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2015-2016学年高中数学 2.3.1抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修1-1_图文

2. 3 抛 物 线 2.3.1 抛物线及其标准方程 题型一 定义法求轨迹或轨迹方程 例 1 动圆 M 过点 F(0, 2), 且与直线 l: y=-2 相切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程是( A.x2=8y B.y2=8x C.y=2 D.x=2 解析:方法一 设动圆 M 与直线 l 相切于点 D,根据题意,得|MF|=|MD|,设点 M 的 坐标为(x,y), |y+2|= x2+(y-2)2.整理可得 x2=8y. 即动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2=8y. 方法二 设动圆 M 与直线 l 相切于点 D, 根据题意,有|MF|=|MD|, 由抛物线的定义,知点 M 的轨迹是以 F 为焦点, 直线 l:y=-2 为准线的开口向上的抛物线,且 p=4. 故抛物线方程为 x2=8y. 即动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2=8y. 答案:A 方法总结: 先根据几何知识找出动点所满足的几何关系, 寻找出满足抛物线定义的条件, 然后再确定出抛物线的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法. ) 变式训练 1.若点 P 到点 F(0,4)的距离比它到定直线 y+5=0 的距离小 1,则点 P 的轨迹方程是 (C) A.x2=-16y B.x2=-32y C.x2=16y D.x2=32y 解析:∵点 P 到点 F(0,4)的距离比它到定直线 y+5=0 的距离小 1, ∴点 P 到 F(0,4)的距离等于它到定直线 y=-4 的距离. ∴点 P 的轨迹方程为 x2=16y. 题型二 抛物线定义的应用 例 2 设点 A 是抛物线 y2=4x 上一点, 点 B(1, 0), 点 M 是线段 AB 的中点, 若|AB|=6, 则 M 到直线 x=-1 的距离为______. 解析:如图所示,B(1,0)是抛物线 y2=4x 的焦点,直线 l:x=-1,是抛物线的准线, 6+2 过 A 作 AA′⊥l 于 A′,则|AA′|=AB=6.则 M 到直线 x=-1 的距离为 =4. 2 答案:4 变式训练 2.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如 果直线 AF 斜率为- 3,那么|PF|=(B) A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 解析: 利用抛物线定义, 可得|PF|=|PA|, 又由直线 AF 的斜率为- 3, 可知∠PAE=60°, 4 所以△PAF 为正三角形,则|PF|= =8. sin 30° 题型三 求抛物线的标准方程 例 3 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上. 分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p;从实际分析,一 般需确定 p 和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论. 解析:(1)设所求的抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p>0), ∵过点(-3,2),∴4=-2p(-3)或 9=2p· 2. 2 9 ∴p= 或 p= . 3 4 4 9 1 ∴所求的抛物线方程为 y2=- x 或 x2= y,前者的准线方程是 x= ,后者的准线方程 3 2 3 9 是 y=- . 8 (2)令 x=0 得 y=-2,令 y=0 得 x=4, ∴抛物线的焦点(4,0)或(0,-2). p 当焦点为(4,0)时, =4,∴p=8, 2 此时抛物线方程 y2=16x; p 焦点为(0,-2)时, =2,∴p=4, 2 此时抛物线方程为 x2=-8y. ∴所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-8y,对应的准线方程分别是 x=-4,y=2. 方法总结:求抛物线的标准方程的方法是待定系数法.若已知抛物线的焦点位置,则可 设出抛物线的标准方程,求出 p 值即可;若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.另 外,焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设成 y2=ax(a≠0),焦点在 y 轴上的抛物线方程可统 一设成 x2=ay(a≠0). 变式训练 3.求焦点在 x 轴上,且点 A(-2,3)到焦点的距离是 5 的抛物线的方程,并写出它的焦 点坐标与准线方程. 解析:∵焦点在 x 轴上,可设抛物线方程为 y2=2px(p≠0),由|FA|=5,得 p ( +22)+(0-3)2=52, 2 即:p2+8p-48=0, 解得 p=-12,或 p=4, 当 p=-12 时,抛物线的方程为 y2=-24x, 它的焦点坐标为(-6,0),准线方程为 x=6, 当 p=4 时,抛物线的方程为 y2=8x, 它的焦点坐标为(2,0),准线方程为 x=-2.

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