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2018版数学人教A版选修2-3课件1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课)_图文

【课标要求】 1.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实际问 题. 2.会根据实际问题合理分类或分步. 自主学习 基础认识 1.两个计数原理在解决计数问题中的方法 2.应用两个计数原理应注意的问题 (1)分类要做到“不重不漏”,分类后再对每一类进行计数,最 后用分类加法计数原理求和,得到总数. (2)分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤, 恰好完成任 务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数, 最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总 数. |自我尝试| 1.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课 程中恰有 1 门相同的选法有( ) A .6 种 B.12 种 C.24 种 D.30 种 解析:分步完成.首先甲、乙两人从 4 门课程中同选一门,有 4 种选法,其次由甲从剩下的 3 门课程中任选一门,有 3 种方法, 最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门,有 2 种方法,于是,甲、乙 所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 4×3×2=24(种),故选 C. 答案:C 2.火车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方 式有( ) A.510 种 B.105 种 C.50 种 D.500 种 解析:分 10 步. 第 1 步:考虑第 1 名乘客下车的所有可能有 5 种; 第 2 步:考虑第 2 名乘客下车的所有可能有 5 种; ?? 第 10 步:考虑第 10 名乘客下车的所有可能有 5 种. 故共有乘客下车的可能方式 答案:A =510 种. 3.从 0,1,2,?,9 这 10 个数字中,任取两个不同数字作为平 面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在 x 轴上的点的个数 是( ) A.100 B.90 C.81 D.72 解析:分两步:第一步选 b,∵b≠0,所以有 9 种选法,第二 步选 a, 因 a≠b, 所以有 9 种选法, 由分步乘法计数原理知共有 9×9 =81 个点. 答案:C 4.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从 中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 ( ) A.30 种 B.35 种 C.42 种 D.48 种 解析:选 3 门课程,要求 A,B 两类至少各选 1 门,可分为两 种情况,一类是 A 类选修 2 门,B 类选修 1 门,共有 3×4=12 种 选法;另一类是 A 类选修 1 门,B 类选修 2 门,共有 3×6=18 种 选法.根据分类加法计数原理可得符合条件的选法共有 12+18= 30(种). 答案:A 5. (1)把 5 本书全部借给 3 名同学, 则不同的借法共有________ 种; (2)把 3 个人分配到某工厂的 5 个车间去参加社会实践, 则不同 的分配方案共有________种. 解析:(1)借书时,并没有要求每人必须借书,而只要把书借完 即可,故每本书应该借给三个人中的一个.所以总的借法有 3×3×3×3×3=243 种.同样,(2)中,三个人分到五个车间,有 的车间可以没有人,但人必须分完,每个人可以到 5 个车间中的任 何一个车间,各有 5 种分法,一共有 5×5×5=125 种不同的分配 方案. 答案:(1)243 (2)125 课堂探究 互动讲练 类型一 组数问题 [例 1] 用 0,1,2,3,4 五个数字, (1)可以排出多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数? 【解析】 (1)三位数字的电话号码,首位可以是 0,数字也可 以重复,每个位置都有 5 种排法,共有 5×5×5=53=125(个). (2)三位数的首位不能为 0,但可以有重复数字,首先考虑首位 的排法,除 0 外共有 4 种方法,第二,三位可以排 0,因此,共有 4×5×5=100(个). (3)被 2 整除的数即偶数,末位数字可取 0,2,4,因此,可以分 两类,一类是末位数字是 0,则有 4×3=12 种排法;一类是末位数 字不是 0,则末位有 2 种排法,即 2 或 4,再排首位,因 0 不能在 首位,所以有 3 种排法,十位有 3 种排法,因此有 2×3×3=18 种 排法.因而有 12+18=30 种排法.即可以排成 30 个能被 2 整除的 无重复数字的三位数. 方法归纳 (1)对于组数问题,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占 领分类, 分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成; 如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解. (2)解决组数问题, 应特别注意其限制条件, 有些条件是隐藏的, 要善于挖掘.排数时,要注意特殊元素,特殊位置优先的原则. 跟踪训练 1 若用 0,1,2,3,4 五个数字. (1)可以组成多少个无重复数字的三位奇数? (2)组成多少个无重复数字的三位偶数? 解析:(1)三位奇数的末位只能是 1 或 3,若末位是 1,则首位 只能从 2,3,4 中取 1 个,共有 3 种不同方法,十位则从 0 与 2,3,4 中 剩余的 2 个取 1 个,共有 3 种不同方法,由分步乘法计数原理知共 有 3×3=9(个). 同理,末位是 3 时,也有 9 个三位奇数,由分类加法计数原理 知共有 9+9=18 个不同的三位奇数. (2)三位偶数的末位只能是 0,2,4. 若末位是 0,则首位与十位共有 4×3=12(种). 若末位是 2,则首位有 3 种,十位有 3 种,共 9 种. 同理,若末位是 4,则有 9 种,由分类加法计数原理知共有不 同的三位偶数 12+9+9=30(个). 类型二 涂色(种植)问题 [例 2] 如图,要给地图 A,B,C,D 四个区域分别涂上 4 种 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须 涂不同的颜色,不同的涂色

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