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选修4-4第二讲


第二讲 参数方程

圆锥曲线的参数方程

椭圆的参数方程

小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常 见方法有三种: 1.代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 去参数 2.三角法:利用三角恒等式消去参数 3.整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从 整体上消去。 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0:在消参过程中注 意变量x、y取值范围的一致性,必须根据参数的取 值范围,确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。

? 步骤:(1)消参; ? (2)求定义域;

x2 y 2 例4 求椭圆 ? ?1 的参数方程。 9 4

(1)设x=3cos?,?为参数;

{
(2)设y=2t,t为参数.

x ? 3 cos ? y ? 2 sin ?

(?为参数)

? ?x ? 3 1? t2 ? ? x ? -3 1 ? t 2 (2)参数方程是 ? 或? ? ? ? y ? 2t ? y ? 2t

思考:为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程?

复习

圆的参数方程

1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:

? x ? r cos ? (?为参数) ? ? y ? r sin ?
2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:

? x ? a ? r cos ? (?为参数) ? ? y ? b ? r sin ?
3.椭圆的标准方程:

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

它的参数方程是什么样的?

x2 y 2 例4 求椭圆 ? ?1 的参数方程。 9 4

(1)设x=3cos?,?为参数; {

x ? 3 cos ? y ? 2 sin ?
2 2

(?为参数)

x y 由例4我们得到了椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的 a b 一个参数方程为 ; x ? a cos? { (?为参数) y ? b sin ?

这是中心在原点 O,焦点在x轴上的椭圆的 参数方程。

小结

x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b

x2 y2 ? 2 ?1 2 b a

x ? a cos? ? 椭圆的参数方程:? ? y ? b sin?

? x ? b cos? ? ? y ? a sin?

在椭圆的参数方程中,常数a、 b分别是椭圆的 长半轴长和短半 轴长. a>b

?

——离心角

一般地: ? ? 0,2? ?

?

练习

把下列普通方程化为参数方程.
2 y 2 (2) x ? ?1 16 x ? cos ? (2) y ? 4sin ?

2 2 x y (1) ? ?1 4 9 x ? 2 cos ? (1) y ? 3sin ?

?

?

x2 y2 例1 在椭圆 ? ? 1上求一点M , 使点 M到 9 4 直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 的距离最小 , 并求出最小值 .
y

所以可设点M的坐标为?3 cos ? ,2 sin ? ?.

解 因为椭圆的参数方程为 x ? 3 cos ? , ? ? ? 为参数 y ? 2 sin ? ,

O

x

由点到直线的距离公式, 得到点M到直线的 距离为 | 3 cos ? ? 4 sin ? ? 10 | d? 5

3 4? ? | 5? cos ? ? ? sin ? ? ? ? 10 | 5 5? ? ? 5 1 ? | 5 cos?? ? ?0 ? ? 10 |, 5 3 4 其中?0满足 cos ?0 ? , sin ?0 ? . 5 5 由三角函数性质知,当? ? ?0 ? 0, d取最小值 5 . 9 8 此时,3 cos ? ? 3 cos ?0 ? ,2 sin ? ? 2 sin ?0 ? . 5 5 ?9 8? 所以,当点M位于? , ?时, 点M到直线x ? 2 y ? ?5 5? 10 ? 0的距离取最小值 5 .

例1、如图,在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上求一点M,使M 9 4
y

到直线 l:x+2y-10=0的距离最小. 解:因为椭圆的参数方程为

所以可设点M的坐标为 (3cos ? , 2sin ? )

? x ? 3cos ? ( ? 为参数), ? ? y ? 2sin ?

O

x

M

由点到直线的距离公式,得到点M到直线的距离为

d

x2 y 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的参数方程为: 2 a b

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

说明:

? 3? 通常规定? ? [0, 2? )且? ? ,? ? 。 2 2

⑴ 这里参数 ? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾 斜角不同.

恒等式 sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? 相比较而得到,所以双曲线的 参数方程的实质是三角代换.

x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 a 2 ? b2 ? 1 与三角

? 抛物线的参数方程
y

M(x,y)

抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
?x=2pt2 , (t为参数,t ? R) ? ? y ? 2pt.
o

?
H x

1 其中参数t= (? ? 0),当? =0时,t=0. tan? 几何意义为: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y

? x ? 2 pt 2 1、若曲线? (t为参数)上异于原点的不同 ? y ? 2 pt 两点M 1,M 2所对应的参数分别是 t1 , t 2 , 则弦 M 1M 2所在直线的斜率是 ( A、t1 ? t2 , 1 C、 , t1 ? t2
c
)

B、t1 ? t 2 1 D、 t1 ? t 2

解:由于M 1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t1和t 2,则可得点M 1和M 2的坐标分别为 M 1 (2 pt ,2 pt1 ), M 2 (2 pt ,2 pt2 ) ? k M 1M 2 2 pt1 ? 2 pt2 1 ? ? 2 2 2 pt1 ? 2 pt2 t1 ? t 2
2 1 2 2

2 (2008· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)是
x2 2 椭圆 +y =1 上的一个动点,求 S=x+y 的最大值. 3 ? ?x= 3cos φ , x2 2 解 因椭圆 + y = 1 的参数方程为? 3 ? ?y= sin φ (φ 为参数 ),
故可设动点 P 的坐标为 ( 3cos φ , sin φ ), 其中 0≤ φ<2π . 因此 S= x+ y= 3cos φ + sin φ
? = 2? ? ? ? π? 3 1 ? ? cos φ + sin φ ?= 2sin?φ + ?. ? 2 2 ? 3? π 所以,当 φ= 时, S 取最大值 2. 6

的最大值和最小值;

x2 y2 ? ? 1上点M(x, y),(2)求2x+3y 例1、已知椭圆 9 4

例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线 l:x-y+4=0的距离最小. 分析1: 设P(? 8 ? 8y 2 , y),
则d ? | ? 8 ? 8y ? y ? 4 |
2

y

2

O P

x

分析2:设P(2 2 cos?, sin ?),
则d ? | 2 2 cos ? ? sin ? ? 4 | 2

分析3:平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.

x2 y2 例3、已知椭圆 100 ? 64 ? 1 有一内接矩形ABCD, Y 求矩形ABCD的最大面积。 y
D

B2

A

A1

F1
C

O

F2
B

X A2 X

B1

练习 已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正 半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边 形OAPB的面积最大.

例4 矩形的面积及周长的最大值。

x2 y2 求椭圆 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内接

解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是
A(a cos?,b sin? )(0 ? ? ? ) 矩形面积和周长分别是S、L
2

?

S ? 4 | FA | ? | EA |? 4a cos? ? b sin? ? 2ab sin 2? ? 2ab
? 当且仅当a ? 时, Smax ? 2ab, 4

L ? 4(| FA | ? | EA |) ? 4a cos? ? 4b sin? ? 4 a 2 ? b2

Lmax ? 4 a 2 ? b 2

此时α存在。

D分别位于椭圆第一象限与第三象限 值。

x2 y2 ? ? 1 其中点A(3,0),C(0,4),B、 9 16

例5 四边形ABCD内接于椭圆

的弧上。求四边形ABCD面积的最大

例6 θ取一切实数时,连接 A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ) 两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段

x2 y2 例7 已知点A在椭圆 144 ? 36 ? 1 上运动,点B(0, 9)、 点M在线段AB上,且 AM ? 1 ,试求动点M的轨迹方程。 MB 2

6 sin ? ),并且设M(x, y) 解:由题意知B(0, 9), 设A(12 cos ?,
1 1 x A ? x B 12cos? ? ? 0 2 2 x? ? ? 8 cos?, 1 1 1? 1? 2 2
y? yA ? 1 1 y B 6 sin? ? ? 9 2 2 ? ? 4 sin? ? 3 1 1 1? 1? 2 2

? x ? 8 cos? ? ? y ? 4 sin? ? 3

(α是参数)

消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:
x 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 64 16

例6 椭圆

O为坐标原点, 若这个椭圆上存在点P,使得OP⊥AP。
求该椭圆的离心率e的取值范围。 解:设椭圆上的点P的坐标是(a cos?,b sin? ) (α≠0且α≠π), A(a, 0)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与x轴的正向相交于点A, 2 a b

b sin? ? 0 b sin? kOP ? ,k AP ? a cos? ? a 而OP⊥AP, a cos? 2 2 2 2 2 b sin? b sin? ? 0 ? ( a ? b ) cos ? ? a cos ? ? b ?0 ? ? ?1 a cos? a cos? ? a b2 cos? ? 2 cos ? ? 1 (舍去), 2
a ?b

因为? 1 ? cos ? ? 1
1 ? e2 可转化为 ? 1 ? e 2 ? 1

b2 所以? 1 ? 2 2 ? 1 a ?b

2 e 解得 ?

1 2

2 ?e?1 于是 2

练习: 1 θ取一切实数时,连接 A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)两点的线段 B. 的中点轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段

设中点M (x, y)

x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ

x2 y2 ? ?2 4 9

2、已知圆的方程为x 2 ? y 2 ? 4 x cos? ? 2 y sin? ? 3 cos2 ? ? 0, (?为参数),那么圆心的轨迹的普 通方程为__________ ____? x ? 2 cos? 2 2 化为 ( x ? 2 cos? ) ? ( y ? sin? ) ? 1 { (?为参数) y ? sin? 2 x 化为普通方程是 ? y 2 ? 1 4

x ? a cos? 3、求定点( 2a ,0)和椭圆 { (?为参数)上各点连线的 y ? b sin? 中点轨迹方程。

解:设定点与椭圆上的 点连线的中点为 M ( x, y )
2a ? a cos? x? 2 则{ (?为参数) b sin? y? 2 ( x ? a )2 y 2 上述的方程消去参数,得 ? 2 ?1 2 a b 4 4

x ? 4 cos? 4、P是椭圆 { (?为参数)上一点,且在第一象限 , y ? 2 3 sin? OP(O为原点)的倾斜角为 ,则点P的坐标为( 3 4 4 (2 3 , 3 ), ( 5, 15) C、 A、 ( 2,3), B、 5 5

?

B )
D、 (4,3)

解: ? OP的倾斜角为 ? kOP ? tan ? 3 3 3
又kOP ?
2

?

?

y 2 3 sin? ? ? 3 x 4 cos?
2

? sin ? ? 2 cos ?
? cos? ? 5 2 5 , sin? ? 5 5

又 sin ? ? cos ? ? 1, 且点P在第一象限

4 5 4 15 x ? 4 cos? ? , y ? 2 3 sin? ? 5 5

? x ? 3 cos? 练习 O是坐标原点,P是椭圆? y ? 2 sin? (?为参数) 上 ?

离心角为-π/6所对应的点,那么直线OP的倾角的正切值 是 .
解:把 ? ? ? 可得P点坐标 (
?
? x ? 3 cos? 代入椭圆参数方程 ? y ? 2 sin? 6 ?

3 3 , ?1) 2

所以直线OP的倾角的正切值是:
?1 2 3 tan? ? ?? 9 3 3 2

双曲线的参数方程

研究双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b



的参数方程

以原点O为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆C1,C2. y B' 设A为圆C1上任一点, 作直线OA, M A 过A作圆C1的切线AA'与x交于点A', ? x B A' O 过圆C2与x轴的交点B作圆C2的 切线BB'与直线OA交于点B'。 过点A', B'分别作y轴, x轴的平行线A'M, B'M交于点M, 设OA与OX所成角为φ(φ∈[0, 2π),φ≠π/2,φ≠3π/2) 求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。

因为点A在圆C1上, 由圆的参数方程得点

?a cos? , b sin? ?, A的坐标为
所以 OA ? ?a cos? , b sin? ?,

y
A O

B'

M A' x

AA` ? ? x ? a cos? ,?a sin? ? 因为OA ? AA`,

?

所以 OA? AA` ? 0, 从而

B

a cos? ? x ? a cos? ? ? ?a sin? ?

2

? 0.解得 x ?

a .记 cos?

1 ? se c? , 则x ? a se c? . cos?

因为点B`在角?的终边上,

y 由三角函数定义有tan? ? ,即y ? b tan? .所以, 点M的轨迹的参数方程为 b x ? a sec ? , 2 2 1 sin2 ? 即 sec ? ? tan ? ? 1, 因为 2 ? ? 1, ? 为参数 2 y ? b tan ? . cos ? cos ?

?

?

所以, 从③消去参数? 后得到点M的轨迹的普通方程为② , 这是中心在原点 , 焦点在x轴上的双曲线. ? 3? 通常规定参数?的范围为? ? ?0,2? ?, 且? ? , ? ? .
2 2

y

事实上 设M ( x, y)

a

A

B'

?M
A' x

| OA ' |?

在?OAA '中,x ? a | OA |
cos ? ?

? o B
b

cos ?

? a ? sec ? ,

在?OBB '中,y ? | BB ' |?| OB | ? tan ? ? b ? tan ?.

? x ? a sec ? 所以M的轨迹方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ?
x2 y2 消去参数后,得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线。

练习: 1.已知参数方程

x?t?

化为普通方程, 画出方程的曲线. x ? a sec ? ? ? 2.参数方程 y ? b tan ? (? 是参数, ? 2 ? ? ? 2 ) 表示什么曲线?画出图形. x ? 2 3 se c? 3、求双曲线{ 的两个焦点坐标。 y ? 4 3 tan?

1 t 1 y ?t? t

(t 是参数, t >0)

(?2 15,0)

x ? 3sec ? 2、双曲线{ (?为参数)的渐近线方程为 _______ 4 y ? tan ? 1 y?? x 3

例1. 求点M0(0, 2)到双曲线x2-y2=1上点的最小距离。
x2 y2 例 2 如图,设 M 为双曲线 2 ? 2 ? 1?a , b ? 0? 上任意一点 , a b O为原点, 过点M 作双曲线两渐近线的平 行线 , 分别与两渐 近线交于A, B两点.探求平行四边形MAOB 的面积 ,由此可 以发现什么结论?
y

A M

O
B

x

b 解 双曲线的渐近线方程为y ? ? x . a y 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为 ?a sec? , b tan? ?,
b y ? b tan ? ? ? ( x ? a se c? ) 则直线MA的方程为 a b 把y ? x代入 解得点A的横坐标为 a a
A M

xA ?

a 同理B点横坐标x B ? (se c ? ? tan? ) 2 b 设?AOx ? a ? tan? ? 平行四边形MAOB的面积为
xA xB S平行四边形 ? ? sin2? MAOB ?| OA | ? | OB | sin2? ? cos ? cos? 2 2 a a b ab a 2 ?se c2 ? ? tan2 ? ? ? tan? ? ? ? . ? ? sin2? ? 2 4 cos ? 2 2 a 2
a

2

(se c ? ? tan? )

O
B

x

由此可见,平行四边形MAOB 与点的面积恒为定值, M在双曲线上的位置无关

x2 y 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的参数方程为: 2 a b

? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?

说明:

? 3? 通常规定? ? [0, 2? )且? ? ,? ? 。 2 2

⑴ 这里参数 ? 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾 斜角不同.

恒等式 sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? 相比较而得到,所以双曲线的 参数方程的实质是三角代换.

x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 a 2 ? b2 ? 1 与三角

例 3 例 1 、已知圆O : x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1上一点 P 与双曲线

x 2 ? y 2 ? 1上一点Q,求 P、Q 两点距离的最小值

解:设双曲线上点的坐标为Q (sec? , tan ? ) 先求圆心到双曲线上点的最小距离 OQ ? sec 2 ? ? (tan ? ? 2) 2 ? tan ? ? 1 ? tan ? ? 4 tan ? ? 4 ? 2(tan ? ? 1) ? 3 ? 5? ?当 tan ? ? 1, 即? ? 或 时, OQ min ? 3 4 4 ? PQ min ? 3 ? 1
2 2 2 2

例4 求证:等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点 所张的角均为直角。
y
2 2 2 x ? y ? a 证明:设双曲线方程为

A A1

B
O A2 x

取顶点A2(a, 0), 弦AB ∥Ox,

B(a se c? , a tan? ),
k A2 A

则A(?a sec? , a tan? )
,

a tan? a tan? ? , k BA ? 2 ? a se c? ? a a se c? ? a

k A2 A ? kBA 2 ? ?1

∴弦AB对A1张直角, 同理对A2也张直角.

例5 同支上相异两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于 y · A ( x , 0 ) 2 2 点P 0 ,求证: a ?b | x0 |? M a O · 解:设A,B坐标分别为(a se c? , b tan? ) B
a b ( (se c ? ? se c ? )) , (tan? ? tan ? )) 则中点为M 2 2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 已知双曲线, A,B是双曲线 a b

x

(a se c? , b tan? )

于是线段AB中垂线方程为
b a(se c ? ? se c? ) ? a ? y ? (tan? ? tan? ) ? ? x ? (se c ? ? se c ? ) ? 2 b(tan? ? tan ? ) ? 2 ? ?

a 2 ? b2 将P( x0, 0)代入上式,∴x0 ? 2a (se c? ? se c? )

a 2 ? b2 ?| se c? ? se c? |? 2 (∵A,B相异), | x0 |? a

例6 求证:等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距 离之积是常数。

例3.设P是双曲线b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 (a ? 0, b ? 0)上任意一点, 过点P作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线相交 a 2 ? b2 于点Q和R,求证: PQ PR ? 4

抛物线的参数方程

前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:
? x ? 100t 1000 ? ) ? 1 2 ( t为参数,且0 ? t ? g y ? 500 ? gt ? 2 ?

对于一般抛物线,怎样建立参数方程呢? 以抛物线的普通方程

y ? 2 px
2

A O

Y

M F X

为例,其中p为焦点到准线的距离。

设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点,以射线 OM为终边的角记作α
) 显然,当α在 ( ? 2 , 2 内变化时,点 M 在抛物线上运动,并且对于α的每一个值, 在抛物线上都有唯一的点M与之对应,因 此,可以取α为参数来探求抛物线的参数 方程.

? ?

因为点M在α的终边上,根据三角函数定义可得
y ? tan? x
2 y 由方程 ? 2 px

2p ? x ? ? ? tan 2 ? ? ?y ? 2p ? tan ? ?

(α为参数)

这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.

2p ? x ? ? ? tan 2 ? ? ?y ? 2p ? tan ? ?

(α为参数)
1 如果令 t ? tan?

t ? (??,0) ? (0,??)

? x ? 2 pt 2 则有 ? (t为参数) ? y ? 2 pt

当t=0时,上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0), 因此,当 t ? ( ? ?,? ?) 时,

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt
就表示整条抛物线.参数 t 表示抛物线上除顶点外 的任意一点与原点连线的斜率的倒数.

练习

x ? 2 pt 2 1、若曲线{ ( t为参数)上异于原点的不同两点M 1,M 2 y ? 2 pt 所对应的参数分别是t1 , t 2 , 则弦M 1 M 2所在直线的斜率是( C ) A、 t 1 ? t 2 , 1 B、t1 ? t 2, C、 , t1 ? t 2 1 D、 t1 ? t 2

解:由于M1 , M 2两点对应的参数方程分 别是t1和t 2,
则可得点M1和M 2的坐标分别为
2 M1 (2 pt12 ,2 pt1 ), M 2 (2 pt 2 ,2 pt 2 ), 2 pt1 ? 2 pt 2 1 ? k M1 M 2 ? ? 2 2 2 pt1 ? 2 pt 2 t1 ? t 2

2、设M为抛物线y 2 ? 2 x上的动点,给定点M 0 ( ?1,0), 点P为线段M 0 M的中点,求点P的轨迹方程。

2 例1 如图,O为原点,A,B为抛物线y ? 2 px( p ? 0) 上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,OM⊥AB于M,求 点M的轨迹方程.

解:设点M , A, B的坐标分别为 ( x, y )
2 2 (2 pt1 ,2 pt1 ),(2 pt2 ,2 pt2 )(t1 ? t 2 , 且t1 ? t 2 ? 0)
2 则OM ? ( x , y ), OA ? ( 2 pt ,2 pt1 ), OB ? ( 2 pt 2 ,2 pt 2 )
?

?

?

2 1

?

AB ? ( 2 p( t ? t ),2 p( t 2 ? t1 )) 因为OA ? OB, 所以OA? OB ? 0,
2 2 2 1

?

?

?

?

2 2 ? 2 px ( t ? t 由OM ? AB, 所以OM? OB ? 0, 2 1 ) ? 2 py(t 2 ? t1 ) ? 0

?

即(2 pt1t 2 )2 ? (2 p)2 t1t 2 ? 0, 所以t1t 2 ? ?1
? ? ?

? y ? x(t1 ? t 2 ) ? y ? 0, 即t1 ? t 2 ? ? ( x ? 0) ? AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ), x

MB ? ( 2 pt ? x ,2 pt2 ? y )且A, M , B三点共线,
2 2

?

y 化简,得y(t1 ? t 2 ) ? 2 pt1t 2 ? x ? 0 ? y( ? ) ? 2 p ? x ? 0 x

2 2 ?( x ? 2 pt1 )(2 pt2 ? y) ? (2 pt2 ? x)( y ? 2 pt1 )

即x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0)这就是点M的轨迹方程

当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小?最小值是多少?
? OA= ( 2 pt 12 ) 2 ? ( 2 pt 1 ) 2 ? 2 p t1 t12 ? 1
2 2 2 OB ? ( 2 pt 2 ) ? ( 2 pt 2 ) 2 ? 2 p t 2 t 2 ?1

? S ?AOB ? 2 p t1 t 2
2

2 2 2 ? 2 p t ? t ( t ? 1) ? ( t ? 1) 1 2 ?2
2 1 2 2

2 ? 2 p 2 ( t1 ? t 2 ) 2 ? 4 ? 4 p

当且仅当t1 ? ?t 2,即当点A, B关于x轴对称时, 2 ?AOB的面积最小,最小值为4 p .

(法2 )设A(2 pt1 ,2 pt1 ), B( 2 pt2 ,2 pt2 ) 则以OA为直径的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 pt1 x ? 2 pt1 y ? 0 以OB为直径的圆的方程为 x ? y ? 2 pt2 x ? 2 pt2 y ? 0
2 2 2 2

2

2

即t1 , t 2为方程2 pxt ? 2 pyt ? x ? y ? 0
2 2 2

? ( x2 ? y2 ) 的两根, ? t1 t 2 ? ? ?1 2 px ? x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0) ? 另一个交点Q的轨迹方程是以(p,0 ) 为圆心,p为半径的圆(除去( 0,0 )点)

线C2: y2=6(x-3/2);若C1∩C2≠φ,求m的取值范围。
代入得 cos2φ+4cos φ+2m-1=0

? x ? m ? 2 cos? 练习 已知椭圆C1: ? (?为参数) 及抛物 ? y ? 3 sin?

所以

t2+4t+2m-1=0

在[-1, 1]内有解;

练习 3 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p>0)上的三个点, 且BC与x轴垂直,直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点,求证:抛物线的顶点平分DE.
2 2 证明:设点A, B的坐标分别为 (2 pt1 ,2 pt1 )(2 pt2 ,2 pt2 ),
2 则点C的坐标为 (2 pt2 ,?2 pt2 )

所以点D的坐标为 (?2 pt1t 2 ,0)

1 直线AB的方程为y ? 2 pt1 ? ( x ? 2 pt12 ) t1 ? t 2
1 直线AC的方程为y ? 2 pt1 ? ( x ? 2 pt12 ) t1 ? t 2

所以E的坐标为 (2 pt1t 2 ,0)

因为DE的中点为原点 (0,0),所以抛物线的顶点 O平分线段DE。

4 经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O任作两条互相 垂直的线段OA和OB,以直线OA的斜率k为参数,求线 段AB的中点M的参数方程。
1 解:直线OA的方程为y=kx,直线OB的方程为 y ? - x k 2 p 2 p 由y2=2px和y=kx,得 A点坐标为 ( 2 , ) k k

同理B点坐标(2pk2,-2pk)
2p 2 ? 2 pk 2 p k x? ? 2 ? pk 2 , 2 k

设点M的坐标为 ( x, y)则
2p ? 2 pk p k y? ? ? pk 2 k

所以,线段AB的中点M的轨迹的参数方程是
p x ? 2 ? pk 2 k { ( k为参数) p y ? ? pk k

点外)与短轴端点B1, B2的连线分别与x轴交于P, Q两点, O为椭圆的中心,求证:|OP|· |OQ|为定值。

x2 y2 5 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 上任意一点M,(除短轴端 a b

练习 对于一切实数,若
直线 y ?

恒有公共点,则m的范围是: A (1,5)

? x ? 5 cos? ? ( m ? 0,?为参数) kx ? 1 与曲线 ? ? ? y ? m sin?

B ( 0,5) C ?1,5? ? ?5,? ??

D ?1,? ??

直线恒过 ( 0,1)点 当直线与曲线恒有公共点时,必满足
m ?1

m?1

思考: 类比圆的参数方程中参 数的意义,椭圆的参数 方程中参数?的意义是什么?

如图,以原点为圆心,分别以a, b(a>b>0)为半径作两个圆, 点B是大圆半径OA与小圆的交点, y 过点A作x轴垂线,垂足为N, A 过点B作y轴垂线, BM⊥AN,垂足为M, B M θ 设以Ox为始边,OA为终边的角为θ, O N x 点M的坐标是(x, y)。 那么点A的横坐标为x,点B的纵坐标为y。 由于点A, B均在角θ的终边上,由三角函数的定义有: 在椭圆的参数方程 x=ON= |OA|cosθ=acosθ, 常数 a、b分别是椭 这是中心在原点 O, 中,通常规定参数 θ的 圆的长半轴长和短半轴 焦点在x轴上的椭圆的 y=NM= |OB|sinθ=bsinθ 范围为 长。 ? ? [0, 2? ) 参数方程。

? x ? a cos? ? M的参数方程为 (?为参数) ? ? y ? b sin?

2 2 x y 椭圆的标准方程: ? 2 ?1 2 a b ? x ? a cos ? 椭圆的参数方程: ? (?为参数) ? y ? b sin ?

y A
O

φ

B

φ
x

M N

椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ, 不是∠MOX=φ.

称为点M的离心角
y P θ O

圆的标准方程: x2+y2=r2

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOP=θ

A x


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