当前位置:首页 >> 数学 >>

解析几何专题汇编1与椭圆有关的垂直问题


第一部分、与椭圆有关的垂直问题
1. (08 广州一模)已知曲线 ? 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 和 F2 (1)求曲线 ? 的方程; (2)设过 ? 0, ?2 ? 的直线 l 与曲线 ? 交于 C 、 D 两点,且 OC ? OD ? 0 ( O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程. 解: (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆, 其中 a ? 2 , c ? 3 ,则 b ? a2 ? c2 ? 1. 所以动点 M 的轨迹方程为

?

?

?

3, 0 的距离之和为 4.

?

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , ∵ OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ∵ y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 ,∴ y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . ∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .………… ①

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 由方程组 ? 4 得 ?1 ? 4k ? x ? 16kx ? 12 ? 0 . ? y ? kx ? 2. ?
16k 12 , x1 ? x2 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 12 16k 2 ? 2k ? ?4?0. 代入①,得 ?1 ? k ? ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
则 x1 ? x2 ?
2 即 k ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ?2 .

所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 . 2.(08 辽宁)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3 ) 、 (0, 3 )的距离之和等于 4.设点 P 的轨迹为 C. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点.k 为何值时 OA ? OB ? 此时| AB |的值是多少? (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. 4

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4
2

OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ?1 ? 2 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 2 . k ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k ?4
1 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB . 2 1 4 12 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17
所以 k ? ?

AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
而 ( x2 ? x1 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? 4 x1 x2 ?
2

42 4 ? 3 43 ?13 4 65 ? 4 ? ? ,所以 AB ? . 2 2 17 17 17 17
2

3.已知圆 M 的方程为: ( x ? 3) ? y ? 100 及定点 N(3,0) ,动点 P 在圆 M 上运动,线段 PN 的垂直平分线交圆 M 的半径 MP 于 Q 点,设点 Q 的轨迹为曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程; (2)试问:过点 T( 0, 10) 是否存在直线 l ,使直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 OA ? OB ? 0 , (O 为坐标原点) 若存在求出直线 l 的方程,不存在说明理由。 解: (1)由于 QM ? QP ? QN 得: QM ? QN ? 10 (定值)所以得动点 Q 的轨迹是以 M,N 为焦点的椭圆,

x2 y2 ? ?1 由 M(-3,0)N(3,0)知 a ? 5, b ? 4, c ? 3 且中心在原点对称轴为坐标轴,得 Q 点的轨迹方程是: 25 16
(2)假设存在这样的直线 l ,当斜率不存在时,A,O ,B 共线,显然不满足条件,从而知直线 l 的斜率存在,设为: k ,
2 得直线 l 的方程为: y ? kx ? 10 即: ( y ? kx) ? 10 与椭圆联立有: 10(

x2 y2 ? ) ? 1 ? ( y ? kx) 2 整理得: 25 16

3 2 2 y ? 2kxy ? (k 2 ? ) x 2 ? 0 8 5

两边同时除以: x

2

得:

3 y 2 y 2 ( ) ? 2k ( ) ? ( k 2 ? ) ? 0 8 x x 5

设直线 l 交曲线 C 的坐标为:A( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) 由于 OA ? OB ? 0 得: x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 从而有:

y1 y 2 ? ? ?1 x1 x 2

又因为

y y y y1 1 2 8 2 2 和 2 是方程(A)的两个实根,由根与系数的关系得: 1 2 ? (k ? ) ? ? ?1 ,得: k ? , 40 x2 x1 x2 5 3 x1

?k ? ?

1 10 ?? 40 20
y?? 10 x ? 10 20

故:存在这样的直线 l ,其方程是:

4.已知向量 OA ? (2 2 ,0) ,O 为坐标原点,动点 M 满足: OM ? OA ? OM ? OA ? 6 (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)是否存在过 D(0,2)的直线 l 与轨迹 C 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆过原点,若存在,求出直线 l 的 方程;若不存在,请说明理由。 5.已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy .(Ⅰ)求以 A、B 为 焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出 直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

y
D C

A

O
图8

B

x

解:(Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2,0 , 设椭圆的标准方程是

?

??

2,0 ,

? ? 2,1?.
?
2 2

2a ? AC ? BC ?

?

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? .则 2 a b

2

2

2? ? 2

?

??

2

? ?1 ? 0? ?
2

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0? ? 4 ? 2 2 ,? a ? 2

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .? 椭圆的标准方程是
设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?. 联立方程: ?

x2 y2 ? ? 1. 4 2 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? .

? y ? kx ? 2 ?x ? 2 y ? 4
2 2

y

消去 y 整理得, 1 ? 2k 有 x1 ? x2 ? ?

?

2

?x

2

? 8kx ? 4 ? 0

D

C

8k 4 , ???? 8分,x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON , 所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 ,

A

O
图8

B

x

即 1 ? k x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0
2

?

?

4 1? k 2 16k 2 ? ?4?0 所以, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?

?

8 ? 4k 2 ? 0, 得 k 2 ? 2, k ? ? 2. 即 2 1 ? 2k 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .
所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点. 6.

已知圆M : ( x ? 5 ) 2 ? y 2 ? 36, N ( 5 ,0),点P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G 在MP上, 且满足NP ? 2 NQ, GQ ? NP ? 0. (1) 求点G的轨迹C的方程; (2 ) 过点(2,0)作直线l与曲线C相交于A, B两点, O是坐标原点 , 设OS ? OA ? OB, 是否存在这样的直线 l , 使四边形OASB的对角线相等 (即 | OS |?| AB |) ? 若 存在, 求出直线l的方程; 若不存在, 说明理由 .

(1) 由NP ? 2 NQ, GQ ? NP ? 0得Q是NP的中点, GQ ? NP, 则GQ是NP的垂直平分线 . ?| GN |?| GP | .......... .......... ........ 2分
解:

于是有 | GM | ? | GN |?| GM | ? | GP |?| PM |? 6 ?| MN | 所以点G的轨迹C是以M , N为焦点的椭圆 , 其长轴长为 2a ? 6, ? a ? 3, 半焦距为c ? 5 ? 短半轴长为b ? 2

x2 y 2 所以点G的轨迹C的方程为 ? ? 1.......... .......... .......... ..6分 9 4

(2) ? OS ? OA ? OB ?四边形OASB是平行四边形 若存在直线l使得 | OS |?| AB |, 则四边形OASB是矩形. ? OA ? OB ? 0.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......8分 i)若l的斜率不存在 , l的方程为x ? 2.

?x ? 2 ?x ? 2 16 ? 2 ? 由? x 解得? ..9分 y2 2 5 , 这时OA ? OB ? 9 ? 0.......... ? ? 1 y ? ? ? ? 4 ?9 5 ?

ii)若l的斜率k存在, 设l的方程为y ? k ( x ? 2), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ). ? y ? k ( x ? 2) ? 由? x 2 y 2 得(9k 2 ? 4) x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0 ?1 ? ? 4 ?9 36k 2 36(k 2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 , x1x2 ? .......... .......... .......... .......... .......... ....11分 9k ? 4 9k 2 ? 4 20k 2 y1y 2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k 2 [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4] ? ? 2 .......... ........ 12分 9k ? 4 36(k 2 ? 1) 20k 2 16k 2 ? 36 则 OA ? OB ? x1x2 ? y1y 2 ? ? ? ?0 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4 3 解得k ? ? 2 综上所述, 存在直线l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0或3x ? 2 y ? 6 ? 0使得四边形OASB的对角线相等 .
7. (08 海南)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2。F2 也是抛物线 C2: a 2 b2 5 y 2 ? 4x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 |? 。 3

(1)求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足 MN ? MF 1 ? MF 2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A、B 两点,若 OA · OB =0,求直线 l 的方 程。 解: (Ⅰ)由 C2 : y 2 ? 4 x 知 F2 (1 , 0) . 设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ?

5 5 2 2 6 ,所以 x1 ? 1 ? ,得 x1 ? , y1 ? . 3 3 3 3

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?
消去 b 并整理得
2

1 9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a ? 不合题意,舍去) . 3

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 C1 的方程为 4 3
O, (Ⅱ)由 MF 1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 1 ? MF 2 ? MN 知四边形 MF
因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

2 6 故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 .设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) . 2 3

由?

2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12,

? ? y ? 6( x ? m),

消去 y 并化简得

9 x 2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .

设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ?

16m 8m2 ? 4 , x1 x2 ? . 9 9

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
1 8m2 ? 4 16m ?7 ? 6m ? 6m2 ? (14m 2 ? 28) ? 0 . 9 9 9
所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m)2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 ,或 y ? 6x ? 2 3 . 8.设直线 l 过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的一个焦点,交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 OA ? OB ? 0 ,求 AB 的 3

值。

x2 y 2 ? 1 上的动点, F1 、 F2 是该椭圆的左、右焦点。点 Q 满足 PQ 与 F1P 是方向相 9.已知:点 P 是椭圆 ? 4 3
同的向量,又 PQ ? PF2 。 (Ⅰ) 求点 Q 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在斜率为 1 的直线 l,使直线 l 与曲线 C 的两个交点 A、B 满足 AF2 ? BF2 ?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由。
解: (1)由椭圆方程知, a ? 4, b ? 3 ,得 a ? 2, c ? a 2 ? b2 ? 1 ,
2 2



F1 (?1,0), F2 (1,0) ,

∵ PQ 与 F1P 是方向相同

∴ 点 Q 在 F1P 的延长线上,且有 | F1Q |? PF1 ? PQ1 ? PF1 ? PF2 ? 2a ? 4 , ∴ 点 Q 的轨迹 C 是圆,圆心为 F1,半径为 4, ∴ C 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16

(2)假设存在直线 l: y ? x ? n 满足条件,

y ? x?n ? 由? 2 2 ?( x ? 1) ? y ? 16

消去 y ,得

2x2 ? (2 ? 2n) x ? n2 ?15 ? 0

∵ △ ? (2 ? 2n)2 ? 4 ? 2(n2 ?15) ? 0 , ∴

n2 ? 2n ? 3 1 ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?1 ? n, x1 x2 ?


n 2 ? 15 , 2

AF2 ? BF1



AF2 ? BF1 ? 0

而 AF2 ? (1 ? x1, ? y1 ), BF2 ? (1 ? x2 , ? y2 ) , ∴ ∴ ∴ ∴


( 1? x1 ) (? 1 x2 ? ) y1 y2 ? , 0

( x1 ? 1 ) x (2 ? 1? ) x1( ? n ) x ) 2( ? n ?

0

2x1 x2? ( n? 1 ) (x ?2 n ? 1? 0 1? x 2 )
n2 ?15 ? (n ?1)(?1 ? n) ? n2 ? 1 ? 0
n2 ? 1 3


n ? ? 13

n ? ? 13 时都有 n2 ? 2n ? 31 ? 0 成立∴ 存在直线 l: y ? x ? 13 满足要求。

10.(07 山东) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解: (1)由题意设椭圆的标准方程为 为直径的图过椭圆 C 的右

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

由已知得: a ? c ? 3,a ? c ? 1 ,

a ? 2,c ? 1, ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3

x2 y 2 ? 1. ? 椭圆的标准方程为 ? 4 3
(2)设 A( x1,y1 ),B(x2,y2 ) .

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4


(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ,则

? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0, ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) . ? x1 x2 ? 3 ? 4k 2 ?
又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0) ,

? k AD kBD ? ?1 ,即

y1 y2 ? ?1 . x1 ? 2 x2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .
? 3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 15mk ? ? ?4?0. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .
解得: m1 ? ?2k,m2 ? ?

2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

0) ,与已知矛盾; 当 m1 ? ?2k 时, l 的方程 y ? k ( x ? 2) ,直线过点 (2,
当 m2 ? ?

2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? , 0? . 7 7? ? ?7 ?

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? , 0? .

?2 ?7

? ?

11.若椭圆 ax ? bx ? 1 与直线 x ? y ? 1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中点,直线 OM 的斜率为
2 2

2 ,且 OA ? OB , 2

求椭圆的方程。 12.已知直线 y ? ? x ? 1与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点。 a2 b2

(1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求椭圆的标准方程; 3 1 2 2 ] 时,求椭圆的长轴长的最大值。 2

(2)若 OA ? OB (其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离率 e ? [ ,

解: (1)? e ?

3 c 3 ,即 ? .又2c ? 2, 解得a ? 3, 则b ? a 2 ? c 2 ? 2. 3 a 3

x2 y2 ? 椭圆的标准方程为 ? ? 1. 3 2

? x2 y2 ? 1, ? ? (2)由 ? a 2 b 2 消去y得(a 2 ? b 2 ) ? x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? (1 ? b 2 ) ? 0, ? y ? ? x ? 1, ?
由 ? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0, 整理得a 2 ? b 2 ? 1.

设A( x1 , y1 , ), B( x2 , y 2 ), 则x1 ? x2 ? 2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x x ? . 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2

? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1. ? OA ? OB(其中O为坐标原点 ),? x1 x2 ? y1 y2 ? 0,即2x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0.
2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ? 2 ? 1 ? 0.整理得a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0. 2 2 2 a ?b a ?b
? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 , 代入上式得 2a 2 ? 1 ? ?a2 ? 1 1 (1 ? ). 2 1 ? e2 1 , 1 ? e2

1 2 1 1 1 3 4 1 ? e ?[ , ] ? ? e 2 ? ,? ? 1 ? e 2 ? ,? ? ? 2, 2 2 4 2 2 4 3 1 ? e2 7 1 7 3 ? ? 1? ? 3,? ? a 2 ? , 适合条件a 2 ? b 2 ? 1, 2 3 6 2 1? e
由此得

42 6 ?a? . 6 2

?

42 ? 2a ? 6 , 故长轴长的最大值为 6. 3

a2 13.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) (c>0)的准线 ? (准线方程 x= ? c ,其中 a 为长
半轴,c 为半焦距)与 x 轴交于点 A, OF ? 2 FA ,过点 A 的直线与椭圆相交于点 P、Q。 (1)求椭圆方程; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程。 解: (1)由已知得 b ?

2, c ? 2(

a2 ? c) ,解得: c2 ? 4, a2 ? 6 c

x2 y 2 ? ?1 所求椭圆方程为 6 2
(2)因点 A(

a2 , 0) 即 A(3,0) ,设直线 PQ 方程为 y ? k ( x ? 3) c

则由方程组 ?

? y ? k ( x ? 3) ,消去 y 得: (1 ? 3k 2 ) x2 ?18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 2 2 ?2 x ? 6 y ? 12
18k 2 27k 2 ? 6 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ?

因 OP OQ ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 又 y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 x1x2 ? 3k 2 ( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ,代入上式得

(1 ? k 2 ) x1x2 ? 3k 2 ( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ? 0 ,故

(1 ? k 2 )(27k 2 ? 6) 3k 2 18k 2 ? ? 9k 2 ? 0 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

解得: k ?
2

1 5 5 ,所求直线 PQ 方程为 y ? ? ,k ? ? ( x ? 3) 5 5 5
x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 A, B , O 为坐标原点. a2 b2

14.已知直线 l : y ? x ? 1 与曲线 C :

(Ⅰ)若 | OA |?| OB | ,求证:曲线 C 是一个圆;

(Ⅱ)若 OA ? OB ,当 a ? b 且 a ? [

6 10 , ] 时,求曲线 C 的离心率 e 的取值范围. 2 2

【解】 (Ⅰ)证明:设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? | OA |?| OB |
2 2 2

∴ x1 ? y1 ?
2

2

2

x2 ? y 2

2

2

即: x1 ? y1 ? x2 ? y2

2

2

2

2

∴ x1 ? x2 ? y2 ? y1
2 2 2

? A, B 在 C 上
2



x1 y x y ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 2 a b a b
2 2

∴两式相减得: x1 ? x 2 ? ∴曲线 C 是一个圆

a2 2 2 ( y 2 ? y1 ) 2 b



a2 ? 1 即: a 2 ? b 2 2 b

(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

?a ?b ?0

∴曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆

? OA ? OB



y1 y 2 ? ? ?1 即: y1 y2 ? ? x1 x2 x1 x 2

将 y ? x ? 1 代入 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ? 0 整理得:

(b 2 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0
∴ x1 ? x 2 ? ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x ? x ? , 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2


? A, B 在 l 上

y1 ? y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1
∴ 2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 0 ∴ a ? b ? 2a b ? 0
2 2 2 2

又? y1 y 2 ? ? x1 x2 ∴2 ?

a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ( ? ) ?1 ? 0 a2 ? b2 a2 ? b2
2 2 2 2 2

∴ a ? a ? c ? 2a (a ? c ) ? 0
2

∴ 2a ? 2a ? c ? 2a c ? 0
4 2 2 2 2

∴c ?
2

2a 2 (a 2 ? 1) c 2 2(a 2 ? 1) 1 2 e ? ? ? 1? 2 ∴ 2 2 2 2a ? 1 a 2a ? 1 2a ? 1
∴1 ?

? a ?[

6 10 , ] 2 2

∴ 2a ? 1 ? [2,4]
2

1 3 ?[ , ] 2a ? 1 2 4
2

1

e ?[

2 3 , ] 2 2

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 15.(07 四川)设 F1 、 F2 分别是椭圆 4
(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 2 的最大值和最小值; 1 · PF (Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ A O B为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的 斜率 k 的取值范围. 解:(Ⅰ)易知 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 . ∴F 1 (? 3,0) , F 2 ( 3,0) .设 P( x, y) ( x ? 0, y ? 0) .则

PF1 ? PF2 ? (? 3 ? x, ? y )( 3 ? x, ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ?

5 x2 ? y 2 ? 1, ,又 4 4

7 ? 2 x ? y2 ? ?x ? 1 ? x2 ? 1 ? 3 ? 4 ? ? 联立 ? 2 ,解得 ? 2 3 ? ? 3 , P(1, 2 ) . ? x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? ? 4 ? 2 ? ?4

(Ⅱ)显然 x ? 0 不满足题设条件.可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? x2 ? ? y2 ? 1 联立 ? 4 ? x 2 ? 4(kx ? 2)2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
∴ x1 x2 ?

12 16k , x1 ? x2 ? ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

由 ? ? (16k )2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) ?12 ? 0

16k 2 ? 3(1 ? 4k 2 ) ? 0 , 4k 2 ? 3 ? 0 ,得 k 2 ?

3 .① 4

又 ?AOB 为锐角 ? cos ?AOB ? 0 ? OA ? OB ? 0 , ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

? (1 ? k 2 ) ?

12 16k ? 2k ? ( ? )?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

?

12(1 ? k 2 ) 2k ?16k 4(4 ? k 2 ) ? ? 4 ? ?0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
∴?

1 ? k 2 ? 4 .② 4 3 3 3 ? k 2 ? 4 ,∴ k 的取值范围是 (?2, ? ) ( , 2) 4 2 2

综①②可知

x2 y2 16.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) . a b
(1)设椭圆的半焦距 c ? 1 ,且 a 2 , b 2 , c 2 成等差数列,求椭圆 C 的方程; (2)设(1)中的椭圆 C 与直线 y ? kx ? 1相交于 P 、 Q 两点,求 OP ? OQ 的取值范围。 由已知, a ? b ? 1 ,且 2b ? a ? 1 ,
2 2 2 2
2 2 解得 a ? 3 , b ? 2 ,所以椭圆 C 的方程是

x2 y2 ? ? 1. 3 2

(2)将 y ? kx ? 1 代入椭圆方程,得
2 2

x 2 (kx ? 1) 2 ? ? 1, 3 2

化简得, (3k ? 2) x ? 6kx ? 3 ? 0 ,……6 分

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

6k 3 , x1 x 2 ? ? 2 , 2 3k ? 2 3k ? 2

所以, OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1

?

? 3(k 2 ? 1) 6k 2 ? 6k 2 ? 1 3 ? ? 1 ? ? ?2 ? 2 , 2 2 2 3k ? 2 3k ? 2 3k ? 2 3k ? 2
2

3 3 3 1 ? , ?2 ? ?2 ? 2 ?? , 3k ? 2 2 3k ? 2 2 1 所以 OP ? OQ 的取值范围是 ( ?2 , ? ] . 2
2 2 由 k ? 0 , 3k ? 2 ? 2 , 0 ?

17.如图,两条过原点 O 的直线 l1 , l2 分别与 x 轴、 y 轴成 30 ? 的角,已知线段 PQ 的长度为 2 ,且点 P( x1 , y1 ) 在直线

l1 上运动,点 Q( x2 , y2 ) 在直线 l 2 上运动.
(Ⅰ)求动点 M ( x1 , x2 ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过定点 T (0, 2) 的直线 l 与(Ⅰ)中的轨迹 C 交于不同的两点 A 、 B ,且 ?AOB 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取 值范围. 解: (Ⅰ)由已知得直线 l1 ? l2 , l1 : y ?

l2
3 x, 3

y

30?

P l1
30?

l 2 : y ? ? 3x , ? P( x1 , y1 ) 在直线 l1 上运动, Q( x2 , y2 ) 直线 l 2 上运动,
? y1 ? 3 x1 , y2 ? ? 3x2 , 3
2 2 2 2

O Q

x

由 PQ ? 2 得 ( x1 ? y1 ) ? ( x2 ? y2 ) ? 4 ,

4 2 x 2 2 即 x1 ? 4 x2 ? 4 , ? 1 ? x2 ? 1 , 3 3

2

? 动点 M ( x1 , x2 ) 的轨迹 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 3
y T A

x2 ? y2 ? 1, (Ⅱ)直线 l 方程为 y ? kx ? 2 ,将其代入 3
化简得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 ,
2 2

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

o
B

x

? ? ? (12k ) 2 ? 36? (1 ? 3k 2 ) ? 0 , ? k 2 ? 1,
且 x1 ? x2 ? ?

12 kx 9 , x1 x2 ? , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

? ?AOB 为锐角,?OA ? OB ? 0 ,
即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , ? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 ,

?(1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .
将 x1 ? x2 ? ?

12 kx 9 , x1 x2 ? 代入上式, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

化简得

13 13 ? 3k 2 ? 0 ,? k2 ? . 2 3 1 ? 3k
2

2 由 k ?1且 k ?

13 39 39 ,得 k ? (? , ? 1) ? (1, ). 3 3 3

[题型链接对比]设 A、 B 分别是直线 y ? 3x和y ? ? 3x 上的两个动点, 并且 AB ? 3 , 动点 P 满足 OP ? OA ? OB 。 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若经过点 Q(0,3) 的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 程. 解: (Ⅰ)设 P( x, y) ,因为 A、B 分别为直线 y ? 3x和y ? ? 3x 上的点,故可设 A( x1, 3x1 ), B( x2 , ? 3x2 ) 。∵

1 平分, 求直线 l 的方 2

? ? x ? x1 ? x2 OP ? OA ? OB ,∴ ? ? ? y ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? x, ? 2 2 ∴? 3 又 AB ? 3 ,∴ ( x1 ? x2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ? 3 。 y. ? x1 ? x2 ? 3 ? 1 2 y2 2 ? x 2 ? 1。 ∴ y ? 3 x ? 3 ,即曲线 C 的方程为 3 9 1 (Ⅱ)因为直线 l 与直线 x ? ? 相交,不可能垂直 x 轴, 2 故可设直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 。 ? y ? kx ? 3 2 2 由? 2 消去 y ,得 9x ? (kx ? 3) ? 9 ,整理得 2 ?9 x ? y ? 9

(k 2 ? 9) x2 ? 6kx ? 0 。
方程有两个不相等的实数根, x1 ? 0, x2 ? ∵线段 MN 恰被直线 x ? ? ∴?

?6k . k2 ? 9

1 x1 ? x2 6k ? 即? 2 ? ?1 。 2 2 k ?9

1 平分, 2

解得 k ? 3 。∴直线 l 的方程为 y ? 3x ? 3 。

x2 y2 ? ? 1(? ? b ? 0) 的一个顶点与抛物线 C : x 2 ? 4 3 y 的焦点重合, F1 , F2 分别是椭圆的左、右 a2 b 2 1 焦点,且离心率 e ? ? 且过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点. 2
18.设椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?2 .若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. (3)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦, MN // AB,求证: 解:椭圆的顶点为 (0, 3 ) ,即 b ?

| AB | 2 为定值. | MN |

3,

c 1 ? ,所以 a ? 2 , a 2 x2 y 2 ?1 ? 椭圆的标准方程为 ? 4 3 (2)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. e?
设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
x1 ? x2 ? 8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] 2 4k 2 ? 12 8k 2 ? 5k 2 ? 12 2 4k ? 12 ? k ( ? ? 1 ) ? ? ?2 = 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 所以 k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? 2 ( x ? 1) 或 y ? ? 2 ( x ? 1) (3)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 )
2 由(2)可得: |MN|= 1 ? k | x1 ? x 2 |?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

= (1 ? k )[(
2

8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) ) ? 4 ( )] ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y2 12 ?1 ? ? 2 由? 4 消去 y,并整理得: x ? , 3 2 3 ? 4 k ? y ? kx ?
48(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) | AB | 2 2 4k 2 ? 4 ? 3?2 |AB|= 1 ? k | x3 ? x4 |? 4 ∴ 2 | MN | 12(k ? 1) 3 ? 4k 3 ? 4k 2

为定值


相关文章:
解析几何专题汇编1与椭圆有关的垂直问题.doc
解析几何专题汇编1与椭圆有关的垂直问题 - 第一部分、与椭圆有关的垂直问题 1.
解析几何专题汇编4与椭圆有关的垂直平分问题.doc
解析几何专题汇编4与椭圆有关的垂直平分问题 - 第四部分、与椭圆有关的垂直平分问题 1.已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,离心率为 (1)求椭圆 E...
专题15 以解析几何中与椭圆相关的综合问题-2017年高考....doc
专题15 以解析几何与椭圆相关的综合问题-2017年高考数学培优系列(学生版) - 更多内容见微信公众号:数学第六感,小编微信:AA-teacher 专题三 第二关 压轴解答题...
高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版).doc
高中数学解析几何专题椭圆(汇总解析版)_数学_高中...注 3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可...椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称...
...以解析几何中与椭圆相关的综合问题(学生版).doc
高考数学压轴解答题培优系列以解析几何与椭圆相关的综合问题(学生版) - 专题三 第二关 压轴解答题 以解析几何与椭圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年...
解析几何专题05直线与椭圆综合问题(学案).doc
解析几何专题05直线与椭圆综合问题(学案) - 解析几何专题 05 直线与椭圆综合问题 学习目标 (1)能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系; (2)能够利用...
解析几何专题05直线与椭圆综合问题.doc
解析几何专题 05 直线与椭圆综合问题学习目标(1)...→ 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0,m=...? ② 当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A , ...
专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题-2016年高考....doc
专题三 压轴解答题 第二关 以解析几何与椭圆相关的综合问题 【名师综述】...说明理由. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 ;(Ⅱ)或 x=1. 类型二 垂直问题 2 ...
2016-2017高考数学--解析几何真题汇编(1).doc
2016-2017高考数学--解析几何真题汇编(1)_从业资格...2 3 D. 3 1 【答案】A 【解析】本题考查椭圆...轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为 1 3 ...
解析几何专题汇编9过定点.doc
解析几何专题汇编9过定点_高考_高中教育_教育专区。...第九部分、过定点问题 1.(07 山东) 已知椭圆 C ...x2 ) .当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? ...
2015年高中数学解析几何解答题汇编(有答案).doc
高中数学解析几何解答题汇编 一.解答题(共 30 小题) 1. (2014?江苏)如图,...本题主要考查圆锥曲线的综合问题,要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率...
2015年高中数学解析几何小题汇编(有答案).doc
2014 年 12 月 28 日高中数学解析几何题汇编一.选择题(共 30 小题) 1. (2014?甘肃一模)已知椭圆 E: 的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆 E...
解析几何专题汇编2椭圆与圆.doc
解析几何专题汇编2椭圆与圆 - 第二部分、椭圆与圆 1.已知椭圆 x ? 2 y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B,过 F,...
2013解析几何高考真题汇编详解.doc
2013解析几何高考真题汇编详解_数学_高中教育_教育...问题鸟慈善夏令营数学 2013 解析几何 1.(2013 大纲...垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1....
专题5.2+解析几何与平面向量相结合问题-玩转压轴题突破....doc
专题5.2+解析几何与平面向量相结合问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品 - .方法综述 向量具有代数与几何形式的双重身份,平面向量与解析几何的交汇...
2015年高中数学解析几何解答题汇编(有答案).doc
高中数学解析几何解答题汇编一.解答题(共 30 小题) 1. (2014?江苏)如图,在...本题主要考查圆锥曲线的综合问题,要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率...
解析几何基础知识汇总.doc
解析几何基础知识汇总_高二数学_数学_高中教育_教育专区。解析几何基础知识汇总 解析几何基础知识 1.平行与垂直若直线 l1 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2...
高考解析几何汇编一.doc
高考解析几何汇编一_政史地_高中教育_教育专区。...1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直 的...18. (本小题共 13 分)如图,有一块半椭圆形钢板...
2017高考汇编专题05 解析几何.doc
2017高考汇编专题05 解析几何_高三数学_数学_...过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 ...问题其关键就是确立关于 a, b, c 的方程或...
历年高考专题汇编:08解析几何.doc
历年高考专题汇编:解析几何 1.过点 A(11,2)作圆...若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y 2 ? 2 px(...kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不...
更多相关标签: