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空间点、直线、平面之间的位置关系


【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 空间点、直线、平面之间的位置关系 二. 重点: 1. 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在平面内。 2. 公理二:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3. 公理三:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 4. 公理四:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 5. 两条直线的位置关系:平行、相交、异面 6. 直线与平面的位置关系:直线在平面内、相交、平行 7. 平面与平面的位置关系:相交、平行

【典型例题】
[例 1] 下列结论中正确的有( )个 (1)过空间三点的平面有且只有一个 (2)过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个 (3)过空间两条相交直线的平面有且只有一个 (4)过空间两条平行直线的平面有且只有一个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案:C 解析:(2)(3)(4)正确。 [例 2](1)空间三条直线两两相交可确定几个平面? (2)空间四条平行直线可确定几个平面? (3)空间一条直线和直线外三点,可确定几个平面? 答案: (1)1 个或 3 个 (2)1 个,4 个或 6 个 (3)1 个,3 个或 4 个 [例 3] ?ABC 在平面 ? 外三边所在直线分别交平面 ? 于 D、E、F,求证:D、E、F 三点共 线。

证明:如图 A、B、C 确定平面 ?

D ? AB ? ?? D?? AB ? ? ?

? ? ??? ?? ?l AB ? ? ? D ? D ? ? ? ?
∴ D、E、F 三点共线

∴ D ? l ,同理 E、F? l

[例 4] 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 E、F 为 AA1、CC1 中点,求证: D1、E、B、F 四点 共面。

证明:延长 D1 E 交 AD 于 M,延长 D1 F 交 DC 于 N E 为 A1A 中点 同理 CN=CD ∴ MA=AD

? ? MA ? DA ? AB? ? ? ?MBA ? 45?? MD ? AB ? ? ? 同理?NBC ? 45? ?
∴ M、N、B 三点共线 l ∴ D1、M、N 三点确定平面 ? ∴ D1 M、D1 N、MN ? ? ∴ D1、E、M、B、N、F 六点共面 ? [例 5] 空间不共点的四条直线两两相交,求证四线共面。 证明: (1)有三线共点,如图 A、B、D 确定平面 ?

B、D ? ? ? BD ? ? ? ? ? C ?? C ? BD ?

同理 AB、AC 、AD ? ?

(2)无三点共线,如图 A、D、F 三点确定平面 ?

D、F ? ? ? DF ? ? ? ?? E ? ? ? E ? DF ? ? ? AE ? ? ? A ?? ? ?? C ? ? ? C ? AE ? ? F ?? ?
? CF ? ?
∴ AD、AE、AF、BC 共面 ?

[例 6] 已知 l1 // l 2 // l3 , l 交 l1,l 2,l3 于 A、B、C,求证四线共面。

证明:D 为 l 2 上一点

l 2 ? ? ? A、B ? ? ? ? l1 // l 2 确定平面 ? ? l1 , A、B? l ?
? l ? ? ? A、C、D ? ?

l2 // l3 确定平面 ?

同理 A、C、D ? ? ∴ ?、? 重合

∵ 过 A、C、D 的平面有且仅有一个 ∴ l、l1、l2、l3 共面

[例 7] 如图四面体 ABCD(四点不共面),E、F、G、H、M、N 依次为各棱中点,求证 MN、EF、GH 交于一点且互相平分。

1 // BD ? E、G为AB、AD中点 ? EG ? ? 2 ? ? 1 // 同理 ? HF ? BD? ? 2 ? 证:

// HF ? ? EG?

EHFG ∴ HG 过 EF 中点 MN 过 EF 中点

? EF ,HG 互相平分
同理 ? EF ,MN 互相平分

∴ EF、GH、MN 交于一点且互相平分

[例 8] 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 (1)与 AB 成异面关系的棱有 (2)与 A1C 成异面关系的棱有 (3)与 BD 成异面关系的棱有 (4)12 条棱中异面直线有 条; 条; 条; 对。

解:(1)4 条

(2)6 条

(3)6 条

(4)24 对

[例 9] 空间四边形 ABCD(A、B、C、D 不共面)E、M 为 AD 的三分点,F、N 为 BC 的三 分点,由 AB、EF、MN、CD 可组成 对异面直线。

答案:六对,任意两条均异面 证明:EF、MN 异面(反证法) 假设 EF、MN 共面 ?

? E、F、M、N ? ? ? ? E、M ? AD ? ? AD、BC ? ? F、N ? BC ? ?
∴ A、B、C、D ?? 与已知矛盾 ∴ EF、MN 为异面直线 [例 10] 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 (1)求异面直线 AB、CC1 所成角; (2)求异面直线 AB、A1C1 所成角; (3)求异面直线 AC、B1D1 所成角; (4)求异面直线 AC、A1B 所成角。 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题成立

解: (1) 90 ? (2) 45 ? (3) 90 ? (4) A1 B // CD1 ∵ 正 ?ACD1 ∴ A1 B 与 AC 所成角为 ?ACD1 ∴ ?ACD1 ? 60?

【模拟试题】
1. a , b 异面, a , c 异面,则 b, c 的关系为 。 )

2. AB、CD 为两条异面直线上两条线段,M、N 分别为 AB、CD 中点,则有( A. 2MN ? ( AC ? BD) C. 2MN ? ( AC ? BD) B. 2 MN ? AC ? BD D. 2MN 与 AC+BD 无法比较 。

3. 与两条异面直线均相交的两条直线的位置关系为 4. a ? l , b ? l ,则 a , b 位置关系为 5. ? // ? , a ? ? ,求证 a // ? 。 。

6. P 为 ?ABC 所在平面外一点, S ?ABC ? 1 ,D、E、F 依次为 ?PAB 、 ?PBC 、 ?PCA 的 重心,求 ?DEF 的面积。


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