a·b 的最小值. 3

10.【浙江省嘉兴市嘉兴一中 2013 届高三一模】 已知 m ? (sin A, ) 与 n ? (3,sin A ? 3 cos A) 共线,其中 A 是△ABC 的内角. (1)求角 A 的大小;

??

1 2

?

(2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

11.【四川省成都市 2013 届高三摸底考试】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3, x ? R (I)化简函数 f(x)的解析式,并求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)在锐角△AB C 中,若 f ( A) ? 1, AB ? AC ?

??? ??? ? ?

2 ,求△ABC 的面积.

12.【四川省绵阳市三台县芦溪中学 2012 级高三上期第二次测试】 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,向量

m ? (a, b), n ? (cosA, cosB), p ? (2 2 sin

B?C , 2 sin A) ,若 m ∥ n, | p | ? 3. 2

(Ⅰ)求角 A 、 B 、 C 的值; (Ⅱ)若 x ? [0,

?

2

] ,求函数 f ( x) ? sin Asin x ? cos B cos x 的最大值与最小值.

13.【河南省新乡许昌平顶山三市 2013 届高三第一次科研考试】试题在平面直角坐标系 xoy 中 , 点 P ? 0 ,? 1 , 点 A 在 x 轴 上 , 点 B 在 y 轴 非 负 半 轴 上 , 点 M 满 足 : ?

u u ur u uur u ur u u ur A M ? 2 A B P?A A M0 , ?
[来源:Z#xx#k.Com]

(Ⅰ)当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C 上一点,直线 l 过点 Q 且与曲线 C 在点 Q 处的切线垂直, l 与 C 的另 一个交点为 R ,若以线段 QR 为直径的圆经巡原点,求直线 l 的方程

14.【四川省自贡市高 2013 届高三一诊试题(2013 自贡一诊) 】

已知函数 (I )求函数 f(x)的周期和最小值; (II)在锐角Δ ABC 中,若

.

,求Δ ABC 的面积.

15.【四川省绵阳市 2013 届高三第一次诊断性考试】 设向量 ,函数, .

(I)求函数 f(x))的最小正周期及对称轴方程;

(II)当

时,求函数 f(x)的值域.

. (Ⅱ)当 x∈[0,

?
2

]时,即 0≤x≤

?
2

,可得

?
6

≤2x+

?
6



7? , 6

∴ 当 2x+ 当 2x+

?
6

=

?
2

,即 x=

?
6

时,f (x)取得最大值 f (

?
6

)=2;

?
6

=

7? ? ? ,即 x= 时,f (x)取得最小值 f ( )=-1. 6 2 2

即 f (x) 的值域为[-1,2].…………………… ………………………………12 分 16. 【 湖 北 省 孝 感 高 中 2013 届 高 三 9 月 调 研 考 试 】 已 知 两 向 量 的 坐 标 分 别 为

? ? ? ? 5? a ? (sin(? ? ), ?1), b ? ( 3,sin(? ? ? )) ,若 ? ? ? ? , ? , ? 6 6 ? 2 ? ?
? ? 且a ? b ,求 ? 的值.


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