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高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案

课题:椭圆及其标准方程 教材: 普通高中课程标准试验教科书—— 《数学》 选修 2-1 一、教材分析: 《椭圆及其标准方程》 是高中数学新教材选修 2—1 第二章第二节 的第一课时。从知识上说,它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又 一次实际演练,同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法 上说,它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础;所 以说, 无论从教材内容, 还是从教学方法上都是起着承上启下的作用, 它是学好本章内容的关键。因此搞好这一节的教学,具有非常重要的 意义。 二、教学目标分析: (一)知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方 程及其推导. (二)过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭 圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问 题的能力. (三)情感态度与价值观目标: (1)通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. (2)通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培 养,增强主动与他人合作交流的意识. 三、教学重点、难点: (一) .重点:椭圆定义及其标准方程 (二) .难点:椭圆标准方程的推导 四、教学方法与教学手段 采用启发和探究式教学相结合的教学模式,即在教师的引导下, 创设情境,学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆,并讨论椭圆 上的点满足的条件,以此来充分调动学生学习的主动性和积极性,发 展学生数形结合,等价转换等思想,培养学生综合运用知识解决问题 的能力。 教学手段:计算机课件辅助教学。 五、教学过程: (一)认识椭圆,探求规律: 1 .对椭圆的感性认识 . 通过演示课前老师准备的有关椭圆的图 片,让学生从感性上认识椭圆. 2.通过演示动画,展示椭圆的形成过程,使学生认识到椭圆是 点按一定“规律”运动的轨迹. (二)动手实验,亲身体会 用上面所总结的规律,指导学生互相合作(主要在于动手) ,体 验画椭圆的过程(课前准备细绳) ,并以此了解椭圆上的点的特征. 请两名同学上黑板画 (三)归纳定义,完善定义 我们通过动画演示,实践操作,对椭圆有了一定的认识,下面由 同学们归纳椭圆的定义. 椭圆定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | =2c)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦 点的距离叫做椭圆的焦距. 在归纳椭圆定义的过程中,教师根据学生回答的情况,不断引导 他们逐步加深理解并完善椭圆的定义,在引导中突出体现“和” , “常 数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征. 提问:改变两定点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭 圆吗?(动画演示)当绳长小于两定点之间的距离时,还能画出图形 吗?(动画演示) 通过动画得出当两定点间距离等于线段 | F1 F2 | 长度时的轨迹(为 一条线段)和当两定点距离大于线段 | F1 F2 | 长度时的轨迹(不存在) , 由学生完善椭圆定义中常数的范围. 例.用定义判断下列动点 M 的轨迹是否为椭圆. (1)平面内,到 F1 (?2,0), F2 (2,0) 的距离之和为 6 的点的轨迹.(是) (2)平面内,到 F1 (0,?2), F2 (0,2) 的距离之和为 4 的点的轨迹.(不是) (3)平面内,到 F1 (?2,0), F2 (2,0) 的距离之和为 3 的点的轨迹.(不是) (四)椭圆标准方程的推导: 1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简. 2.提问:如何建系,使求出的方程最简? 由学生讨论,请学生代表汇报研讨结果. (以下过程按照焦点在 x 轴上的方案) ①建系:以 F1 , F2 所在直线为 x 轴,以线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系。 ②设点:设 M ( x1 , y) 是椭圆上任意一点,为了使 F1 , F2 的坐标简单 及化简过程不那么繁杂,设 | F1F2 |= 2c(c > 0) ,则 F1 (- c,0), F2 (c,0) 设 M 与两定点 F1 , F2 的距离的和等于 2a ③列式: | MF1 | + | MF2 |= 2a 2 2 2 2 ∴ ( x + c ) + y + ( x - c ) + y = 2 a, ④化简: (这里,教师为突破难点,进行设问:我们怎么化简带 根式的式子?对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢?) ( x + c ) 2 + y 2 = 2a ( x - c) 2 + y 2 2 2 2 2 2 2 2 两边平方,得: ( x + c) + y = 4a - 4a ( x - c) + y + ( x - c) + y 2 2 2 即 a - cx = a ( x - c) + y 4 2 2 2 2 2 2 2 两边平方,得: a - 2a cx + c x = a ( x - c) + a y 2 2 2 2 2 2 2 2 整理,得: (a - c ) x + a y = a (a - c ) 2 2 2 令 a - c = b (b > 0) ,则方程可简化为: b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 x2 y2 整理成: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 指出:方程 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 叫做椭圆的标准方程,焦点在 x 轴 a2 b2 2 2 2 上,焦点是 F1 (?c,0), F2 (c,0), c ? a ? b 对于焦点在 y 轴上的情况让学生根据在 x 轴上的过程课后回去推 y2 x2 导,课上直接给 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 为椭圆的另一标准方程 a b 引导学生思考:已知椭圆标准方程,如何判断焦点位置? 讨论得出:看 x , y 的分母大小,哪个分母大就在哪一条轴上. 2 2 (五)应用举例,小结升华. 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0) 、 (2,0) ,并且

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