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含参数的一元二次不等式的解法


含参数的一元二次不等式的解法
含参一元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

例1

解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0
2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ? , x2 ? 2a 2a
2

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

当 a ? 0 时, 解集为 ? x |

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?x? ? 2a 2a ? ?

例 2 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解

? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0

? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?
变式:解关于 x 的不等式 1、 ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 ;
2 ? x ? 2} a (2)当a ? 0时, {x | x ? 2} (1)当a ? 0时, {x | 2 (3)当0 ? a ? 1时, {x | x ? 2, 或x ? } a (4)当a ? 1时, {x | x ? 2} (5)当a ? 1时, {x | x ? 2 , 或x ? 2} a

2、(1-ax) <1.

2

【解】 由(1-ax)2<1得a2x2-2ax+1<1. 即ax(ax-2)<0. (1)当a=0时,不等式转化为0<0,故原不 等式无解. (2)当 a<0 时,不等式转化为 x(ax -2)>0, 2 即 x(x- )<0. a 2 2 ∵ <0 , ∴ 不 等式的解集 为 {x| a a <x<0}.
1

(3)当 a>0 时, 不等式转化为 x(ax-2)<0, 2 又 >0, a 2 ∴不等式的解集为{x|0<x< }. a 综上所述:当 a=0 时,不等式解集为 空集; 2 当 a<0 时,不等式解集为{x| <x<0}; a 2 当 a>0 时,不等式解集为{x|0<x< }. a
二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

3、ax -(a+1)x+1<0(a∈R)
1 , 或x ? 1} a (2)当a ? 0时, {x | x ? 1} 1 (3)当0 ? a ? 1时, {x | 1 ? x ? } a (4)当a ? 1时,? 1 (5)当a ? 1时, {x | ? x ? 1} a (1)当a ? 0时, {x | x ?

2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?
? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 , 2 2

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ?

∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

例 4 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R?
2 2

?

?

解 因 m ? 1 ? 0, ? ? (?4) ? 4 m ? 1 ? 4 3 ? m
2 2 2

?

? ?

2

?

所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ?; 2?

当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ?

? ? ? ?

2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 或 x 〈 m2 ? 1 m2 ? 1

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。

2

变式:解关于 x 的不等式: ax 2 ? x ? 1 ? 0
? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a , 或x ? } 2a 2a (2)当a ? 0时, {x | x ? ?1} (1)当a ? 0时, {x | x ? (3)当0 ? a ? (4)当a ? 1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a 时, {x | ?x? } 4 2a 2a

1 时,? 4

三、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
2

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a
例5 解不等式 x ? (a ?
2

只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a

1 1? ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a a? ?

1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

2 2 例 6 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0

分析 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根
2

2 a 与 3a 的大小.
解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为

x1 ? 2a, x2 ? 3a ,当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为

?x | x ? 2a或x ? 3a?
变式:1、 x - (a + a ) x + a < 0 解:∵x2-(a+a2)x+a3=(x-a) (x-a2) ∴当 a>1,或 a<0 时,不等式的解为 a<x<a2 当 0<a<1 时,不等式的解为 a2<x<a 当 a=0,或 a=1 时,不等式解为φ
2 2 3

2、 x ? ax ? 2a ? 0
2 2

方程x 2 ? ax ? 2a 2 ? 0.的判别式? ? a 2 ? 8a 2 ? 9a 2 ? 0
得方程的两根为 x1 ? 2a, x2 ? ?a. (1)若a ? 0, 则 ? a ? x ? 2a

(2)若a ? 0, 则原不等式为 x2 ? 0, 此时解为?
(3)若a ? 0, 则2a ? x ? ?a.
综上所述,原不等式的 解集为: (1)当a ? 0时,{x | ?a ? x ? 2a}; (2)当a ? 3 0时, ?; (3)当a ? 0时,{x | 2a ? x ? ?a}.

课后练习: 1、
x?a ? 0 ( a ? 3,且a ? ?2) (分 a ? ?2;?2 ? a ? 3; a ( x ? 2)( x ? 3)

? 3 讨论)

(1)当a ? ?2时, {x | x ? a, 或 ? 2 ? x ? 3} (2)当 ? 2 ? a ? 3时, {x | x ? ?2, 或a ? x ? 3} (3)当a ? 3时, {x | x ? ?2, 或3 ? x ? a}

2、不等式

ax ? 1 的解集为 {x | x ? 1,或x ? 2} ,求 a 的值. x ?1

(a ?

1 ) 2

3、已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0} , ①若 A ( a ? 2 )②若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.; (1? a ? 2 ) B ,求实数 a 的取值范围.;

③若 A ? B 为仅含有一个元素的集合,求 a 的值.( a ? 1 ) 解:A={x|1≤x≤2} ,B={x|(x-1)(x-a)≤0} (1)若 A B(图甲),应有 a>2. (2)若 B A(图乙),必有 1≤a≤2.

(3)若 A∩B 为仅含一个元素的集合(图丙),必有 a≤1.

4、已知 A ? {x |

x ?1 ? 0} , B ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0}, 且A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. ( 1 ? a ? 3 ) x ?3 x?a ? 0}, B ? {x || 2 x ? 1 |? 3} ,若 A ? B ? R ,求实数 a 的取值范围. ( ?2 ? a ? 1) x ?1

5、设全集 U ? R ,集合 A ? {x |

6、已知全集 U ? R , A ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0}, C ? {x | x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0} ,若 ( A ? B) ? C ,求实 数 a 的取值范围.( 1 ? a ? 2 )
2 2

7、若关于 x 的不等式(2x-1) <ax 的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围。 ( 【 解析 】 不等 式可 化为 (4 - a)x - 4x + 1 < 0
2

25 49 ?a? ] 9 16

①, 由于 原不 等式 的解 集中 的整 数恰 有 3 个, 所 以

?4 ? a ? 0 1 1 1 1 1 ?x? ? ,所以解集中的 ,解得 0<a<4,故由①得 ,又 ? ? 4 2? a 2 2? a 2? a ?? ? 16 ? 4(4 ? a) ? 0
3 个整数必为 1,2,3,所以 3<

1 2? a

≤4,解得

25 49 <a≤ 9 16
4


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