当前位置:首页 >> 数学 >>

课题第二部分:教学随笔必修(2、5)


全国教育科学规划“十一五”教育部重点课题

《新教育实验与素质教育行动策略的研究》

子课题申报表









在高中数学教学中如何达到理想课堂 的实践

课 题 负 责 人 负责人所在单位 填 表 日 期

张 明 温州市瓯海区三溪中学 2009 年 5 月 11 号

新教育研究院课题管理中心
二○○九年二月

必修(2、5)教学随笔

1:同学们,我错了。
对于我学校的学生,有个老师必须要向同学们介绍。就是北京 22 中孙维刚 老师。干国祥老师对他有极高的评价,就是评价他是把灵魂和知识这两个方面都 做到卓越的老师,这样的老师很少, 孙维刚老师就是其中一个。 我向同学们介绍孙老师的成就。北京 22 中是一所即不是北京市市重点中学 也不是北京市区重点中学。 同学们都知道这个不严格的类比,就是北京市相当于 浙江省,一个区相当于一个地级市比如温州市,通过这个不严格的类比,北京 22 中就相当于我们的母校,三溪中学。他教了 17 年从初一一直带到高三经历两 次高考,高考成绩是 1992 年,全班 40 人有 15 人被清华、北大录取。1997 年全 班 40 名同学 38 人达到全国重点大学录取线,600 分以上 9 人,22 人考入北大、 清华。 而在当年升学时, 这个班 2/3 的学生低于区属重点中学的录取分数线。 1996 年—1997 年全国联赛中全班 14 人获奖。 我以前对高三的同学讲过, 三溪中学的学生从理论上讲每个人考上二本是不 成问题的。我以前讲这些话有点心虚,现在我找出证据证明给你们看,我不是口 说无凭啊,我有证据,因为确实有比我的要求高的多的事情发生了,我们退一步 讲,我们不考北大、清华,我们三溪中学的同学不管从理论上还是实际上都可以 考上一本能力。我不是口说无凭啊,有证据。 我向学生介绍孙老师的高考成绩是学生们容易引起兴趣。 我知道孙老师上课 是讲德育第一,智育第二。我也对学生讲了德育能促进智育的发展。我的理解带 有很大的功利性, 就是解释说, 人品好的人成绩提高的快点。 为什么, 你人品好, 当你看到自己的不足时,不如别人时,你会承认自己与别人的差距,然后虚心向 别人学习。一个人品不好的人,看到自己比别人差,他不是虚心向别人学习,而 是背后嫉妒、诽谤,极力掩盖自己的缺点。所以这个人永远进步不了。我知道我 对孙老师的这个教育观点理解有偏差。我也知道他这个观点的真实含义。因为我 从网络上下载了有关孙维刚老师的很大一部分他自己的或其他老师研究他的文 章,也看了一遍,注意只一遍,我还会再看。 孙老师在解题中有一个规律我印象很深就是,一题多解、多解归一、多题归 一。因为他引起我的共鸣。我对学生讲过,一题多解、一题多变、多题同律。一 个复杂问题往往有简单问题综合而成。 我又讲了解题的四境界与高原现象,这些思想在下面附件中。我问遇到高原 现象怎办?一是在山下就锻炼,而是借助辅助工具比如让人抬上去、乘火车、飞 机等,这辅助工具就相当于有老师帮助与同学帮助。

2、同学们,我又认识到自己错了
同学们, 当我第一次听到师生的潜力有这么巨大的时候我是不相信的, 为什么?因为我 觉得自己就不可能到北大教书,老师想都都没想过。但是谁让我改变了这个想法。是我跟你 们提起的北京 22 中孙维刚老师,我也跟你们讲了他的事迹。在我不知道孙维刚老

师的事迹前,我告诉高三的同学,三溪中学的每个学生考个二本是不成问题的, 那时我有点心虚。我对高三的同学说,解题有四重境界,学了就懂、懂了就会、 会了就通、 通了就创。但我同时告诉他们在从低境界上升到高境界要经历高原现 象。什么是高原现象,我也向你们解释了。我又告诉他们这高原现象是不是超越 再超越以至无穷呢?我说不是的, 并且举了个例子, 就是由世界级教练来培训我,

我也打不破温州 3000 米记录。 现在我发现我的看法是错的,打破温州 3000 米记录很简单,我可以骑自行 车。有的同学可能会说了,这是违反比赛规则的。但学习有死规则吗?有法律、 道德规定要那样学习,这样学习是违反法律、道德的,有吗?没有。并且我指的 自行车只是个辅助工具,我们学习可以借助于任何辅助工具,乘飞机都可以。只 不过学习的这个辅助工具自行车或飞机几乎不可能找到,但孙维刚老师找到了。 那让我到北大教书的自行车或飞机在哪里呢?我不知道。 就像让你们考上好 大学的自行车或飞机是在哪里呢?你们也不知道。你们不知道没关系,有我在帮 你们寻找, 我自己的自行车或飞机在哪里呢?没人帮我寻找。 我也已经放弃寻找。 你们这么早放弃干吗呢?

3、同学们,自然远比社会美好、和谐、漂亮
我在上课的时候讲过,正弦定理与余弦定理是多么的漂亮,当我问你们 sinA>sinB 是否 就是 A>B,你们说不是,但当前面加个 A、B 是三角形的两个内角时,sinA>sinB 是否就是 A>B 时,你们不确定,也有点担心如果不一定 A>B,那就会破坏正弦定理的美。因为正弦 定理是三角形大角对大边,大边对大角,小角对小边,小边对小角的一个非常漂亮的精确的 描述与认识。幸亏我们发现当 A、B 是三角形的两个内角时,sinA>sinB 推出 A>B,我们松 了口气,因为不这样,这个美好的大自然就是不完美了,被破坏了。我上课总告诉你们,世 界是美好的,我想纠正一下,大自然是美好的,人类不美好。这个世界有战争、瘟疫、贫穷、 疾病。有强者欺负弱者,有政府欺负百姓。老师还是更喜欢大自然对社会一般般。老师希望 的社会也像大自然一样美好、和谐、漂亮,有正弦定理与余弦定理的美。

4、同学们,我又要深刻检讨了。
我在上一次讲过,自然远比社会美好、和谐、漂亮。我说我更爱自然对社会一般般。同 学们,我这样说是会误人子弟的。对于一个老师来说,他有个基本要求,就是培养学生对自 然,对社会的热爱。而我是叫你们讨厌社会。这是不对的。 我以前曾经悟到过,一个人看破红尘之后有两种结果,一是继续爱红尘,二是厌红尘。 但不会恨红尘,如果还恨,说明还没看破。所以我上次对你们的教育说明我也只是悟到,却 还没做到。所以希望让我们一起看破红尘爱红尘吧。

随笔 5
同学们,数学当中不只只隐藏着真,还隐藏着善与美。美就是我经常告诉你的世界总是 美好的。并且我还说大自然远比社会美好、和谐、漂亮。我告诉你一个道理:科学求真,人 文求善、艺术求美。比如数学属于科学,它告诉你求真,语文属于人文,它告诉你求善,美 术属于艺术,它告诉你求美。但同学们要注意他们之间没有严格的界限。数学也可以求善、 求美。我在课堂上我要上成人文数学,一个同学就讲了,数学怎有人文,那是属于文科的功 能。所以是同学们只知其一不知其二。有个大学老师叫石中英,他在他的书《教育哲学》 中, 讲人文思考是自然科学的副产品。 也就是说在数学中教你们求善、 求美只是数学教学的副产 品。但不管是副产品也好,我总想试试。 同学们可以理解,善、美它是一种情感体验。那情感体验的最高境界是什么?就是师生 的生命、生活世界、人类命运产生深刻共鸣。注意这里我们的生活世界是有全球视野的生活 世界。 那情感的低境界是什么?比如老师的老婆为一点鸡毛蒜皮的事与我赌气, 你们在班级 里为一些鸡毛蒜皮的事吵架,弄的不开心。 上个礼拜 5,我们上正弦定理、余弦定理的应用。第一个例子是我们要计算一条大河这

岸与对岸各一点,它们的距离。 老师开场白就是:生命就像一条大河,时而宁静,时而疯狂。 这是汪峰的歌曲《飞的更高》 ,同学们可以百度 MP3:飞的更高。第二个例子也是在一条大河 的对岸有两点,人在这岸,我们要计算对岸两点的距离。我还是说生命就像一条大河,时而 宁静,时而疯狂。当例题讲完后,我说,恭喜你们,将来可以找到工作了。温州勘测局,事 业单位。我上数学就想跟你们的生活联系在一起。

随笔 6
我还是按照上面所讲的教学理念进行上课。今天讲正弦、余弦定理的应用第二节。第一 道例题是测量建筑物的高度,我把它该成测量高楼大厦的高度,并配以音乐罗琦的《我没有 远方》 ,很好听的,同学们可以百度 mp3:我没有远方。 最后一道例题是测量一坐雪山的高度,最后有 1047 米,这样高的山在温州见不到。我 配以青藏高原的图片,图片同学们可以百度图片:青藏高原。这样的情景也只能在青藏高原 发生。所以我配以音乐,李娜的《青藏高原》 ,同学们反应,这首歌听过。同学们也可以百 度 mp3:青藏高原。

随笔 7
同学们,我要谢谢某位同学,我不知道这位同学的名字,因为他不好意思承认。就是他 在上课之间说了一句非常深刻的学习心得:数形结合,保证及格。他形象、深刻、幽默的说 明了数形结合在高中数学学习中的重要性。 我跟你们讲过,我要在数学中加点人文精神。今天我们看一道例题:已知:同步通讯

卫星在赤道上空 35800km 的轨道上,它每 24 小时绕地球一 周,所以它每 24 小时绕地球一周,所以她定位于赤道上某一点的上空。如果此点与北京在同一 条子午线上,北京的纬度是北纬 39° 分,求在北京观察此卫星的仰角(取地球 54 半径是 6400km)。
这让我们想起哪所古代的词?苏轼《水调歌头》 ,里面有一句词,高处不胜寒。同学们 可以百度:苏轼《水调歌头》 。就可以找到这首词,可能你们高中也学过。通讯卫星在赤道 上空 35800km 的轨道上,你说这颗同步卫星是不是高处不胜寒?

随笔 8
同学们,我讲过一个人的情感是有层次的,我举了个低层次情感的例子,就是我的老婆 为一些鸡毛蒜皮的琐事与我赌气, 这种情感是低层次的情感。 我也举了最高层次的情感是什 么?就是师生生命、生活世界、人类命运产生深刻共鸣。这里的生活世界是有全球视野的生 活世界。 在正弦定理、 余弦定理应用举例的最后一节。 教材讲了三角行的许多面积公式。 为什么? 我说这符合我们人类的善良一面的本性。 人类善良一面的本性是什么?我用了一个世界级的 大人物伯特兰· 罗素来代表人类善良一面的本性。罗素在《我为何而生》一文中说过,在这个 世界上支撑我活下去的动力,便是三种极其单纯然而又强烈的激情:对爱情的渴望、对知识 的渴求以及对人类苦难痛彻肺腑的怜悯” 。这里罗素具有的优点人类也具有。在这里对知 识的渴求, 说明对探询到一个结论是远远满足不了人类好奇心的, 人类会继续探询其他结论, 有没有结论更简洁、漂亮。三角形面积公式有初中里学习过的 1/2 底乘高、有高中现在刚学 的 1/2 边乘边乘 SIN 夹角。还有海伦公式。并且在复习参考题 B 组第二题:就三角形的面 积公式作进一步探讨, 你现在已经学习了哪些计算公式, 还可发现和证明一些新的计算公式 吗?教材为什么要这么安排?原因就是让我们与人类的善良一面的本性产生深刻共鸣。 这种 本性是隐藏在每个人心底的一种强烈的情感。人类的好奇心是无止境的。

在讲海伦公式时,我说,解题要注意宏观把握方向,微观操作细节。什么意思?老师也 通过对海伦公式的推导,同学们都理解了。推导海轮公式,思维的发展方向是很明确的,繁 就繁在推导细节,运算量很大。 当我说治理一所学校、管理一个国家也是这样子时,你们不理解。现在我把它解释的更 详细一些,写在这里,晚自修或上我博客都可以听到与看到。同学们管理一所学校首先是思 想上的领导,其次是行政上的领导。什么意思?就是校长有一套治校思想,这种治校思想就 是宏观把握学校发展方向, 然后把这套治校思想转换成一套操作程序, 通过行政领导交给他 的手下来执行。 手下就是微观操作细节。 管理一个国家也一样, 国家主席要有一套治国思想, 然后在这种治国思想下有一套操作程序,根据这个操作程序总理干什么、副总理干什么、部 长干什么。国家主席让手下去做事情。就是微观操作细节是手下在做。头头是宏观把握国家 发展方向。但要注意啊,提出一套治校思想与提出一套治国思想能力不在同一个层次。一些 资料同学们可以:百度百科:伯特兰· 罗素、我为何而生。通过网络,我们可以知道:爱因斯 坦说:阅读罗素的作品,是我一生中最快乐的时光。

对于复习参考题 B 组第三题的设计
B 组第三题:研究一下,是否存在一个三角形具有以下性质: ⑴、三边是连续的三个自然数 ⑵、最大角是最小角的 2 倍 教学设计:其实有时候成长是一种烦恼,你越成长,抽象思维能力越强,你抽象思维能 力越强,你越有可能会设三边是 a=n,b=n+1,c=n+2。学生也这么反应。 假如你是小学生,还可能不可能设 a=n,b=n+1,c=n+2?学生回答不可能。那小学生是 如何研究的?学生回答:先研究三边是 1、2、3;再研究三边是 2、3、4,再研究三边是 3、 4、5,再研究三边是 4、5、6,一直下去。研究具体、数字的例子多了就发现只有一种情况 4、5、6 满足。接下去就是一般证明,比较难。 学生回答,平时不这样做题的。所以平时的数学教学歪曲了数学的本来面目。我接下去 举了歌德巴赫猜想、费尔马大定理,讲了陈景润、怀尔斯。说数学本来就这样。

《2.1 数列的概念与简单表示法》学案
一、 我们从身边观察开始, 你在日常生活中有没有遇到一些数按一定顺序排成一列?请举几 列?如果没有观察到说明什么? 答:说明你学了数学也没有按数学角度观察自然、社会。既然有数学角度,那就有物理、化 学、生物角度等等。这几个角度需要好奇心,我说过你们的好奇心丢失了。 二、历史上最早研究数列的是哪个国家?是谁?研究哪个数列? 三、有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列这些概念难吗? 答:顾名思义就可以了。 四、如果用符号表示数列,你会采取什么符号?既形象又直观。 五、进一步山穷水尽疑无路,退一步海阔天空。说明换个角度看问题,问题会迎刃而解。我 们换个角度看是数列,数列是什么? 六、求数列的通项公式在我们小学生时代打过基础是什么? 答:看图找规律。 七、听我分析一百遍还不如自己做一遍。大家自学例 1、例 2。你能把例 2 推广吗? 答:可以推广为周长、面积,但难度加大,暂时不研究。 八、 根据通项公式可以确定数列, 数列的通项公式一定可以求出来吗?书上还讲了可以根据 什么可以确定数列?为什么确定数列有多种方式?

答:不一定,相当于有时侯函数的解析式是求不出来的,确定函数也有多种形式。原因是有 时候数列的通项公式是求不出来的。 九、完成练习。

《等差数列》学案
一、昨天我们零星的讲了等差数列与等比数列。我们分析了这个名字取的很形象很直观。这 两种数列是特殊的数列,我们为什么要研究这两种数列,原因是在现实生活中有原型。书上 举了几个原型?哪个原型比较难?跟哪道题会混淆? 答:P34B 组第二题。 二、填写书上空格,你能举出更多的等差数列原型吗? 三、 等差数列通项公式如何推倒?换个角度从函数角度看通项公式是什么?反过来成立吗? 如何证明? 答:根据等差数列定义来证明。要证明一个东西是不是人看这个东西是不是符合人的定义。 补充一点, 有时候判断一个东西是不是人我们是判断这个东西有没有人的性质?比如两只耳 朵、一双眼睛等等。等差数列有什么性质我们下节课学习。 四、例 1 自己自学 例 2 要根据自己的生活经验。初中有碰到过吗? 五、自学探究

《等差数列》性质
一、上节课我们学习了等差数列的文字定义,但要学会把它上升为符号定义。同学们会 吗? 二、我们要研究人这个动物是什么东西,古今许多哲学家给出了答案,按马克思说法, 人的定义是,人是社会各种关系的总和。人有定义,不同哲学家不同定义。 人有性质, 比如一只鼻子、 一双眼睛、 直立行走。 人的定义是抽象的, 而性质比较直观。 判断一个动物是不是人怎么判断?狼孩是人吗? 答:狼孩有人的性质但不符合人的定义。 三、等差数列的定义直观吗? 四、等差数列的性质 我们如何研究就是做练习、习题发现性质,练习 3、4、5、习题 B 组第二题。 注意:别忘记通项公式。 等差数列的定义与性质哪个直观哪个抽象? 答:定义直观,性质还抽象点。 人的定义与性质等价吗?等差数列的定义与性质等价吗? 如何判断一个数列是不是等差数列?根据定义还是性质? 五、完成其余练习、习题。

9、老师有伤害学生的必要吗?
我可能教育方法不当伤害了某些同学,我先说抱歉。我不是故意的,我伤害你连我也不 知道。下面分析为什么不是故意。 当老师有个基本规律,只要学生好,老师才能好。比如高一(1)班如果有一个考上北 大,记者就会采访我,我可能评上高级、特级。一个月工资多 3000。你说我会故意伤害你 们吗?除非鬼魂附体,大脑被石头碰了,变的不正常。 老师伤害学生,老师自己也不知道,这样的事情是很多的。但不会故意去整一个学生,

除非他有病。

《等差数列的前 n 项和》教案
一、同学们记不记得高斯计算 1 一直加到 100 的故事? 二、你能把它推广为 1 一直加到 n 吗?跟 n 是偶数、奇数有没有关系。 三、里面隐藏着等差数列的一个什么性质? 答:第一项+倒数第一项=第二项+倒数第二项=第三项+倒数第三项=……。 你能把上述文字语言转化为符号语言吗? 你能证明吗?你能推广吗?跟我们前一节课学习的数列什么性质有关?我需要再证明 一遍吗?因为有同学反应还不明白。 答:P39 练习 5 四、推导等差数列前 n 项和公式。Sn=n(a1+an)/2 有其他形式吗? 答: a1+an=a2+an-1=……。注意 n、1、2、n-1 是下标。 还有其他不同公式吗? 进一步是死路,退一步海阔天空,换个角度看问题,Sn 是什么?有什么特点? 答:关于 n 的一元二次函数,没有常数项。反过来成立吗?既把等差数列前 n 项和看成 等差数列一个性质,性质与定义等价吗?看例 3 与探究。 五、等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的一元二次函数给我们什么启发? 例 4 数据不好,我们自己创造一道题目。 问:10、8、6、4、……,前 n 项和有最大值还是最小值?为什么? -10、-8、-6、-4、……,前 n 项和有最大值还是最小值?为什么? 你能得到什么结论?这个结论需要记忆吗? 你能有其他方法求最值吗? 答:利用前 n 项和是一元二次函数,利用一元二次函数的知识。 六、剩余时间自学教材做练习。

对《2.3 等差数列前 n 项和》例 2 的设计
同学们先自学例 2。 问:为什么题目告诉你 S10=310,S20=1220 就可以确定这个数列? 答:确定一个数列只需要两个量,比如 a1、d,所以只需要两条方程。 问求 S30 如何求? 问如果 S100=310,S200=1220,求 S300,上述办法运算量大不大?有别的方法吗? 同学们看习题 2.3B 组第二题。 你能证明吗?你能把这个结论推广吗?这个结论在我们做课外题的时候经常用到, 它是 等差数列的一个性质。 答:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列。知识要网络化。

10、同学们,大自然是很讲规律的,按规律办事,而人是乱来的
今天我们是校对等差数列这一节后面的练习与习题,我讲过要精解一题,通一大片。所 以我对书上的练习与习题进行延伸。 在这一节练习与习题中有许多应用题, 比如哈雷彗星的回归规律、 从地面到高空气温下

降的规律、甲虫爬行的距离与时间的规律、沙漠沙漠化的规律。这说明什么?等差数列在大 自然中无处不在。大自然是很讲规律的,按规律办事,而人是乱来的。你看沙漠沙漠化的规 律,大自然对人类惩罚也是惩罚的有规律不是乱来。人这个东西太坏了,总乱来。做起坏事 无所顾忌、肆无忌惮。老子在《道德经》中说:人法地,地法天,天法道,道法自然。这句 话可以简单的译为:人遵循大地(人间)的规律,大地遵循上天的规律,上天遵循道,道遵循自 然.。同学们如果还想更深入的理解请百度:人法地,地法天,天法道,道法自然。

《2.4 等比数列》学案
一、同学们知不知道有一种伟大的研究方法:类比。 你们想想看两个东西可以类比是因为这两个东西是全等呢还是相似? 答:相似,全等就不用类比了。 正因为两个东西相似, 而其中一种东西我们是清楚的了解的, 所以我们可以通过类比知 道另一种东西是什么东西。 语文中有一种修辞方法也是类比,是什么? 答:比喻,通过比喻可以把深刻难懂的道理用浅显的语言表达出来。如果同学们还想知 道类比更多的东西请百度百科:类比、类比修辞。 二、等比数列跟什么类比?类比什么东西? 答:等差数列类比。 类比:1、原型、 2、定义(文字定义、符号定义) 、 3、等(差、比)中项、 4、通项公式、 5、通项公式的推导方法、 6、换个角度看等(差、比)数列、 7、性质。 8、例题、练习、习题的类比 三、1、有什么办法使例 1 理解起来更容易? 答:把数列列出来。 2、例 3 与什么类比? 3、例 4 与什么类比?

11、数学能治疗忧郁症吗?
我不知道自己有没有信口开河,乱编故事。今天晚自修是校对单元测试卷。里面分析到 要学会逆向思维。 我说忧郁症的人就是不会逆向思维, 思考问题钻进什么了?学生回答钻进 牛角尖了。忧郁症的人也不会换个角度看问题,因为进一步是死路,退一步海阔天空,所以 要换个角度看问题,这我以前对学生说过。 我一个学生曾经想自杀,所以也想到了这个问题,我也对心理学比较感兴趣。以上说法 没有科学根据,不知正确不正确?

12、人有潜意识吗?人的潜意识会自动学习吗?
弗洛伊德全集买过来在书架上起码 5、6 年了。我们两兄弟读书得到一个经验,就是不 管历史上的伟人著作有多少, 他的主要思想不会超过几十页。 所以我专门看前面译者对弗洛 伊德思想的介绍与分析及评价。 这几十页的文章我看了又看, 然后就结合自己一生的经历去 理解与学习,用一生的时间慢慢消化。我是这样读书的。因为历史伟人太多,每个伟人的每

本书都看是不现实也是不可能的,所以主要是看了又看的伟人一生主要思想。 人有潜意识吗?我不知道。人的潜意识会自动学习吗?我也不知道。 我今天晚自修想分析数列的复习参考题,但最后几题很难,学生接受有困难,我想等到 离期末不远时再分析。你说人消化知识是不是就是潜意识自动学习呢?我就当是这样子好 了。 因为我们发现这样一个现象就是今天没懂的东西过一段时间回来再看就不可思议的理解 与解决了

13、解题的五个度:速度、深度、高度、广度、角度
这次温州中学新疆部招聘考试失败。 自己觉得笔试就不过关。 笔试的内容为解数学题 目。我的看法是笔试考老师的速度胜于深度。这两天继续思考这个问题。发现解题可以分 成五个度:速度、深度、高度、广度、角度。严格定义五个度不会。凭感觉来定义,速度 很容易理解。 高度就是举个例子有没有站在哲学高度指导解题。 深度直观理解为一题多变, 能变为多深。广度,是这道题目能让你想到多少东西。角度:一题多解就是站在不同的角 度。此上为粗浅想法,也不想认真严格定义。当老师速度无关紧要,深度、高度、广度、 角度很重要。

随笔 14
今天我们用实际例子理解了孙维刚老师的八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底。 学习等差数列要跟等比数列进行类比。要注意,类比是两事物相似不是全等。因为全等就是 一样我们就不用学了。正因为相似才类比。等差数列的通项公式是有关 n 的一元一次函数, 前 n 项和是有关 n 的一元二次函数,没有常数项。所以等差数列就跟一元一次函数、一元二 次函数联系起来。 等比数列的通项公式是有关 n 的指数型函数, 所以等比数列就跟指数函数 联系起来。浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底,是八方联系达到一种境界,美、透彻、清晰、 干净,不是杂乱无章,没规律。 今天我们还讲了数学美:对称性、简单性、统一性、奇异性。对称性我们碰到很多,比 如人的对称性, 建筑物的对称性, 圆的对称性等等。 这是大自然的规律, 表现出大自然的美。 简单性这是符合我们人类的本性, 你们去解题目就想找一个简单的方法, 去追求一个简单的 结论。有些结论不但简单而且美,比如正弦定理、余弦定理。追求统一性也是我们人类的本 性。比如多解归一、多题归一。今天数学的奇异性,我们举了两个例子,什么是数学的奇异 性就是一些结论跟我们的生活经验引起冲突,让我们觉得不可思议,从而引起美感。比如把 一张纸对折 50 次,厚度可以比地球到月球的距离还长,比如一个著名的数学历史故事,一 个国王想赏赐他的大臣, 大臣说你在国际象棋的棋盘第一个格子放一粒麦子, 第二个格子放 二粒麦子,第三个格子放 4 粒麦子,第四个格子放 8 粒麦子,依次类推,第 64 个格子放 2 的 63 次麦子,你把所有的麦子赏赐给我就可以了。我们通过计算发现,国王就算把全国所 有粮食赏给这个大臣也不够。

随笔 15
同学们,今天晚自修我们聊了很多,我把我们聊的内容记录下来,放在我博客里.我从你们 的嘴里知道三溪中学给你们的希望很渺茫,就是考上重点只有一个,三本以上也只有 40、50 几个。这也是我为什么在本学期第一节课讲孙维刚老师的原因。他创造了一个教育的神奇, 树立了一个老师不可逾越的丰碑。孙老师去世的时候,国家副总理都送去挽联。我们这些老 师死的时候大部分是学校送个花圈, 厉害一点的是区教育局送个花圈, 再厉害一点就是市教 育局送个花圈。省里给老师送花圈这样的老师就很少了。孙维刚老师讲过,德育能促进智育 的发展。我把它解释一遍。等你们迈上社会,成人之后就可以发现一个诚实的人他会承认自

己的缺点,然后向别人学习。因为指有长短,每个人即有自己的缺点也有自己的优点。而一 个不诚实的人他会竭力掩盖自己的缺点,有可能对别人的成就耿耿于怀,背后进行侮辱、诽 谤。我的意思是说,我们做一个诚实的人,不要像社会上的那些人一样。其实,同学们,成 就一点小事可以靠智,但成就大事必须靠德,也就是小事靠智,大事靠德。

随笔 16
今天我们 QQ 群里聊天,我做过调查:你们学习的原因、目的是什么?1、兴 趣。2、考大学。同学们都选择 2。从小到大,我们的学习就是充满功利性,学习 就是将来考个好大学找个好工作。这违背了学习的本质。我跟高三的同学讲过, 你们看那些小孩整天问爸爸这是什么?这是为什么?这说明什么?这说明人类天 性就是乐于求知的,学习是一件幸福快乐的事情。人对学习的兴趣是天生的。我 们现在学习没有兴趣没有幸福没有快乐,这是有环境造成的。我们无力改变环境, 但可以改变自己。如果你整天告诉自己我学习就是为了考个好大学找个好工作, 你越这样想你越考不上。如果你整天自我暗示我学习是因为学习给我带来快乐、 幸福,你越这样想反而越可以考上大学。考大学是我们对学习有兴趣,因为快乐 幸福才学习的副产品。学习的主产品是什么?是快乐幸福。我们要放弃功利性的 学习回归到学习的本来面目上去。我们要经常自我暗示自己,我学习是因为学习 能给我带来快乐与幸福。这是积极自我暗示不是消极自我暗示。整天想学习就是 考大学就是消极自我暗示。

随笔 17
我跟同学们讲过:成就一点小事可以靠一两个计谋,成就大事却必须靠一个人的道德。 简单点就是小事靠智, 大事靠德。 我也举了个例子。 俞洪敏, 新东方学校校长在北大的演讲, 同学们可以百度:俞洪敏北大演讲。在这篇演讲稿里他讲了两件事,就是我举的两个例子。 他说:有一个企业家和我讲起他大学时候的一个故事,他们班有一个同学,家庭比较富 有,每个礼拜都会带六个苹果到学校来。宿舍里的同学以为是一人一个,结果他是自己一 天吃一个。尽管苹果是他的,不给你也不能抢,但是从此同学留下一个印象,就是这个孩 子太自私。后来这个企业家做成功了事情,而那个吃苹果的同学还没有取得成功,就希望 加入到这个企业家的队伍里来。但后来大家一商量,说不能让他加盟,原因很简单,因为 在大学的时候他从来没有体现过分享精神。所以,对同学们来说在大学时代的第一个要点, 你得跟同学们分享你所拥有的东西,感情、思想、财富,哪怕是一个苹果也可以分成六瓣 大家一起吃。 (掌声)因为你要知道,这样做你将来能得到更多,你的付出永远不会是白白 付出的。 他说, 我再来讲一下我自己的故事。在北大当学生的时候,我一直比较具备为同学服 务的精神。我这个人成绩一直不怎么样,但我从小就热爱劳动,我希望通过勤奋的劳动来 引起老师和同学的的注意,所以我从小学一年级就一直打扫教室卫生。到了北大以后我养 成了一个良好的习惯,每天为宿舍打扫卫生,这一打扫就打扫了四年。所以我们宿舍从来 没排过卫生值日表。另外,我每天都拎着宿舍的水壶去给同学打水,把它当作一种体育锻 炼。大家看我打水习惯了,最后还产生这样一种情况,有的时候我忘了打水,同学就说“俞 敏洪怎么还不去打水”(笑声) 。 。但是我并不觉得打水是一件多么吃亏的事情。因为大家都 是一起同学,互相帮助是理所当然的。同学们一定认为我这件事情白做了。又过了十年, 到了九五年年底的时候新东方做到了一定规模,我希望找合作者,结果就跑到了美国和加 拿大去寻找我的那些同学,他们在大学的时候都是我生命的榜样,包括刚才讲到的王强老 师等。我为了诱惑他们回来还带了一大把美元,每天在美国非常大方地花钱,想让他们知

道在中国也能赚钱。我想大概这样就能让他们回来。后来他们回来了,但是给了我一个十 分意外的理由。他们说: “俞敏洪,我们回去是冲着你过去为我们打了四年水。(掌声)他 ” 们说: “我们知道,你有这样的一种精神,所以你有饭吃肯定不会给我们粥喝,所以让我们 一起回中国,共同干新东方吧。 ”才有了新东方的今天。 (掌声) 这些故事我对你们都讲过, 我也对你们讲了雄鹰与蜗牛的故事, 也是从这篇演讲稿里看 来的,也给你们讲了它的出处。这就是小事靠智,大事靠德的两个例子。我把它记录下来放 在老师博客里。

随笔 18
昨天月考,月考内容是数列这一章。我们要对每次考试进行分析、反思、总结。在数列 这一章中运算技巧比较强, 如果运算途径不当, 那运算量就比较大, 所以会很耗时。 我讲过, 解题就是思维的发生、发展过程,有的题目思维发生比较容易,有的题目思维发生比较难, 所以我们要分析思维为什么要这样发生。同学们在高中经常碰到拿到一个题目不知如何下 手,这说明什么?就是思维的发生很难,有时候如果思维能够发生,那发展下去却可以比较 简单。有的题目思维发生、发展比较自然,也就是自然而然的意思。有的题目发生难,发展 易。有的题目发生易,发展难。有的题目是发生难,发展也难。高考题目有个特点就是入口 宽,深入难,这是什么意思?就是思维发生比较容易,发展下去比较难。一题多变就是思维 发生发展可以超越原来题目的限制。 一题多解就是思维发生有许多方向、 发展也有许多方向。 多解归一就是思维发生发展的各种方向最后是殊途同归。 多题归一就是许多题目思维发生发 展是相同的途径。

随笔 19
同学们,我也跟你们讲过,我在追求有缘人。我这样说有点不负责任,因为教育好你们 每个人是我的职责。我也讲过,通俗一点,教书就是把你们洗脑。洗成按我的要求来学习数 学。你们都 17、18、19 岁了,有自己独立的思想,不太容易接受别人的观点。今天我向你 们道歉。我,有缘人也追,无缘人呢,把他们变成有缘人。 今天我们学习了不等关系与不等式第二节。 开篇我向你们讲授了一个数学观点, 它是属 于荷兰数学家弗赖登塔尔的,他说:“与其说是学习数学,还不如说是学习?数学化?;与其 说是学习公理系统,还不如说是学习?公理化?;与其说是学习形式体系,还不如说是学习?形 式化?。”,什么意思?我再讲一篇,我把这些放在我博客里,同学们可以去看。日本数学家 和数学教育家米山国藏指出: “学生进入社会后,几乎没有机会应用它们在初中或高中所学 到的数学知识,因而这种作为知识的数学,通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了,然而 不管从事什么业务工作, 那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法, 却长期地在他们的 生活和工作中发挥着重要作用。 ”所以学习数学,数学忘记了,但数学化不会忘记,学习公 理,公理忘记了, 但公理化不会忘记, 学习形式体系, 形式体系忘记了,但形式化不会忘记。 也就是数学化、公理化、形式化一辈子都对你产生影响。不等关系与不等式第二节,我们就 学习了公理化。把性质 1 到性质 8 当成公理,其他是推倒出来。初中我们学习不等式是 1、 零碎 2、杂乱 3、感性认识 4、不系统 5、无意识的。无意识是什么意思?我们初中解不 等式性质 1 到性质 8 都已经变成了自动化操作, 自己都没有意识到。 而高中需要什么提高就 是:1、公理化 2、系统化 3、理性认识 4、有意识的。 注:公理化相当于公理是“道”或受精卵。 “道”生一,一生二,二生三,三生万物, 相当于受精卵慢慢发育成人体。

随笔 20

今天我们校对书上的练习与习题。 经过反思得到一个经验就是我们有时不应当直接把结 果写出来,而应当保留过程。保留过程有什么好处,就是可以找到解题规律,而直接写出过 程会抹杀这种规律。这节课有 10 来分钟多,我们又聊了许多。我把我们聊的记下来,存在 博客里,同学们去看。 我说同学们打开教材,看《一元二次不等式及其解法》这一节,书上书写的乱不乱?你 们都说很乱。好,我说文理是相通的。你们在学习《红楼梦》的时候,老师会告诉你一条线 索就是以贾宝玉、林黛玉的爱情为线索,以贾宝玉与薛宝钗的爱情为线索。长篇小说是很长 的,没有线索就会显的很乱。线索就是把许多洒落在地下的珍珠,用一条线把它们串起来, 形成一条美丽的珍珠项链。那好,在《一元二次不等式及其解法》这一节中线索是什么?同 学们都回答是图象,就是一元二次函数的图象。书上代数书写一大堆,其实只要画一个图什 么都有了。 我问, 文理相通的原因是什么?同学们回答不出来。 你们知道不知道哲学?其实同学们 已经听说过哲学,因为我讲过。但我说哲学是“科学的科学” ,同学们知道是什么意思吗? 一个班同学们回答,就是在科学中追求科学;一个班回答就是在科学中找规律。回答的都很 好。 哲学的研究对象包括自然科学、 社会科学, 人文科学, 哲学以这些为研究对象寻找规律。 科学就是去寻找规律啊。说得通俗一点就是哲学以理科比如数学、物理、化学,文科比如语 文、历史、政治为研究对象,然后找出规律。所以文理相通就是最后都采取哲学思维方式。 同学们, 孙维刚老师教学有个观点就是让不聪明的同学聪明起来, 让聪明的同学更聪明。 什么意思?我们知道说这个人智商是 120,那个人智商是 121,说明什么?说明一个人的智 商是固定不可以改变的, 那孙维刚老师呢?他说人的智商是可以改变可以提高的。 我们大部 分人的智慧在大脑里沉睡,没有被唤醒,但孙维刚老师唤醒了他的学生的智慧。有的人智慧 醒过来就比较早,比如数学家高斯,他二、三岁就醒过来了。我们是醒过来比较迟。一个班 的同学说,有的人到死还没醒过来,同学们听了哈哈大笑。我也跟你们讲了高斯的故事,高 斯是文理兼通, 在他 19 岁还是 17 岁选择志向的时候他很矛盾就是去当一个数学家还是文学 家,但一件事情改变他看法就是他在 17 岁还是 19 岁解决了一个正 17 边形的问题,于是选 择数学。 我们文理不通,当我举个武侠小说主人工学武功时,同学们都说是打通任督二脉,奇经 八脉,我们是任督二脉,奇经八脉没有打通。

随笔 21
在学习 《一元二次不等式及其解法》 同学们可以看到教材的书写给人的感觉比较乱, 时, 缺少线索。昨天也提起文理相通,看《红楼梦》有线索,学数学有线索,这节课的线索是: 一元二次函数、 一元二次方程、 一元二次不等式这三者归一, 就是归一到一元二次函数图象, 只要一画图,什么都有了。孙维刚老师的,八方联系、浑然一体、漫江碧透、鱼翔浅底,我 们是又找到了一个例子。 并且我们发现八方联系的方法就是去寻找联系的线索。 这一节中联 系的线索就是一元二次函数图象。 初中也学过,高中再学,那要求有什么不同? 初中对一元二次方程、函数、不等式的认识 1、零碎 2、杂乱 3、感性认识 4、不系统 5、无意识的(形成了自动化) 6、具体 7、整体分析 8、经常从代数角度思考问题 高中对一元二次方程、函数、不等式的认识的提高 1、系统化 2、理性认识 3、有意识的(反思) 4、抽象(含字母)5、局部分析 6、 从几何角度思考问题 学习一元二次方程、函数、不等式一种重要能力需要提高:数形结合(数形结合,保证

及格)

随笔 22
同学们,当我们说一道题目是容易题、中档题、难题时,它是有一个时空的。比如是 2008 年浙江高考这张高考卷。时间是 2008 年,空间是这张高考试卷。也就是容易题、中档 题、难题相对于一个时空而言。 但说这道题是容易题、中档题、 难题, 我们理解起来很不顺。 能不能换一种说法,让我们更顺一点,更容易区分,更容易操作。我想换成这样一种说法。 但这种说法不是很严格。这种说法是什么呢?就是对于一张高考试卷,试题分成三个层次。 第一个层次相当于容易题就是不看答案也能自己做出来, 第二个层次相当于中档题就是看了 答案才能做出来。第三个层次相当于难题就是看了答案也做不出来,并且很难理解。这种说 法有许多好处,更容易区分,变的更容易操作,并且同学们可以自己来定位自己处于哪个层 次,该如何向更高层次进军。

改变学习方式从改变数学观开始
今天我跟同学们聊一些哲学、数学哲学的知识。哲学不严格讲就是就是 人类对世界系统的看法与认识。哲学包括本体论、方法论、认识论。什么意 思?不严格讲本体论是解决世界是什么的事情, 方法论是解决用什么方法改 造世界的事情。认识论简单讲就是一些认识或知识的本质、结构、规律等。 比如我讲过认识事物从感性认识到理性认识,理性认识有两个阶段,即知性 阶段与理性阶段。是什么意思?我以后再讲。同学们注意,有什么样的世界 观就有什么样的方法论。 我举个例子, 美国人与我们中国人世界观是不同的, 所以当美国人与我们中国人面对同样一个问题时, 他们解决问题的方法是不 同的。 其实同学们还没有反思自己的数学观, 也就是说同学们的数学观处于无 意识状态,我们要把无意识状态的数学观有意识的认识到,然后指导自己的 学习,因为有什么样的数学观就有什么样的学习方法。指出一点,数学成绩 的提高不是一天、两天的事情而是一年、两年、三年的事情。 不合理数学观:“数学是一堆绝对真理的总集”,“自己的头脑是贮存 知识的仓库”,“数学学习就是往自己的头脑里不断增加定理的数目,是反 复刺激的镜面反映,是自己对教师授予的知识的被动接受”,“学习数学主 要在于背诵”,“数学是一种处理数量问题的工具,是有益于生计的问题解 决的一招一式的技术”,“数学学习是各种算法和技术的机械记忆和应用” 常见学习问题:“数学解题的方法就是死记硬背公式、定理和法则,然 后直接应用”、“学习的目的就是记忆‘标准答案’” 识别类型,死套方 法,强化练习。“识别类型,死套方法,强化练习”,就是对解题步骤的机 械记忆和程式化步骤的模仿。 后果,对解题步骤的机械记忆和程式化步骤的模仿的解题方法,导致只 能解做过的类型题和难题,对没做过、没见过,或稍作一点改变的题就无法 解或错解。经验型的直观感悟上,抽象逻辑思维能力差,超越不了直观经验 和具体计算,不能上升到理性认识。对老师极大的依赖性,无创新意识与思 维探究能力。 2007 年数学教育学报上一篇文章说,数学观没有什么正确与不正确, 因为数学观随历史的发展而发展, 但数学观有合理与不合理, 先进与不先进。

合理先进的数学观: “数学知识是无法传递的,传递的只是信息”, “信 息必须被置于洞察、解释并与头脑认知结构中现有的知识发生联系的位置 (即生长点),通过新旧制知识经验的互动,才能被理解而成为自己的知 识” , “数学学习是自己自觉主动在心理上建造一个认知对象的 ‘建筑物’ , 其建筑材料,除了有关新知识的少量信息来源于外部,多数信息来源于心理 内部——已有的知识、经验、方法和观念。建造的过程除最初少量外部活动 外,主要的是内部的心理活动,是一系列思维活动的内部操作,是内部心理 上的思维创造过程”。“数学学习应该是数学理性精神的再根植”,“数学 学习是一种理性的认识过程,起决定作用的是理性因素”,“数学公理化和 形式化有助于理性思维的培养”,“学习数学就是学习公理化,形式化、数 学化,培养数学意识”。 “数学是通过对概念的分析、生成和组织,对命题的严密逻辑推理而 形成的互相联系的系统化的有机整体。 反映的是概念命题的客观逻辑结构” , “数学是用数学经验规则组成的体系, 其组织的活力依赖于各部分之间的联 系,结构决定体系的功能”。“数学是一种探索精神,是一个动态的过程, 是一个思维试验过程,是数学真理的抽象过程,”“数学是通过对简单事实 的把握,建立思维体系,通过推理得出结果,”“数学是创建并运用公理化 方法,通过严密的逻辑推理论证,把零散的数学经验规则汇集、发展,构建 成系统化的逻辑体系”,“数学是通过建构模式来刻画自然规律和社会规律 的,是一种模式的建构活动,而且模式本身就是研究的对象,是理想化量化 模式的建构与研究”,“数学对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的美 妙的定理,更重要的是它孕育成熟理性的最佳载体”。 应当如何改变:知道知识产生的过程,知道概念与概念之间的联系,知 道概念的形成过程,定理的发现过程,证明与解题的探索过程。知道知识与 知识之间的逻辑关系, 要进行类比和归纳。 知道算法更要知道算理, 要归纳、 分析、综合去理解解题思路,抓住解题实质,不要一味生搬算法,硬套公式。 完善自己的认知结构。 “数学认知结构的形成过程是自己对数学知识的逻 辑结构进行加工的心理活动过程”,“构建概念体系和命题体系是促进自己 建立完善认知结构是有效途径”,“数学学习实质上是自己的生理——心理 系统对数学知识系统的(部分)纳入”,“数学学习是注重知识内在关联中 加深理解, 把握知识的来龙去脉, 只有这样才能形成良好的数学认知结构” , “知识结构不仅是知识的固着点,也是从不同侧面认识事物的一条途径,自 己头脑积累的知识只有做到条件化、成熟化、结构化,才会有效地同化,巩 固和迁移,才能成功地解决问题”, “从已知的整体知识中掌握分化的部分, 比从已知的分化部分中掌握整体的难度要低一些”。注重对概念进行分析、 抽象、概括的生成,注重命题的逻辑推理证明,进行抽象、概括能力和逻辑 思维能力的训练。注重知识点之间的实质性联系,知道来龙去脉,知识结构 的建构方式,过程和结构图式;从知识结构的总体上把握概念、定理、公式、 方法和技巧。注重核心概念体系与命题体系的建构过程,并揭示蕴涵于核心 概念的概念体系、命题体系深层的数学思想方法。解题的重点放在如何分析 题意寻找解题思想、思路和方法上,放在具体问题具体分析的解题方法的引 导上。注重演绎推理能力的训练。有活力的条件化、结构化的数学知识、概 念体系和命题体系,蕴涵于表层知识之中的数学思想方法,具有起固定作用 的核心数学观念的数学认知结构,这种认知结构具有较高的信息解读能力,

抽象、概括、类比、归纳、逻辑推理、论证等理性思维能力和思维探究能力。 意义学习的学习方法,从总体上记忆、理解和把握数学知识的逻辑结构的方 法、具体问题具体分析的解题方法。主干知识突出,既包括理论知识,又包 括经验知识和数学前提性知识,脉络简明的“认知地图”。较强的数学语言 表达与转换能力,不孤立地看问题,努力寻求综合地看待事物的的习惯。学 习的有用功率高,不打疲劳战。 改编自:《课程·教材·教法》2008 年 2 期. <<几种数学观下的数学教 学>>

随笔 23
在二元一次不等式〔组〕及线性规划这一节中其实我们可以告诉学生学习方法 的。解线性规划应用题,大部分是多题归一。只要精解一题就可以通一大片。但 同学们不合理的学习方法是什么?同学们一般以为这道题不懂于是去解另外一道 题,以为另外一道题懂了,这道题也懂了。但事实上怎样呢?事实上两道题都做 得似懂非懂、似会非会,谈不上似通非通。也就是不懂得地方反而越来越多,所 以对于多题归一的题目,学习方法就是精解一题,通一大片,不是去做大量相似 的题目。线性规划题一般按题目的层次来说是看了答案就能做出来的题目, 实际 上多同学是没有答案也能做出来。

随笔 24
这件事是几星期前的事了,今天突然想起来,所以记下来,给同学们看,希 望同学们有所启发。 几星期前,高三月考模拟考,我监考。我给高三的同学讲了个故事。我说, 你们不要偷看,到高三偷看已经没意思了。前面有一届也是高三考试,一个同学 偷看, 把人家的名字也抄在了自己的试卷上, 这是真实发生在我们三溪中学的事。 这说明什么?这说明这个同学已经是看破红尘,对考试大彻大悟,他已经是懒得 偷看,偷看的劲头都没有,随便拿张试卷抄一下,交上去算有个交待。这位同学 考试的境界是很高的,一般同学学不来,也无法达到他的境界。学校里,高三月 考模拟考偷看一点意思也没有。如果真正的高考,偷看过来算你们有本事。当我 说高考在我国还算公平的, 同学们有点不相信。但事实上高考在我国就是比较公 平。我们知道我们国家社会不是很公平,但矮个子里挑高个子,高考是矮个子里 挑高个子,这个高个子还是还是比较高的。为什么?如果高考不公平,人民早就 造反了。可人民没有造反,社会也没有因为高考而动乱,说明老百姓是接受高考 这种竞争方式的,高考这种竞争方式还是比较公平的。我监过高考,如果你们高 考是我监考,我当然希望你们偷看,而我假装没看见。我也当然希望我可以在考 场直接告诉你们答案。同学们,但我不敢,凭感情,我心里向着你们,但行动上 不能帮你们。为什么?你们偷看,我不抓你们,其他旁边学校的同学会告我,说 我故意玩忽职守,我要丢饭碗。我直接给你们答案,旁边其他学校的同学也会告 我,说我作弊,我也会丢饭碗。况且遇到自己的老师监考,很难遇到,不可遇、 不可求。

其实那个时候,我还想说下面的话,但因为是考试,所以就停下来了。 在西方比如欧美这些国家,它在制定法律的时候,就是假定人是坏的,人 是自私的,人人是为己的。就像刚才老师在高考时想告诉自己的学生答案,学生 偷看假装没看见。你们考试好了,我才风光。所以外国在制定法律的时候,它更 多的规定你不能干什么, 而不是规定你能干什么。外国人对人这个东西是不放心 的,人只要有机会就使坏。我们国家东方文化是人之初,性本善。而我国高考制 度是很完善的。考试中间一个同学问我,说试卷不清楚,如果是真实的高考,我 是不能单独向他解释的,我必须向考场里的所有考生一起、一同解释,要不如果 一个同学举报我,说我告诉了那个同学答案,我是跳进黄河也洗不清罪名。所以 考试制度规定, 监考人员不能单独向一个考生解释疑惑, 而应当向全体考生一起、 一同解释。 所以你们还是平时好好学习吧, 不要心存侥幸, 高考的时候偷看一下, 虽然高考确实有发生偷看的现象,但几个别,不是普遍现象。

随笔 25
我们与孙维刚老师的 学生相比差了什么?孙老师的学生是从小学毕业之后上来的,这 一阶段,人是还没有定型的很牢固,可塑性很强。所以孙老师可以让他们树立起远大理想。 我们三溪中学的同学是中考之后上来, 中间经历了一次中考, 并且中考成绩在一个区或县是 属于第三阶梯。第一阶梯是瓯海中学,第二阶梯是任岩松中学。而高中生比起初中生可塑性 又差一大截, 所以我让你们树立远大理想很难让你们做到。 但同学们自己要清楚是怎么回事。 人没有远大理想那就会干劲不足,得过且过。 我说解题是思维的发生发展过程, 同学们反应思维的发生发展很难不太容易想到, 就是 通俗点技巧性很高,或则创造性很强。我们该怎么办?今天上立体几何第一节,我引用了恩 格斯的一句话:“数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的一门学科”。并且说,人类对 数学本质的认识随着人类社会的发展而发展, 认识会一步步加深。 如果有谁说出数学的本质, 那这个人就是一个不平凡的人。 一个高中老师不太可能做到。 高中老师去做的事情也就是去 理解而不是创造。我还举了个例子一个北大的数学博士生导师说自己也只是个理解数学的 人,学习数学就像登山在山脚下或登上半山腰的很多,但到达上顶的古往今来是没几个。人 的创造性是有差别的,对于一些创造性强的人我们不必怨自己无能,我们先去理解这些人, 理解别人也是一种学习策略。对于一个比我们强的人,我们可以先了解,再理解,再超越。 今天我们讲三视图,三视图可是大有文章可做。 人类认识事物有这样的规律。 一.感觉阶段 感觉是事物直接作用于感觉器官时对事物的个别属性的反映。 二.知觉阶段 这是对直接作用于感觉器官的对象和现象的各种不同属性和部分的总和所发生的反映。 感觉是知觉的基础。 三.表象阶段 表象是当前没有作用于感觉器官的对象和现象在头脑中产生映象。 表象是对过去的知觉 进行加工和概括的结果。 以上三个阶段总称感性认识阶段。 感性认识是认识的初级阶段, 是人们对事物的各个片 面、现象和外部联系的反映。感性认识包括密切相联、依次发展的三种形式:感觉、知觉、 表象。它的特点是直接性和形象性,是经验的。

我举个例子, 今天我们同学反映就是一个圈围绕着一条直线旋转形成一个轮胎, 同学们 想象不出来, 因为现场没有轮胎。 这说明什么?同学们对空间想象能力的认识还超不出表象 阶段。我们有感觉阶段、有知觉阶段,但上升不了表象阶段。 以下阶段称为理性认识阶段,分为两个子阶段。 知性思维阶段,理性思维认识阶段。什么意思?我举个例子。 就是瞎子摸象的例子,但略有改变。我们人类认识事物时我们就相当于一个瞎子,因为 眼睛是没用的。比如研究分子、原子、电子,这些微观事物,或遥远的星系这些宏观事物。 同学们可能会说有显微镜、望远镜啊,说的难听点这些是近视眼,并且近视的度数很高,大 概有近视 1000 度。我们人类认识事物相当于一群瞎子在认识一头大象。而一头大象生活在 一定的时空中,从出生到死亡,我们是选一个时空的一个片段,比如三岁时的大象,是静止 的, 但实际上大象在时空中从出生到死亡一直在变化。 刚开始认识时, 会说这个事物好高啊, 好大啊、怎么推也推不到,好重啊。这些是感性认识,是经验。积累了许多感性认识就是经 验。于是四个瞎子分别研究大象的四只脚,一个瞎子研究尾巴,一个瞎子研究头,等等。也 就是把一头大象分成许多部分进行研究,这就是知性认识,但知性认识是事物的局部认识。 它得到的是脚怎样的性质,尾巴怎样的性质、头怎样的性质,这是一到多的认识,也就是把 一个整体分成许多部分。我们得到的是许多局部认识。这些是知性阶段。最后我们把对局部 的分析进行综合就可以得到事物的整体认识, 这是多到一。 也就是把许多局部或部分综合起 来得到整体。得到大象是什么。知性是得到脚是什么,尾巴是什么,头是什么。并且知性认 识是认识事物在时空中一个时刻的一个部分认识。 合起来就是理性认识。 这就是理性思维阶 段。

这些跟三视图有什么关系。 对于一个事物说的简单点就是从六个方向进行认 识,上下、左右、前后。也就是把事物分解成六个部分,对每个部分进行认识, 这像知性认识。 要注意三视图的前提是我们已经越过了感性认识阶段。要对事物 进行知性认识了。但高中又降低要求,不从六方向从三个方向进行认识。同学们 看书, 从哪三个方向认识?我们能不能达到理性认识,就是把三视图还原成一个 物体。 中心投影、平行投影不改变什么?不改变平行性,线段比。 大小关系,侧视图和正视图高度一样,俯视图与正视图长度一样,侧视图与 俯视图宽度一样。 通用技术课,讲劳动技能比如维修汽车的零件。
百度知道: 我现在在学机戒制图,但是觉得迷茫,不知道现在学的有什么用,我现在学的那 些螺丝等等什么的要不要记啊? 首先我要告诉你学机械制图是很有用处的, 除非你不做机械行业. 学这个不紧要把一些 国际标准记住,再就是还要多练习哦,就是要在电脑上进行制图练习哦.就拿我学的汽车来 说,学机械制图看上去没有什么用,但只要从事汽车设计,或者是汽车维修还是有用的,最 少能看懂零件图啊,通过三视图就知道了这零件长什么样了啊,也就知道怎么维修了啊.如 果你厉害点那也就只了怎样设计零件了哦. 怎么会说没有用呢?只不过是刚学的时候由于理 论多,比较容易混淆而已,没事的,那理论巩固了,再多练习哦 朋友,多学东西还是有用的哦!书到用时方恨少!

随笔 26
对道法自然的歪解在数学中的应用 首先,我要说明我对《道德经》中的人法地,地法天,天法道,道法自然理解的不深刻。 到了我这个年纪也该知道有些书要用一生的心血、精力去读。 《道德经》是活到老要读到老。

我对学生解释过,道法自然中的自然不是大自然的意思,是自然而然的意思。道是非常的自 然而然的。我的理解来源于干国详老师在教育在线上的博客。 在必修 2 空间几何体的结构第一节,就是棱柱、棱锥、棱台;圆柱、圆锥、圆台、圆 这一节中,我是让学生自学,而我列出自学提纲与线索。再问棱柱、棱锥、棱台;圆柱、圆 锥、 圆台、 圆的定义有什么感受没有?我说就是道法自然的感受。 他们的定义是非常的自然、 通顺,绝不别扭。但有许多学生体会不到。需要注意这类学生。也就是对数学的悟性、鉴赏 能力有待提高。道法自然有时候告诉我们当我们解题时如果觉得不自然,不通顺、很别扭, 那我们就要回头了。 再这一节,我发现我们以前的教材是违背人的认识规律的。当我幻灯片打出:我们认识 空间是先认识几何体呢还是先认识点、线、面这些概念?按我们人类的认识规律同学们说 说看。 两个班的学生都回答是先认识点、线、面的。我说当你们还小的时候,大人拿一个积木 问你,大人总会告诉你这是正方体,那是长方体。他不会说,儿子,这是点,那是线,这是 面。学生听了哈哈大笑。

随笔 27
今天晚自修, 我跟学生聊起了河南省素质教育示范性高中之一的南阳市西峡县第一高中 孩子一天读书 18 小时,读到自杀的事情,我说一个同学嘛是课堂上猝死,一个同学嘛是跳 楼自杀。学生听了都很震惊,问我会不会也让他们一天读书 18 个小时。我说不会,但我反 问,我说你们父母有两种选择,选择 1,让你们在三溪中学读书,选择 2,让你们在西峡县 第一高中读书, 你们的父母会选择哪个学校?同学们都回答是会让自己在西峡县第一高中读 书。我说啊,你们的父母会这么想,反正我儿子是不会死的,我女儿也是不会死的,难道会 这么凑巧,考上好大学才是最重要的。死的不会是我儿子、女儿。学生反映吗?是停顿了一 下。

28、学孙维刚老师半学期有感
我是这个学期 2009 年年初才知道孙老师的事迹的。 知道后对瓯海教育局发了一顿牢骚, 说孙老师感动了全国人民却感动不了瓯海人民, 本来是想说感动不了瓯海政府的。 但话语太 激烈,所以改成瓯海人民了。当我第一次发现孙老师时,我是欣喜若狂,说句吹牛的话,我 与孙老师有几分相似,可以成为忘年交,如果孙老师还在世。我对学生讲过,孙老师无所不 通,外语、数学、物理、政治、历史、文学都有研究。老师我是对数学、物理、政治、历史、 文学很感兴趣,就是英语不行。学生听了哈哈大笑。我说我想把各个学科糅合在一起。 但我发现我成不了孙老师第二,人品不行。孙老师是个圣人,我是个好人。我一直在想 朱永新老师提出过一种幸福完整的教育生活不知对孙老师的这种教育生活赞同不?铁皮鼓 老师就写过一篇让我印象非常深刻的文章:谁在中国算是好老师?--从十杰教师到超级教师。我 想铁皮鼓老师是否也赞同孙老师的教育生活?这篇文章百度题目就可以。 我从网络上知道孙 老师的儿子也上了北大, 我其实心理有个想法, 就是想知道孙老师的儿子对他父亲是如何评 价的,这很重要。我假定是孙老师的儿子,我的感觉就是这种感觉不知如何说。作为一个拥 有伟大父亲的儿子当然希望父亲不是 62 岁就去世。好父亲要活到天长地久啊,不负责任的 父亲,子女各有各的看法。但我从孙老师的事迹中明白一个道理,虽然孙老师英年早逝,但 父亲做好事就是给子女积福德,人民公仆的儿子,人民一定会好好对待他。我为什么会想到 这点?就是我对自己活着不活着无所谓,现在成了家有了儿子,儿子也一周岁多了,也产生 一些新的想法。我对金钱的追求不太热烈,我对权利的追求也几乎没有。我对学生讲过,我 的梦想就是成为一个学者,学生不懂什么是学者,我说就是研究学问的。当我成年时,我发

现自己成不了学者。我说老师就算是个知识分子,我们这些老师也是个小知识分子,还有中 知识分子,大知识分子。学生说,那我们算什么?我说你们还在学习阶段。我对佛教比较痴 迷,我打算《道德经》《金刚经》用一生的心血、精力去读。世界空空如也,我做什么?我 、 的想法就是尽量做些好事,也就是为儿子积点福德。人生没什么追求。我跟我兄弟讲过,佛 教告诉我们人遇到挫折就要多做好事,这不是迷信。如果是迷信,我可以科学解释给你看。 一个人一辈子做好事,不成功才奇怪呢,成功是很正常的。这就是佛教的积极意义。我兄弟 在我的影响下也想看佛教的书。 我一直猜想孙老师会不会有这种想法?就是父亲行善就是对 子女积德。我不知道,但我是通过他的事迹有这个感触的。这辈子不会赚钱,也不会当官, 就做点好事为自己的儿子积点福德吧。

随笔 29
今天还是继续写教学随笔, 一个班听进去, 一个班没听进去。 我说你们班有点不思进取。 学生也是会心一笑。华罗庚说过读书由薄到厚再由厚到薄。我按照自己的意思理解,我说当 你拿到数学书,你开始学习,因为一些东西要理解要加进去一些东西,也就是你开始要懂与 会,这个时候书是越读越厚。什么时候书越读越薄,就是你对书的认识达到通与创的境界这 个时候书是越读越薄,如果你停留在懂、会境界那书就是越读越厚。所以评价自己达到哪个 境界就是自测一下这本数学必修 5 你是读的越来越厚呢还是越来越薄。一个班是回答读的 越来越厚,我说那你们还只是达到懂、会的境界,不是通与创的境界。我写这些东西时有气 无力,可我在课堂讲时声如洪钟。因为一个班说,老师,我一点感觉也没有。 我继续有气无力的把下面的话写完,我说高考最后一、二个星期有个复习方法,就是不 去做新的题目,如果继续做新的题目遇到新的问题会影响心情,添增压力,徒增烦恼,得不 偿失。那做什么?就是回忆你三年来学习的过程,放电影一样再放一遍。不过爱学习的学生 是听进去了。我知道。真的。后天期中考,我今天晚自修把复习提纲与复习线索给你们,你 们像放电影一样再放一遍,不必做新题目了。也是一个班听进去,一个班麻木。

30、同学们,数学上的名词不会无缘无故出的
今天我们学习了直线的一般式,为什么取一般式这个名词。原因是点斜式、斜截式、两 点式、截距式都可以化为这种一般式。点斜式、斜截式、两点式、截距式是一般式的特殊情 况。一般的反义词是特殊。我也举了个例子,就是我为我儿子取名。我不会无缘无故的为我 儿子取个名。我儿子叫张逸辰。 “逸”是飘逸、安逸、逃逸、隐士的意思。 “辰”是日月星辰 中的辰,是日子的意思。就是过一种飘逸、安逸、逃逸、隐士的日子的意思。你们的父母也 不会无缘无故给你取个名。每个人的名字都有深刻含义

31、 一个复杂题目往往由简单题目综合而成的一个例子
我以前讲过一个复杂题目往往由简单题目综合而成, 但课堂上有没有完全的一个展示例 子。我今天就举一个例子。

例: 已知矩形 ABCD 中, A(-4,4),D(5,7),中心 E 在第一象限且与 y 轴的距离为 1 个单位, 动点 P(x,y)沿矩形一边 BC 运动,求 y/x 的取值范围。
8

6

D(5,7)

A(-4,4) B
-10 -5

4

E P(x,y)
1
5

C

2

O
-2

10

-4

-6

-8

我把这道题目分解成四道小题目: ①: 已知矩形 ABCD 中, A(-4,4),D(5,7),中心 E 在第一象限且与 y 轴的距离为 1 个单位, 求 B、C 点的坐标。 说明:这样类似的题目我们做过。容易求得 B(-3,1),C(6,4)。 ②已知点 B(-3,1),C(6,4),动点 P(x,y)沿矩形一边 BC 运动,求直线 OP 倾斜角范围。 说明:这样类似的题目我们做过。 ③求直线 OP 斜率范围。 说明:这样类似的题目我们做过。 ④求 y/x 的取值范围。 由 y/x=(y-0)/(x-0), 易知就是求直线 OP 斜率范围的另一种说法。 我以后还会举出更多例子。

32、同学们,万物皆通的
其实我自己也达不到这种境界,只能努力要用一生的时间去体会。今天我进教室就说 我们这节课干什么?就是吃饱了饭先消化一下, 不讲新内容。 我的意思是什么呢?就是一些 生理规律与学习规律是相通的。 这也是万物皆通的一个例子。 我说这些题目你们做的是不是 像刚学会骑自行车一样踉踉跄跄,摇摇晃晃呢还是可以放开两手驾轻就熟?什么是懂、会、 通、创?懂、会就是去学骑自行车,慢慢学得驾车技巧,可以骑稳了,刚开始时骑的踉踉跄 跄,摇摇晃晃。骑多了,就可以放开双手驾轻就熟,这个时候就达到通的境界。什么是创? 就是当骑自行车可以放开双手驾轻就熟, 那学摩托车就容易的多。 从骑自行车到开摩托车就 是个飞跃,这就是创。我说这些题目你们做的是不是像刚学会骑自行车一样踉踉跄跄,摇摇 晃晃呢还是可以放开两手驾轻就熟?你们不回答, 我说你们是不是不喜欢听这些东西, 你们 又说喜欢,没有不喜欢这些东西。我也搞不懂你们。 我也讲过我为什么要告诉你们这些道理。就是什么是教育?当你们将来大学毕业迈入 社会参加工作,什么直线的点斜式、两点式、截距式没过多久就忘记了,但剩下来的东西就 是教育。我希望这些东西在你们将来迈入社会参加工作之后还可以剩下来,没忘记。 你看,学自行车、摩托车又跟学习中的规律懂、会、通、创有相通之处,这也是万物

皆通的另一个例子。

33、同学们,课本上的练习、习题、复习参考题没做完 就不要做课外的题目
我为什么说这句话, 原因是根据温州市数学教研员叶事一老师在全温州高中数学老师高 三高考分析会上的讲话。时间、地点都忘记了,只记得他的话。 他参加过浙江省会考试卷命题工作。 老师在命会考试卷的时候, 只带几本书: 教材、 《会 考标准》 、不知道有没有《会考复习导引》 ,再就是命题老师自己提供几道题目吧。没带其他 的书店里琳琅满目的眼花缭乱的习题书。所以会考题目有个源头就是教材、 《会考标准》 。课 本是源,题目是流。 我不知道高考的题目是怎么命出来的。但肯定比会考更严格。说不定也像会考一样,只 带教材、 《高考大纲》 。所以教材是高考题目的源头是。课本是源,题目是流。一些高考题目 就是由教材上的题目通过变一变,加工一下就成了高考试题。 如果我们知道高考试题是怎样命题出来的, 这对我们平时如何学习有很大的帮助。 我会 一直注意这方面的情况。但我们至少已经得到一条学习经验,就是课本上的练习、习题、复 习参考题没做完就不要做课外的题目。

34、精解一题,通一大片就是一花一世界,一树一菩 提
对于信佛的人来说,当他大彻大悟,了达这个世界的时候,他就能从一朵花悟出整个世 界。菩提意思是觉悟、智慧,用以指人忽如睡醒,豁然开悟,突入彻悟途径,顿悟真 理,达到超凡脱俗的境界。所以一花、一树对于一个大彻大悟的人来说都能了达整个 世界。 而我们如果通过一道题能够了达整个高中数学, 那真乃一件幸福完美的事情耶。 所以精 解一题,通一大片的最高境界就是能够达到一花一世界,一树一菩提的地步。

35、今天晚自修有感
今天晚自修刚好是学生民主测评老师。我都在。第一节在高一(2)班。学生测评后交 上来,我看了一下。发现自己教学很失败。为什么这么说?因为我以为学生会很喜欢我这一 套,但发现不是。我思考了一下原因,发现在高中教书要想混混实在太容易了,就是把符合 学生认知水平的试题挑选出来,讲了练,练了讲,学生喜欢,老师也轻松。你不需要懂什么 教育学、心理学、哲学、教数学的可以不懂物理,教物理的可以不懂数学,教理科的可以不 懂文科,教文科的可以不懂理科,并且数学也可以不用很懂。我们学校的学生大部分停留在 懂、会这个境界。我问过我教的两个班,你们有没有尝过“通”的感觉。 “通”是什么?就 是你大脑中有许多东西,很乱很乱,杂乱无章,突然某一时刻,它变的有秩序起来,给人一 种深刻的情感体验。 当大脑中无序的东西突然变的有秩序的时候, 你就像把那些交错杂乱的 电线梳理出来,一条条接上,最后灯泡亮了。两个班都回答,没有“通”的感觉。符合我们 学校认知水平的试题就是懂、会层次的题目。把这些试题挑选出来进行重复训练,成绩就可 能提高。教书想混混太容易了。我向学生讲过,我们与温州中学学生比,差距在哪里?我说 我告诉你们你们不要说我不好,就是他们解题境界比我们高,他们可以达到“通”“创” 、 。 我说我写文章经常有“通”的感觉,就是我大脑里存了许多东西,但很乱、很杂,突然某一 天通了,也就是无序中突然变的很有秩序,于是我就可以写出来了。但我的学生都没有通的

感觉。有的学生已经反感我提孙维刚老师,有的学生已经反感我总进行哲学的抽象总结。孙 维刚老师说要站在哲学高度看数学,但学生不喜欢。我做过调查,我问你们是不是只想考个 大学,毕业之后再也不读书,学生都回答是的。读书对他们来说是根本没有吸引力的,只想 早点结束这个煎熬。 我在高一(1)班的时候对学生讲,当老师的有四个层次。第一层次:老师苦,学生苦, 但成绩还是不好,这种老师失败。第二层次:老师苦,学生苦,但成绩优秀,我说就是我跟 你们讲的一天学习 18 个小时学出人命的河南西峡一高,你们又不想这样。第三层次:老师 苦,学生轻松,但成绩很优秀,这种老师就是孙维刚老师,把自己教牺牲了。第四层次:老 师轻松,学生也轻松,但成绩也很好,这样的老师我说还没有。其中一个同学提出来,还有 一个层次, 就是老师轻松, 学生也轻松,但成绩不好。 其中一个同学回答, 这谁也可以做到。 我说我自己很贪得无厌,想找一种自己轻松,学生也轻松,但成绩又好的办法。我开玩 笑的说,世界是懒人创造的。有人觉得走路太累发明了自行车,又觉得骑自行车太慢,发明 了汽车,嫌汽车也太慢就发明了飞机。我这个人是经不起体力劳动的人,所以这次学生民主 测评对我有什么启发就是挑选符合学生认知水平的试题也就是挑选懂、 会境界的题目多做多 练多校对些多分析一些。自己苦是没办法了,谁叫自己没本事。做到孙维刚老师的做法,但 发扬题海战术的策略。 但问题是什么?就是你可以把孙维刚老师的那一套抛开, 只吸取题海 战术的合理价值就可以做到应付自如, 我跟学生讲的所有东西统统可以不讲, 只须挑选符合 学生认知水平就是懂、会的题目练了再练,分析了再分析就可以,但这样教书又有什么意思 呢?星期六、晚自修加班加点,我厌恶这种教育生活。我的同事是每个礼拜印一张符合学生 认知水平的试卷就是懂、会的题目,星期 5 晚自修考试,星期 6 分析校对。我是被逼的没办 法,星期 6 发下来,星期 1 晚自修给他们答案。我不想过这种教育生活,但也没办法要过。 高考制度不改,师生永无宁日。

36、只有具体运算熟练了,通了才能上升到抽象运算
我以前举了具体运算的例子, 就是当直线方程里面的系数、 常数是数字时, 比如求交点、 判断平行等。抽象运算就是当数字变成字母时,往往涉及到分类讨论。今天学生问我一道题 目,刚好可以说明只有具体运算熟练了,通了才能上升到抽象运算。 题目如下:已知直线 l 的方程为 f ( x, y) ? 0, P ( x1 , y1 )、P2 ( x2 , y 2 ) 分别是直线 l 上和 1 直线 l 外一点,则方程 f ( x, y) ? f ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y2 ) ? 0 表示( (A) 与 l 重合的直线 (B) 过点 P 与 l 垂直的直线 1 (C) 过点 P 2 与 l 平行的直线 (D) 不过点 P 2 与 l 平行的直线 这种题目就是对直线方程具体运算非常熟练,通了才能上升到抽象运算,但在分析时, 可以让 f ( x, y) ? x ? y , P (1,?1), P2 (1,1) 用最简单、具体的例子来解题。但解出来不是目 1 的,目的是想培养学生的抽象思维能力。如果学生可以不套用具体、简单例子也能抽象解答 出来就最好了。但只有我用套用简单、具体例子学生才理解起来轻松。所以,我明天试试, 当我们从这道题目得出什么心得,就是只有具体运算熟练了,通了才能上升到抽象运算,你 )

们喜不喜欢听?因为一些学生已经反感这些东西。 从这道题可以得出一个解题经验:可以把抽象运算转化为具体运算

37、我们数学成绩不好的一个原因
今天我是第三次讲到只有具体运算 (例子: 数字直线) 熟练通了才能上升到抽象运算 (例 子:字母直线) 。可以把抽象运算转化为具体运算。但我们发现一个问题就是抽象运算不熟 练也不会。这说明什么?按照人的认识规律,从具体运算上升到抽象运算要经历一段时间, 我们有时间吗?我们一个学期要学的数学书就有两本。 我们是吃饱了饭, 还没消化又要逼你 们吃饭,能吃的下去吗?我们讲过,解题与四层境界:懂、会、通、创。根据认识规律只有 我们对旧知识通了才能学习新知识,但我们是懂、会还不熟练就学习新知识了。我们有时间 达到通的境界吗?没有,根本就没有时间。 我知道有许多同学很“恨”我,这个“恨”加引号。为什么?因为我指出了你们学习的 症结所在,去没有给你们治疗这种症结的药。同学们,我有给你们治疗学习症结的“药” , 我把这些“药”写成教学随笔的形式,在我博客里,我也把这些随笔复印起来发给你们了。 但我们要注意一点,成绩的提高不是一天、两天的事情,是一年、二年、三年的事情。 孙维刚老师都用了六年呢。我又说孙维刚老师,希望同学们不要烦孙老师,可以烦我。

38、同学们,美就是简单的,简单就是美的
今天我们学习圆的标准方程, 知道当圆心在原点时, 方程的形式要比圆心在任意点简单 漂亮。为什么?其实这里有个原则,就是美就是简单的,简单就是美的。而圆心在原点的圆 体现出对称美,关于 x 轴、y 轴、原点对称,所以导致它的形式比较简单漂亮。

39、听我再讲一遍,还不如自己做一遍
当我说这句话的时候,你们也觉得我说的对,并且我也解释了原因。就是你去学游泳, 教练就算讲的天花乱坠,头头是道,你也心领神会,但如果你不下水练,你还是会淹死。可 你们就是不做, 拿你们没办法。 今天检查, 作业做了没有, 大部分人没做。 真是 I 服了 You。

40、高考不但考结果更考过程
我跟你们讲了,解题就是思维的发生、发展过程。有的题思维容易发生、发展。有的题 思维很难发生、发展。有的发生易发展难,有的发展易发生难。不同题目有不同情况。同学 们问我要怎样思维才会发生、发展容易。我的回答只能慢慢来。 今天我们类比一下,学习就是什么?如果说的不严格,学习就是欣赏知识的发生、发展 的过程及结果。也可以说学习是对知识的发生、发展过程及结果进行审美。我们要欣赏、审 美知识的来龙去脉。 所以高考考什么?高考即考结果更考过程。 注意这里的知识是广义的知 识,不是狭隘的知识,包括概念、定理、性质、思想方法。 我上课讲过一个例子,我们判断一个二元二次方程是不是圆,圆心、半径是多少?你可 以带公式,公式是结果。但学习负担加重,你也可以配方。配方就是把圆的一般方程化为标 准方程过程中用到一个数学技巧。 而同学们从初中继承下来的学习方法就是带公式,考结果,不习惯过程的丰富多彩,以 为过程是枯燥乏味,于是不重视。

41、同学们,数学知识越多反而越好,记忆越深刻,理解更 透彻

对于一个高中生,面临一个学习难题,就是要学的东西实在太多。课业负担很重。有的 同学开始害怕放弃,对学习存在极大恐惧。 可我要说的是什么?就是数学知识越多反而越好,记忆越深刻,理解更透彻。为什么? 我这里又要提起孙维刚老师。孙老师提出的八方联系观点,如果数学学习能做到八方联系, 那真的就是数学知识越多反而越好,记忆越深刻,理解更透彻。 我举个例子。今天我问:



?x

圆C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ,圆C2 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0,
2

? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? ? x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 表示什么?

? ?

?

我 提 醒 我 们 以 前 学 过 有 关 直 线 也 有 这 种 情 况 , 即

l1 : x ? y ? 1 ? 0, l 2 : x ? y ? 1 ? 0 , ( x ? y ? 1) ? ? ( x ? y ? 1) ? 0 表示过直 那
线

?x

l1 ,l 2
2

交 点 的 直 线 束 , 我 们 分 析 了 好 几 遍 。 所 以

? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? ? x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 表示过圆 C1 ,C2

? ?

?

两个交点的圆束。这里我们有个方法就是类比,所以类比是八方联系的一个重要手段。 我问这样联系是脑子越来越糊涂呢还是越来越清晰?你们说越来越清晰, 所以这就证明 了我说的观点,数学知识越多反而越好,记忆越深刻,理解更透彻。并且我们还跟学习英语 进行类比,既我跟你们讲过,有些人学习英语,单词越多反而越容易记住,这跟学习数学一 样的,他能找到单词与单词之间的规律与联系。但学习英语我无法做到,我只是知道。

42、学习孙维刚老师有感(二)
我从两个方面把自己与孙老师进行比照,才气与师德。论才气,我教书已经 10 年,从 23 岁开始教书,到现今 33 岁,如果教到退休大概还有 27 年好教,所以在才气上如果我继 续娇痴学习,我吹点牛啊,我可以达到,达不到的是像孙老师一样的师德。 我把道德分成四个层次:第一层次,不道德;第二层次,亚道德,就像亚健康,到医院 里查不出病,但就是浑身感到不舒服;第三层次,底线道德;第四层次,高尚道德。也可以 再第三层次与第四层次加入一个层次,即第 3.5 层次,亚高尚道德。 孙老师所具备的是高尚道德,是圣人。我所具备的最多是亚高尚道德,有时还没有,但 底线道德是坚持的。我只是个好人。 2007 年 09 月 09 日中共中央政治局常委、国务院总理温家宝专程来到北京师范大学, 看望刚刚入学的免费师范生,在英东学术会堂,与几百名学生和老师进行座谈。他说:“外 : 面的世界五光十色,诱惑确实很大。但同学们必须要坚守心里的道德底线,必须有正确的 人生观、世界观,把自己的一切献给社会、献给人民、献给祖国。 ”新闻标题就是:温家宝 勉励师范生:坚守道德底线抵制诱惑。百度新闻标题就可以找到新闻。 这说明什么?说明连中央都知道一个人能坚持底线道德就已经不容易, 何况要坚持高尚 道德。所以中央也不要求老师个个具有高尚道德。 有两种老师,一种老师是用情教书,一种老师是用聪明教书。真正的全国教育大师是这 两种老师的完美结合。我很佩服李镇西老师,他在用情,用聪明教书。真正的全国教育大师 无不具有高尚的师德(道德) 。从我身边所认识的人及我的人生经历,我发现有李镇西老师 的聪明与才气的很多,但就是没有李镇西老师对教育的情。 这些人包括我注定是不能成为一位教育大师的。 我为什么要这样自我反省。 我也有过这

样的经历,就是不佩服一些人。但到我这个年龄也该知道自己的短处,学会佩服一些人。我 们与这些全国教育大师的距离就是师德跟不上, 对于我们来说做到坚持底线道德就已经不容 易。 我一直拿自己与孙老师比, 我跟他的差距在哪里?今天我知道了, 其实在我学习孙老师 不久后就知道了。 我还遇到这样的一个读书现象,就是有些教育著作如果没有高尚的师德(道德)是看不 懂的,只有高尚的师德(道德)才能看的懂,这就应正了孙老师的一个教育观点:德育能促 进智育的发展。只有德高尚了,有些教育著作才能看的懂,师德不高尚是看不懂的。

学孙维刚老师半学期有感
我是这个学期 2009 年年初才知道孙老师的事迹的。 知道后对瓯海教育局发了一顿牢骚, 说孙老师感动了全国人民却感动不了瓯海人民, 本来是想说感动不了瓯海政府的。 但话语太 激烈,所以改成瓯海人民了。当我第一次发现孙老师时,我是欣喜若狂,说句吹牛的话,我 与孙老师有几分相似,可以成为忘年交,如果孙老师还在世。我对学生讲过,孙老师无所不 通,外语、数学、物理、政治、历史、文学都有研究。老师我是对数学、物理、政治、历史、 文学很感兴趣,就是英语不行。学生听了哈哈大笑。我说我想把各个学科糅合在一起。 但我发现我成不了孙老师第二,人品不行。孙老师是个圣人,我是个好人。我一直在想 朱永新老师提出过一种幸福完整的教育生活不知对孙老师的这种教育生活赞同不?铁皮鼓 老师就写过一篇让我印象非常深刻的文章:谁在中国算是好老师?--从十杰教师到超级教师。我 想铁皮鼓老师是否也赞同孙老师的教育生活?这篇文章百度题目就可以。 我从网络上知道孙 老师的儿子也上了北大, 我其实心理有个想法, 就是想知道孙老师的儿子对他父亲是如何评 价的,这很重要。我假定是孙老师的儿子,我的感觉就是这种感觉不知如何说。作为一个拥 有伟大父亲的儿子当然希望父亲不是 62 岁就去世。好父亲要活到天长地久啊,不负责任的 父亲,子女各有各的看法。但我从孙老师的事迹中明白一个道理,虽然孙老师英年早逝,但 父亲做好事就是给子女积福德,人民公仆的儿子,人民一定会好好对待他。我为什么会想到 这点?就是我对自己活着不活着无所谓,现在成了家有了儿子,儿子也一周岁多了,也产生 一些新的想法。我对金钱的追求不太热烈,我对权利的追求也几乎没有。我对学生讲过,我 的梦想就是成为一个学者,学生不懂什么是学者,我说就是研究学问的。当我成年时,我发 现自己成不了学者。我说老师就算是个知识分子,我们这些老师也是个小知识分子,还有中 知识分子,大知识分子。学生说,那我们算什么?我说你们还在学习阶段。我对佛教比较痴 迷,我打算《道德经》《金刚经》用一生的心血、精力去读。世界空空如也,我做什么?我 、 的想法就是尽量做些好事,也就是为儿子积点福德。人生没什么追求。我跟我兄弟讲过,佛 教告诉我们人遇到挫折就要多做好事,这不是迷信。如果是迷信,我可以科学解释给你看。 一个人一辈子做好事,不成功才奇怪呢,成功是很正常的。这就是佛教的积极意义。我兄弟 在我的影响下也想看佛教的书。 我一直猜想孙老师会不会有这种想法?就是父亲行善就是对 子女积德。我不知道,但我是通过他的事迹有这个感触的。这辈子不会赚钱,也不会当官, 就做点好事为自己的儿子积点福德吧。

43、我们为什么题目解不出来
我一直想找个形象的比喻让同学们知道自己为什么一些题目解不出来。今天我看2008 年4月第二期《数学教育学报》里的一篇文章《 《数学方法论与解题研究》课程建设的一些思 考》 ,作者是张雄(陕西师范大学教育科学学院)、陈焕斌、黄云鹏(陕西教育学院数理工

程系)。我发现我找到了。里面讲到如果把解题比做打仗,那么数学基本知识就是“兵力”, 基本的数学方法就是“兵器”,调动数学基础知识、运用数学基本方法的数学解题研究(解 题理论)正是“兵法”,而每个同学要做一个善于指挥的将军或元帅。 我先举个例子,是一个同学问我的,题目是: 已知 a ? 3 3, c ? 2, B ? 1500 , 求边b 的长及 S ? 。 要解答这道题目,必须知道三角形面积 公式 S ?ABC

A c=2
150°

1 ? ac sin B ,及余弦定理 2

b B
a=3√3

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,但这位同学连
这两个定理在书上哪里也找不到。这说明什 么,说明他打战不带一兵一卒,没有兵力。 有的同学没有兵器,有的同学没有兵法,有 的同学不善于指挥。我希望同学们自己对照 一下,自己的缺陷在哪里。

C

44、考结果更考过程的又一个例子
昨天我们学习了空间几何体(柱体、锥体、台体)的表面积与体积,在推导圆锥、圆台 的表面积,我说你们要懂的过程而不单单是结果(公式) 。今天在分析书上的联系与习题时 也印证了这句话,书上的练习与习题都是考过程而不是结果。 今天我们又印证了一句话:数学知识越多反而越好,记忆越深刻,理解更透彻。也是通 过类比方式,把扇形类比于三角形,那面积公式就可以类比。把扇环类比于梯形,那扇环的 面积公式可类比于梯形的面积公式。我说这样类比是不是记忆越深刻,理解更透彻,你们回 答:是。这就好。

45、同学们,我们立体几何为什么学不好?
同学们,我的理由只能是一个笑话,目的是为了让同学们喜欢立体几何。我们为什么立 体几何学不好。原因是我们太善良、太诚实。一个人品不好的人他可以把黑的说成白的,把 正确的说成错的。他可以指鹿为马,颠倒是非,混淆视听。而立体几何要干吗?我们要把平 面的想象成空间的,把二维的想象成三维的,把斜的想象成垂直的,把垂直的想象成斜的, 把相交的想象成平行的,把平行的想象成相交的。但因为我们太善良太诚实,做不到把黑的 说成白的,把正确的说成错误的。我们指鹿为马,颠倒是非,混淆视听的事情做不来。但这 种人官场很多,但官场人数学不好,他们把智慧用在了错误的地方。 你们看了后要笑一下啊。

46、有些解法人家想到我们为什么想不到
昨天一个同学问我,老师这个解法我想不到,人家是怎么想到的。我说过只有“通”了 才能创,也就是说只有对知识达到“通”的境界才能发明创造。人家是已经“通” ,而我们 是“懂”“会” 、 。那我们怎么办?我说过理解别人也是一种学习策略,我们理解别人,把大

脑中的各个线路先一一接通起来,最后自然灯泡就亮了。也就是先去理解别人。

47、一“方”一世界,一“体”一菩提
以前我们讲过,精解一题,通一大片就是一花一世界,一树一菩提。我把这篇文章附在 下面: 对于信佛的人来说,当他大彻大悟,了达这个世界的时候,他就能从一朵花悟出整个世 界。菩提意思是觉悟、智慧,用以指人忽如睡醒,豁然开悟,突入彻悟途径,顿悟真 理,达到超凡脱俗的境界。所以一花、一树对于一个大彻大悟的人来说都能了达整个 世界。 而我们如果通过一道题能够了达整个高中数学, 那真乃一件幸福完美的事情耶。 所以精 解一题,通一大片的最高境界就是能够达到一花一世界,一树一菩提的地步。 同学们也曾经问过我, 老师有没有这样的题目, 可以通过一道题能够了达整个高中数学, 我那时没回答,而今可以回答你。就是精解有关正方体、长方体的题目就可以了达整个高中 的立体几何。我把它归纳为:一“方”一世界,一“体”一菩提。这里的“方”“体”指的 、 是正方体、长方体。 今天我们讲解平面与平面的判定定理, 举的五个例子都是有关正方体的例子。 我想通过 这五个例子说明:一“方”一世界,一“体”一菩提。

48、庙小妖风大,水浅王八多
我讲过:一“方”一世界,一“体”一菩提。今天我们再次印证了这句话。从直线与平 面平行判定、平面与平面平行判定、直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质,我们 有个模型正因为是太熟悉了, 所以没有引起我们的注意, 也就是视而不见。 这个模型是什么? 你们回答是正方体。 所以我再加几句话,对正方体的评价,就是:小小方体,奥秘无限,庙小妖风大,水浅王 八多。 附带说几句:我们在开始学习立体几何证明的时候发现一些结论太明显,太显然,反而 让我们感到哑巴吃黄连有苦说不出。所以在证明的时候我们要记住:证明先由证据开始,不 能凭空证明,想当然证明。同学们犯的错误往往是凭空证明,想当然证明。这些证据就是定 义、公理、定理、性质。

49、以教室为师
有句话叫做是以自然为师。但学习立体几何第二章《点、直线、平面之间的位置关系》 的时候, 我们要有个观点就是以教室为师, 不说以自然为师了。 在教室里, 教室是个长方体, 有前黑板面、后黑板面,走廊墙面、走廊墙面的对面、天花板、地面。准备几支笔当直线, 桌面当平面、准备几本书本当平面。我们可以作出各种公理、定理、习题的模型。直线与平 面平行的判定与性质定理、平面与平面平行的判定与性质定理、在必修 2 第 61 页练习与习 题 2.2A 组的习题 1、2、5、6、7、8 我们都可以在教室里作出模型。 这些习题我们发现作出模型后结论比较显然, 但我们遇到的问题就是如何把它们证明出 来。同学们往往犯的错误就是凭空证明、想当然证明。 立体几何(平面几何)它是个公理化系统,对公理化系统我们要求不是很高。公理化系 统是什么?简单点就是以几个公理出发, 演绎出一大堆的结论。 我们证明的时候每一步都要 有根有据。证明先由根据开始,这些根据就是公理、定理、定义、性质等等。今天我们讲解 必修 2 第 61 页练习与习题 2.2A 组, 我们见识了每一道题目的证明都是有根有据。 同学们犯 的错误就是往往是凭空证明、 想当然证明, 公理化系统给我们的感觉是什么?就是我们本来

对平面、空间认识非常的乱、无序、乱糟糟的,通过立体几何的学习变的有秩序起来。学习 是什么?简单说就是对自然、社会的认识由无序、乱糟糟变的有秩序,情感上讲通过学习就 是更加热爱自然、社会。 所以立体几何考什么?一是考空间想象能力, 二是逻辑推理能力, 同学们都已经感受到 了。

50、 点石成金的老师是怎么回事?——学习孙维刚老师有感 (三)
我是受无神论教育长大的,对科学一直比较崇拜,虽然年龄越大,对宗教越痴迷。我想 年龄越大对宗教越痴迷是一种规律吧。 虽然我对宗教越来越痴迷, 但一些基本科学定理还是 痴迷不悟的,比如点石可以成金,这是违背科学规律的。我们在教书的人生经历中我们会遇 到点石成金的老师, 他对在我们眼中很一般甚至很差的学生可以教成一个奇迹, 这个学生可 以达到一个不可相信的高度。我们也称这些老师是点石成金的老师,化腐朽为神奇的老师。 孙维刚老师就是这样的老师, 那我们能不能从孙老师的事迹中得出教育是万能的呢?我想假 如造物主造人是公平的,它造你在某些方面欠缺了点,那它就在其他方面进行弥补。所以每 个人都是相同的一块黄金在它的外面包裹这一层石头, 每个人所包的石头厚度都不一样, 但 里面包裹的黄金是一样的。 孙老师做到了什么?就是把包裹在外面的石头给敲下来了, 露出 黄金。 但孙老师的教育方法也只对某些学生可以把包裹在外面的石头敲下来, 对其他一些学 生只能是使黄金外面的石头薄一点, 也敲不下来。 所以点石成金之所以可能是因为这快石头 里面包裹黄金,你只是把它外面的石头敲下来。并且教育也不是万能的,因为有些石头是固 若金汤的,你靠教育是不可能敲下来的。孙老师的厉害就是人家不能敲下来,而孙老师可以 做到敲下来。

51、学习孙维刚老师有感(四)
我从昨天悟到, 当老师先修身齐家治国平天下, 当一个老师他的道德修炼到很高境界的 时候, 这个时候在教学中就应当让自己的道德被自己的理性牵引着走, 而不是自己的理性被 道德牵引着走。 那孙老师驾驭自己的高尚道德达到炉火纯青的地步吗?没有。 驾驭自己的一 次高尚道德就要付出巨大的生理代价,比如,孙老师 1992 年他班有 4 位同学代表北京市在 中国科院参加第七届数学奥林匹克冬令营,竞赛当天早晨,膀肮癌复发,大量尿血,连他自 己也不忍心看着鲜红的尿液。是陪学生去还是不去,孙老师为难了。不去,学生认为不是孙 老师一贯的作风,肯定身体出了问题!为了不让同学们分心,孙老师强打着精神,与病魔抗 争,陪了学生整整两天后才住进了医院。 孙老师驾驭自己的高尚道德的技术也是有商量的。他 62 岁英年早逝,就是驾驭自己的 高尚道德太强烈,太频繁。每驾驭一次就付出巨大的生理代价,导致他英年早逝。 说句题外话, 你说中央的那些人也会不会驾驭自己的道德?反正中央的人比较长命, 所 以中央的那些人道德没有孙老师强。 以下对孙老师的看法是我在晚自修对学生讲的,把学生镇住了。 我说老师在没有儿子前,对自己的生命毫无在乎,什么时候死就到什么时候死,有了儿 子不想跟孙老师一样英年早逝,你们如果将来当父亲你们就会体会到父亲要留给儿子什么。 你们说,孙老师赚钱好赚不好赚?学生回答不好赚。我没思考过学生为什么这样回答。我说 孙老师赚钱很好赚,别人拿他的招牌做广告,孙老师就可以赚到很多钱。我问,那孙老师为 什么不赚?学生停住。我解释说,父亲留给子女的财富有两种,一是精神财富,二是物质财 富。 留下物质财富可能养个纨绔子弟、 花花公子、 败家子。 留下精神财富却让子女受用无穷。 孙老师达到的境界是很高的。

52、每天都有奇迹发生

我问有没有三个面是直角三角形的四面体, 你们回答把长方体切一个小角就是, 切面 根据生活经验不是直角三角形。 我说那有, 没有四个面是直角三角形的四面体?你们镇住, 我说每天都有奇迹发生。你们又找不到这样的四面体。打开必修 2(69 页)2.3.2 平面与 平面垂直的判定这一节的探究就是一个这样的四面体。 我把前面的一些话再总结一下。 我们刚学习立体几何是因为人生地不熟, 所以做事情 摸不出头绪,抓不到要领。我问现在你们有没有有点摸的出头绪,抓住点要领?你们的反 应还是不好。在讲解定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直时,这个定 理模型很容易作出,所以结论太明显、太显然。但根据公理化思想,又是一个定理。所以 同学们往往会凭空证明、想当然证明。你们对公理化的感悟不太深刻。 书上三道题目一定要会,就是必修 2(67 页)2.3.1 直线与平面垂直的判定这一节的 练习。对于练习第一题,解法是非常典型的,是通性通法,这种方法具有普遍性,高考就 靠通性通法。练习 2 第二题第三小题,就是要证线线垂直去证线面垂直,要证线面垂直又 去证线线垂直,要证线线垂直又要证线面垂直,要证线面垂直又要证线线垂直。所以这是 绕口令,绕的晕头转向、迷迷糊糊。同学们一定要理请思路。最好是绕的神魂颠倒,这才 对数学有兴趣。

53、再一次印证一”方“一世界,一”体“一菩提,小小方体奥 秘无限,庙小妖风大,水浅王八多
直线与平面的垂直判定、性质,平面与平面垂直的判定、性质,必修 2(72 页)平面与 平面垂直的性质这一节的例 4,都可以在正方体中找到模型。 问题出来了,我们又会遇到学习立体几何人生地不熟,摸不出头绪,抓不住要领。这些 太明显太显然干吗要证明。所以我们又要对公理化系统有更深的情感体验。

54、立体几何有神经病
在我们总结的课堂学习经验<<再一次印证一”方“一世界, 一”体“一菩提, 小小方体奥秘无限, 庙小妖风大,水浅王八多>>里,我们的课堂例子就是:

两条直线同时垂直于平面,这两条直线的位置关系? 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面的位置关系? 过平面外一点做平面的垂线,有几条垂线?为什么?

问:设 平面? ? 平面? ,点P在平面 ? 内,过点P 作平面 ? 的垂线a,直线a与平面 ? 具有什么位 置关系?为什么?

对于第一 问:两条 直线同时 垂直于平 面,这两条 直线的位 置关系? 我们在证 明的时候 见识到了 立体几何 的 神 经 病。你们 一直想不 通只要连 接两条垂

线的垂足,得到一条直线,而这两条垂线同时垂直于垂足的连线,所以平行。你们忘了一个 前提条件就是先这两条垂线要共面,但共面又不是已知条件,但看起来又共面,而我们只能 采取反证法。所以立体几何有神经病。 从我们课堂例子的学习过程中, 体会到要证下面一个例子先要证上面一个例子, 是一环 扣一环, 像精彩的无侠小说。 从这里我们可以体会到公理化思想, 我问 A 推出 B, 推出 C, B C 推出 D,一直下去,开始是什么?你们说是公理。这就对了。

55、对根据的解释
我们说证明先有根据开始,这些根据是公理、定理、性质、定义。那好教材上的例子能 不能当根据?比如必修 2(2.3.1 直线与平面垂直的判定)例 1:已知 a//b,a 垂直一个平面, 证 b 也垂直这个平面。这个例子就可以当根据,这个例子我们经常用到。我们的理由是在高 考中书上例子可以当根据的。 有的同学说在证明的时候要不要把根据写出来?不需要的, 老师自然会知道。 有的同学 说,老师不知道怎办?不知道的老师不是个合格老师。

56、你们数学不“通”的一个例子
到高一年级快结束了,许多同学问我,外心、内心、重心、垂心是什么?我 从来不记这四心, 在用到时自然呈现。 我跟一个同学讲过我对高中数学已经通了。 如何让四心在用到时自然呈现?就是对四心达到通的境界。 这四心如何达到通的 境界? 外心就是外接圆的圆心, 所以可以顾名思义,而只有边的垂直平分线才有一 个性质,所以外心与外接圆、垂直平分线要联系起来。内心就是内接圆的圆心, 所以要跟角平分线联系起来,内心、内接圆、角平分线三者是有关系的。重心是 中线交点,要跟物理上重力联系起来。垂心,垂就是垂直,高的意思,所以垂心 就是高的交点。我想问一下,对四心,你们有几个已经通了?

57、为什么不继续讲复习参考题
今天我们讲解了必修 2 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》最后一节 73 页习题 2.3,剩下这一章复习参考题没有讲解。我们先放一放,接下去上另一 章新课, 回过头来再讲解。 这是为什么?我也讲了原因, 下面我把原因记录下来。 我跟你们介绍了艾宾浩斯遗忘曲线,根据这个曲线,今天知识已经入脑了, 等过一段时间再复习,记忆会更加深刻。同学们可以百度百科:艾宾浩斯、遗忘 曲线。 我们在学习的时候发现一个现象,就是刚才不会做的题目,我们先放一放, 等过一段时间再回来做题目, 题目没想到竟然做出来了。这是为什么?我也举了 自己一个例子。在这个学期,同学们很喜欢玩魔方,我也买了一个,但你们很快 就可以转出六个面,每个面颜色都相同。但我一个面也转不出来。一个多月过去

了, 当我重新拿起魔方时竟然很快就转出一个面。我分析了一下这是为什么?我 在转魔方时,我看了说明书,从网络上下载了许多转法,所以我的脑子中有了许 许多多一招一式、条条框框,不管这些一招一式、条条框框是正确还是错误,它 都干扰了我。一个多月过去了,这些干扰我的一招一式、条条框框我都忘记了, 我拿来魔方,大脑里没有一招一式、条条框框,我只记得把魔方转出来,反而魔 方被我转出来了。虽然只转出一个面,两个面还不会转。所以你刚才为什么做不 出题目?因为你脑子中存有了许许多多的一招一式、 条条框框, 不管这一招一式、 条条框框是正确还是错误,都对解这道题起了干扰作用。等过一段时间再回来, 这些干扰你的一招一式、条条框框都忘记了,你只记得把题目解出来,题目反而 被你解出来了。根据课堂上反应,你们确实存在这种学习现象。 所以明天我们上新课。

58、高考是考“通”的
昨天跟高三的同学聊天,根据他们反应,他们高考考的不太好。我分析了一下原因。我 把原因记录下来 我们知道解题有四重境界:懂、会、通、创。高考命题有个原则,就是:在知识的交汇 处命题。 这说明什么?这说明高考数学要想考个好分数, 就得对高中数学达到 “通” 的境界。 但从你们的反应来看,都是懂、会,并且还出现假懂、假会。 在会到通的过程中会经历一个高原现象,停留的时间每个人都不同,有的人可能半年, 有的人可能一年。 这届高三同学达不到通的境界有个原因就是时间不够。 在经历高原现象的 时候每个人都会经历痛苦的过程, 所以你想不经历痛苦而考出好成绩是不可能的。 但这届高 三同学都没有经历痛苦,虽然学习经历痛苦是违背素质教育的,但为了高考没办法。这届高 三,有的同学就不想经历痛苦。

59、高一高二高三解题要达到的境界
高一高二可以懂、会,复习的时候,比如期中、期末要通,可以假通,但到高三要真 通。我说过高考命题有个原则就是在知识的交汇处命题,所以高考是考通的。跑步的时候我 们会经历高原现象,这让我们极度的难受与痛苦。同学们可以有这个体会,冒冷汗、心要跳 出来、四肢无力、想立刻躺下来、脸色发青,整个人要瘫痪。那你们学习有没有遇到这种情 况?我想没有。我说过高考是考通的,但懂、会到通就得经历高原现象。虽然这不符合素质 教育,为了高考,只能连命也搭进去。

60、高考是考“通”的再说明
“通”通俗的讲就是融会贯通,但同学们往往很难做到。熟能生巧是什么意思?熟能生 巧就是融会贯通之后有了新想法,就是会创造,也就是通了才能创。 高考压轴题考创,10 几分。其他大部分考通。考一本,大概每门考 110 分差不多,但 120 分是中档题。所以学习还是有方法的,学有法而无定法。明天、后天共三节课,复习时 分三个层次,第一层次,书上没弄懂的,起码把书看一遍,弄懂书上的知识;第二层次,书 上弄懂了,把书后的练习、习题、复习参考题弄懂,第三层次,前面两个层次都达到了就做 一套期末试卷,同步作业本上就有。同学们自己对照属于哪个层次,采取不同复习方法。明 天、后天自习。

61、分析我们三溪中学数学高考成绩有感
平均分大概是 70 分附近,文科、理科数学平均分都差不多,相差没几分。最高分文科: 109;理科:124。高考试卷分容易题、中档题、难题。容易题、中档题有 120 分左右,所以 你们大部分是会做容易题。我讲过我们一直停留在懂、会阶段上升不了通。有时候做人就是 很奇怪,明明知道问题出在哪里,但就是找不到解决办法。


相关文章:
课题第三部分:教学随笔必修1.doc
课题第部分:教学随笔必修1 - 全国教育科学规划“十一五”教育部重点课题 《新
人教版高中数学必修2部分说课稿[2].doc
人教版高中数学必修2部分说课稿[2]_数学_高中教育_...二,判断直线 l 与圆的位置关系,就是看 反思 由...小结 五.板书设计 第5课题:直线与圆的位置关系...
必修五第二章教案.doc
必修五第二章教案 - 备课人 课题 课标要求 教学目标 重点 难点 授课时间 2
人教版教学教案必修二 人教版第 5 章基因突变和其....doc
人教版教学教案必修二 人教版第 5 章基因突变和其他变异研究性学习设计_...2 生物必修 高中生物必修二 课题准备阶段 形成小组实施方案 题; 2、选择同课题...
必修二专题二教学设计.doc
必修二专题二教学设计_高中教育_教育专区。教学设计 课题名称:民国时期民族工业的...暂无评价 2页 15.00 高中语文 第二专题之《一... 暂无评价 5页 ...
高中语文专题三报任安书(第2课时)教学案苏教版必修5.doc
(第2课时)教学案苏教版必修5_高三语文_语文_高中...报任安书 课题: 报任安书 教学目标: 1.积累文...课后作业:1、完成《古诗文学习指导》3、4 课堂反思...
《数学必修模块2教学研究》.doc
主 要对如下课题进行了研究: (1)课标中所提倡的...必修) 第九章 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7...实验反思录 7.1 直线的倾斜角和斜率 7.2 直线的...
必修二_图文.doc
二、教学内容分析: 本节《减数分裂和受精作用》是高中人教版必修 2 第二章的...第一次分裂的特点 5.绘制减数分裂过程染色体数量变化曲线 教学活动 反思 课题 2...
二年级数学上册教学反思(三、四单元).doc
二年级数学上册教学反思(三、四单元) - 教学反思(随笔) 单元主 题 课题 第一课时:角的认识 本节课的教学能够做到环节紧凑,思路清晰。从而形成一个较好 第三...
必修5 2课 父亲的体温 练习 电子教案.doc
必修5 2课 父亲的体温 练习 电子教案_理学_高等...科课目型汉语 练习部分 课题 1 课时 第二课 主备...把课后练习答案板书在黑板上 组长签字 课后反思 彰显...
(可打印)五年级语文下册全册教学反思.doc
3、 第二部分处理的较仓促。 4、 教师的点拨语,...2教学反思:这是一篇精读课文。文章写的是在通往...教学的时候,我让学生从课题入手,让学生说说读了这个...
2012.2.10 必修二 Unit 5 (厦门十中创新课评选)林素芬....doc
课题内容选自人教版普通高中课程英语必修二 Unit5 ...。这部分教学需要 1-2 个课时,本文从学生的实际...组织小组反思,填写下表(以 5 分制计) ,并存入...
人教版教学教案必修2第5章第4节光合作用1教学设计.doc
人教版教学教案必修2第5章第4节光合作用1教学设计_...和逻辑对自己的结论进行辩护以及做必要的反思和修改...学生理解绝大多数生物的能量之源是太阳能,引出课题...
《滕王阁序》教学设计与反思_图文.doc
《滕王阁序》教学设计与反思 课题: 《滕王阁序》 科目: 语文 提供者:魏文婷 一、教学内容分析本篇课文选自高中语文必修五第二单元,本单元是古代散文单元,其中, ...
必修二unit5music听力和写作教案.doc
必修二unit5music听力和写作教案_英语_高中教育_教育专区。《人教版高中英语必修 2》Unit5 第三课时教学案例教学 课题 课程 听力写作课 类型 教材 教材分析 教学...
必修5第二章《数列》全章教案(按课时备课,共14课时).doc
必修5第二章《数列》全章教案(按课时备课,共14课时) - 高中数学新课标必修 5 第二课题: §2.1 数列的概念与简单表示法 授课类型:新授课 (第 1 课时)...
地理必修三(新课程人教版)教学反思三则.doc
“区域工业化和 城市化的推进及其产生的问题”等...2.引导学生找出课本呈现的三个相关案例:我国西北...我的教学设计如下: ()课题及课型:必修第二...
人教社高中英语必修一 第五单元 教学设计.doc
人教社高中英语必修第五单元 教学设计_高二英语_...高中英语教学设计教学 课题 课程 类型 课时 教材 ...2 min 练习二:导入 1.呈现第二组题目,要求学生...
人教版高中英语必修二第三单元教学设计_图文.doc
人教版高中英语必修二第三单元教学设计_英语_高中...《多媒体课件制作与使用技术》课题:The Olympic ...部分背景知识为主,包括多媒体课件第五、六、七屏 ...
必修5教学反思 设计意图.doc
必修5教学反思 设计意图_数学_高中教育_教育专区。...2. 在教学设计中始终注意培养学生的问题意识。课题...2.2 等差数列 第二课时 教学设计说明: 1. 本...
更多相关标签: