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「精品」高中数学课时作业8分段函数与映射新人教A版必修1

课时作业 8 分段函数与映射

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|基础巩固|(25 分钟,60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.若 f:A→B 能构成映射,下列说法正确的是( )

①A 中的任一元素在 B 中必须有像且唯一;②A 中的多个元素可以在 B 中有相同的像;③B 中的

多个元素可以在 A 中有相同的原像;④像的集合就是集合 B.

A.1 个 B.2 个

C.3 个 D.4 个

【解析】 根据映射的概念,A 中的元素在 B 中有唯一的像与之对应,这样对应可以是多对一,

也可以是一对一.B 中的元素可以没有原像对应,故①②正确,选 B.

【答案】 B

2.已知函数 f(x)=?????2xx+,1x,>0x≤0, 且 f(a)+f(1)=0,则 a 等于(

)

A.-3 B.-1

C.1 D.3

【解析】 当 a>0 时,f(a)+f(1)=2a+2=0? a=-1,与 a>0 矛盾;当 a≤0 时,f(a)+f(1) =a+1+2=0? a=-3,适合题意.
【答案】 A

3.函数 y=x+|xx|的图象是(

)

【解析】 y=x+|xx|=?????xx+ -11, ,xx><00.

【答案】 D

4.a,b 为实数,集合 M=???ba,1???,N={a,0},f:x→2x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中为 2x,则 a+b=( )

A.-2 B.0

C.2 D.±2

【解析】

由题意知

M

b 中元素a只能对应

0,1

只能对应

a,所以2ab=0,a=2,所以

b=0,a=2,

因此 a+b=2,故选 C.

【答案】 C

5.已知函数 y=???x2+1,x≤0 则使函数值为 5 的 x 的值是(

)

??-2x,x>0,

A.-2 B.2 或-52

5 C.2 或-2 D.2 或-2 或-2

【解析】 当 x≤0 时,x2+1=5,x=-2.当 x>0 时,-2x<0,不合题意.

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【答案】 A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.设 f:x→ax-1 为从集合 A 到 B 的映射,若 f(2)=3,则 f(3)=________. 【解析】由 f(2)=3,可知 2a-1=3,所以 a=2, 所以 f(3)=3a-1=3×2-1=5. 【答案】 5 7.f:A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b), 若 B 中的元素(6,2)在此映射下的原像是(3,1),则 k=________,b=________.

【解析】 由题设得?????31k+=b6=2

?

??k=2 ???b=1

.

【答案】 2 1

8. 设函数 f(x)=???x2+bx+c x ?? x ,

若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,则方程 f(x)=x 的解

集为________. 【 解 析 】 当 x≤0 时 , f(x) = x2 + bx + c , 因 为 f( - 2) = f(0) , f( - 1) = - 3 , 所 以

?? -
?
?? -

2-2b+c=c 2-b+c=-3,

解得???b=2

故 f(x)=???x2+2x- x

??c=-2,

?? x

当 x≤0 时,由 f(x)=x,得 x2+2x-2=x,

解得 x=-2 或 x=1(1>0,舍去).当 x>0 时,由 f(x)=x,得 x=2.

所以方程 f(x)=x 的解集为{-2,2}.

【答案】 {-2,2}

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

9.已知集合 A={0,2,4},B={0,4,m2},x∈A,y∈B,映射 f:A→B 使 A 中元素 x 和 B 中元素

y=2x 对应,求实数 m 的值.

【解析】 由对应关系 f 可知,集合 A 中元素 0,2 分别和集合 B 中的元素 0,4 对应,所以集合 A 中的元素 4 和集合 B 中的元素 m2 对应.

于是 m2=2×4,解得 m=±2 2.

?? x+1 10.已知 f(x)=?π
??0

x x= x,

求 f(-1),f(f(-1)),f(f(f(-1))). 【解析】 ∵-1<0,∴f(-1)=0, ∴f(f(-1))=f(0)=π , ∴f(f(f(-1)))=f(π )=π +1.

|能力提升|(20 分钟,40 分)

11.具有性质:f???1x???=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y=x

x,0<x<1

????? -1x;②y=x+1x;③y=

0,x=1 -1x,x>1.

其中满足“倒负”变换的函数是( )

A.①② B.①③

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C.②③ D.①
【解析】 对于①,f(x)=x-1x,f???1x???=1x-x=-f(x),满足;对于②,f???1x???=1x+x=f(x),
11
?x,0<x<1 ?? 不满足;对于③,f???1x???= 0,1x=1
??-x,1x>1,

??? 即 f???1x???=

x1,x>1 0,x=1

??-x,0<x<1,

故 f???1x???=-f(x),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数

是①③.

【答案】 B 12.从集合 A 到集合 B 的映射 f:x→x2+1,若 A={-2,-1,0,1,2},则 B 中至少有________

个元素. 【解析】 根据映射的定义可得,x=±2→y=5,x=±1→y=2,x=0→y=1,所以 A 中元素
在对应法则 f 作用下的集合为{1,2,5},故集合 B 中至少有 3 个元素.

【答案】 3 13.已知(x,y)在映射 f 的作用下的像是(x+y,xy). (1)求(-2,3)在 f 作用下的像; (2)若在 f 作用下的像是(2,-3),求它的原像. 【解析】 (1)设 f:(-2,3)→(x1,y1),根据 f:(x,y)→(x+y,xy)有: x1=-2+3=1,y1=(-2)×3=-6, ∴(-2,3)在 f 作用下的像是(1,-6).

(2)方法一:依题意得?????xxy+=y-=32, 解得?????xy= =3-1 或?????xy= =3-,1 ∴(2,-3)在 f 作用下的原像是(3,-1)或(-1,3). 方法二:设 f:(m,n)→(2,-3),由 f:(x,y)→(x+y,xy)可知:

m,n 是方程 t2-2t-3=0 的两根,解得

??m=3
?

或???m=-1

??n=-1

??n=3,

∴(2,-3)在 f 作用下的原像是(3,-1)或(-1,3).

14.已知 f(x)=x2-1,g(x)=???x-1,x>0 ??2-x,x<0.
(1)求 f(g(2))与 g(f(2)); (2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式. 【解析】 (1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0; f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.

所以 f(g(x))=?????xx22--24xx,+x3>,0x<0.

同理可得 g(f(x))=?????x32--x22, ,x-<-1<1x或 <1x.>1

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