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2011年湖北省高考文科数学试题及答案(word完整版)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学试题(文史类) 本试题卷共 4 页,三大题 21 小题。全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用 0.5 毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域 内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 ?36 , ? , , ? ? U 1 , , ? , ? ,5 , 2 , , A, 3 B4 1.已知 U,4 7 ?5 ?, , ? ? A?B? ? ? ,58 17 2 则 A. ? 6 , 8 ? C. ? 4 , 6 , 7 ?
?
4

B. ? 5 , 7 ? D. ?1, 3, 5, 6,8?
?
6

?1 ? ?1 1 2.若向量 a ? ,2,b ? ,??,则 2a+b 与 a ? b 的夹角等于

A. ?

B.

C.

?
4

D.

3 ? 4

3.若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x ) 满足 f (x)?g(x) ?ex ,则 g ( x ) = A. e x ? e
? x

B. ( e x ? e )
2
2

1

? x

C. ( e
2

1

? x

? e )
x

D. ( e x ? e )
2

1

? x

4. 将两个顶点在抛物线 y ?2px(p ?0)上, 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n , 则 A. n ? 0 B. n ? 1 C. n ? 2 D.n ? 3 5.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如 图所 示,根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在 区间 ? 1 0 , 1 2 ? 内的频数为 ? A.18 B.36 C.54 D.72 x s ?oxx R n 6.已知函数 f( )? 3i x cs , ? ,若 f ( x ) ? 1 , 的取值范围为
x k ? x 2? ? ? ? A. ? |2? ? ? k ? ,k Z ? 3 ? ?

则 x

?

?

? ? ? x ? k ? Z B. ? |k ? ?x? ?? ,k? ?
? 3 ?

? 5 ? ? 5 ? ? ? ? ? C. ? |2? ? ? k ? ,k Z D. ? |k ? ? ? ? x k ? x 2? ?? x ? x k ? ,k Z ??
? 6 6 ? ? 6 6 ?

7.设球的体积为 V 1 ,它的内接正方体的体积为 V 2 ,下列说法中最合适的是 A. V 1 比 V 2 大约多一半 C. V 1 比 V 2 大约多一倍
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B. V 1 比 V 2 大约多两倍半 D. V 1 比 V 2 大约多一倍半
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? ? ? 8.直线 2 ?y? 0?0与不等式组 ? x 1 ? ? ?

x ? 0 y ? 0 x ? y ? ? 2 4 x ? 3 y ? 20

表示的平面区域的公共点有

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 9. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 A.1 升 B.
6 7 6 6



C.

4 7 4 4



D.

3 7 3 3



2 10.若实数 a,b 满足 a ? 0, b ? 0 ,且 a b ? 0 ,则称 a 与 b 互补,记 ?ab ? a ? 2 ? ? ,那么 (, ) b a b ?(a, b) ? 0 是 a 与 b 互补的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 一题两空的题,其答案按先后次序填写,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 11. 某市有大型超市 200 家、 中型超市 400 家、 小型超市 1400 家。 为掌握各类超市的营业情况, 现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市__________家。

1 ? ? 12. ? x ? ? 3 x ? ?

18

的展开式中含 x 1 5 的项的系数为__________。 (结果用数值表示)

13.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过 保质期饮料的概率为__________。 (结果用最简分数表示) 2 14.过点(—1,—2)的直线 l 被圆 x ? 2? x 2 ? ? 截得的弦长为 2 ,则直线 l 的斜率为 y 2? y 1 0 __________。 15.里氏震级 M 的计算公式为:M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,
A0

是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000,此时标准地

震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为 级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震最 大振幅的 倍。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 设 ? A B C 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a ?1 b ? 2,cosC ? , (I) 求 ? A B C 的周长; (II)求 cos( A ? C) 的值。
1 4

17. (本小题满分 12 分) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式;

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(II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 ? S n ?
?

?

5 ? ? 4 ?

是等比数列。

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2,侧棱
3 2





,点 E 在侧棱 A A 1 上,点 F 在侧棱 B B 1 上,且

AE ? 2 2 , B F ? 2 . (I) 求证: CF ? C1 E ;

(II) 求二面角 E ?CF ?C1 的大小。

19. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流 速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速度 0 20 为 60 千米/小时,研究表明:当 2 ?x? 0 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 0 (I)当 0?x?2 0时,求函数 v(x)的表达式; (II)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小 时) f (x) ?x?v(x)可以达到最大,并求出最大值。 (精确到 1 辆/小时) 。

20. (本小题满分 13 分) 2 设函数 f( )? 3? a2?x a g x ?x ?3 ?2, 其中 x ? R , b 为常数, a、 已知曲线 y ? f ( x ) x x 2x b ? , ( ) x 与 y ? g ( x ) 在点(2,0)处有相同的切线 l。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (II)若方程 f( )? ( )? x有三个互不相同的实根 0、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 ,且对任意的 x gx m
x ?? x1 , x2 ? , f() g ? ( ? 恒成立,求实数 x? () m 1 x x )

m 的取值范围。

21. (本小题满分 14 分) 平面内与两定点 A1 ? ? a , 0 ? 、 A 2 ? a , 0 ? ( a ? 0 )连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹, 加
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A

1


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A2

A
两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系; (Ⅱ)当 m ? ? 1 时,对应的曲线为 C 1 ;对给定的 m ? ( ? 1, 0 ) ? ( 0 , ?? ) ,对应的曲线为 C 2 ,设 F1 、
F2 是 C 2 的两个焦点。试问:在 C 1

上,是否存在点 N ,使得△ F1

N F2 的面积 S ? | m | a

2

。若存在,

求 ta n F1

N F2 的值;若不存在,请说明理由。

参考答案 一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 A 卷:1—5ACDCB 6—10ADBBC B 卷:1—5DCABC 6—10ADBBC 二、填空题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 25 分。 11.20 12.17 13.
28 145

14.1 或

17 7

15.6,10000

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 a b co s C ? 1 ? 4 ? 4 ?
? c ? 2.
? ?ABC

1 4

? 4

的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.
1 4
15 a sin C c 15 8

(Ⅱ)? co s C ?

,? sin C ?

1 ? co s C ?
2

1 2 1? ( ) ? 4

15 4

.

? sin A ?

?

4 2

?

? a ? c ,? A ? C
? co s A ?

,故 A 为锐角,
2

1 ? sin

A ?

1? (

15 8

)

2

?

7 8

.

? co s( A ? C ) ? co s A co s C ? sin A sin C ?

7 8

?

1 4

?

15 8

?

15 8

?

11 16

.

17.本小题主要考查等差数列,等比数列及其求和公式等基础知识,同时考查基本运算能力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a , a ? d 依题意,得 a ? d ? a ? a ? d ? 15, 解 得 a ? 5. 所以 { b n } 中的 b3 , b 4 , b5 依次为 7 ? d ,10,18 ? d .
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依题意,有 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100, 解 得 d ? 2 或 d ? ? 13 (舍去) 故 { b n } 的第 3 项为 5,公比为 2。 由 b3 ? b1 ? 2 2 , 即 5 ? b1 ? 2 2 , 解 得 b1 ? 所以 { b n } 是以
5 4

5 4

.
5 4
n?2

为首项,2 为以比的等比数列,其通项公式为 b n ?
5 (1 ? 2 )
n

?2

n ?1

? 5?2

n?3

(Ⅱ)数列 { b n } 的前 n 项和 S n ?
5 4
5

4 1? 2

? 5?2

n?2

?

5 4

,即 S n ?

5 4

? 5?2

所以 S 1 ?

?

5 2

S n ?1 ? , Sn ?
5 2

5 5?2 4 ? ? 2. n?2 5 5?2 4
n ?1

因此 { S n ? }是 以
4

为首项,公比为 2 的等比数列。

18.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法,同时考查空间想象能力和推 理论证能力。 (满分 12 分) 解法 1: (Ⅰ)由已知可得 C C 1 ? 3 2 , C E ? C 1 F ?
EF
2

2 ? (2 2 )
2

2

? 2 3

? A B ? ( A E ? B F ) , E F ? C1 E ?
2 2
2 2 2 2 2

2 ? ( 2)
2
2

2

?

6

于是有 E F ? C 1 E ? C 1 F , C E ? C 1 E ? C C 1 所以 C 1 E ? E F , C 1 E ? C E 又 E F ? C E ? E , 所 以 C1 E ? 平 面 C E F . 由 C F ? 平 面 C E F , 故 C F ? C1 E .

(Ⅱ)在 ? C E F 中,由(Ⅰ)可得 E F ? C F ? 6 , C E ? 2 3 于是有 EF2+CF2=CE2,所以 C F ? E F . 又由(Ⅰ)知 CF ? C1E,且 E F ? C 1 E ? E ,所以 CF ? 平面 C1EF, 又 C 1 F ? 平面 C1EF,故 CF ? C1F。 于是 ? E F C 1 即为二面角 E—CF—C1 的平面角。 由(Ⅰ)知 ? C 1 E F 是等腰直角三角形,所以 ? B F C 1 ? 4 5 ? ,即所求二面角 E—CF—C1 的大小 为 45? 。 解法 2:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得
A (0, 0, 0), B ( 3 ,1, 0), C (0, 2, 0), C 1 (0, 2, 3 2 ), E (0, 0, 2 2 ), F ( 3 ,1, ???? ? ??? ? (Ⅰ) C 1 E ? (0, ? 2, ? 2 ), C F ? ( 3 , ? 1, 2 ) ???? ??? ? ? C1 E ? C F ? 0 ? 2 ? 2 ? 0
? C F ? C1 E . ??? ? (Ⅱ) C E ? ( 0 ,? 2 , 2
m ? ( x, y, z )

2)

2 ,设平面 )

CEF 的一个法向量为

??? ? ??? ? ??? ? ? m ? C E ? 0, ? 由 m ? C E , m ? C F , 得 ? ???? ? m ? C F ? 0, ?

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即?

? ? 2 y ? 2 2 z ? 0, ? ? 3x ? y ? ? 2z ? 0

可 取 m ? (0,

2 ,1)

设侧面 BC1 的一个法向量为 n ,由 n ? B C , n ? C C 1 , 及 C B ? ( 3 , ? 1, 0 )
CC 1 ? ( 0 , 0 , 3 2 ), 可取 n ? (1,
|m ?n | |m |?| n |

??? ?

???? ?

??? ?

3 ,0 )

设二面角 E—CF—C1 的大小为θ ,于是由θ 为锐角可得
co s ? ? ? 6 3?2 ? 2 2

,所以 ? ? 4 5 ?

即所求二面角 E—CF—C1 的大小为 4 5 ? 。 19.本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。 (满 分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20时 , v ( x ) ? 60 ;当 20 ? x ? 200时 , 设 v ( x ) ? ax ? b
1 ? a ? ? , ? ? 2 0 0 a ? b ? 0, ? 3 再由已知得 ? 解得 ? ? 2 0 a ? b ? 6 0, ?b ? 200 . ? 3 ?
0 ? x ? 2 0, ? 6 0, ? 故函数 v ( x ) 的表达式为 v ( x ) ? ? 1 ? ( 2 0 0 ? x ), 2 0 ? x ? 2 0 0 ?3

(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得

0 ? x ? 2 0, ?60 x, ? f (x) ? ? 1 ? x ( 2 0 0 ? x ), 2 0 ? x ? 2 0 0 ?3

当 0 ? x ? 20时 , f ( x ) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200; 当 20 ? x ? 200 时, f ( x ) ?
1 3 x(200 ? x) ? 1 x ? (200 ? x) 2 10000 [ ] ? 3 2 3
10000

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立。 所以,当 x ? 1 0 0时 , f ( x ) 在区间[20,200]上取得最大值
. 3 10000 3

综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[0,200]上取得最大值

? 3333 。

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时。 20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证 的能力,以及函数与方程和特殊与一般的思想, (满分 13 分) ?( x ) ? 3 x 2 ? 4 a x ? b , g ?( x ) ? 2 x ? 3 . 解: (Ⅰ) f 由于曲线 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 在点(2,0)处有相同的切线, 故有 f (2) ? g (2) ? 0, f ?(2) ? g ?(2) ? 1. 由此得 ?
? 8 ? 8 a ? 2 b ? a ? 0, ?1 2 ? 8 a ? b ? 1, ? a ? ? 2, 解得 ? ?b ? 5.

所以 a ? ? 2, b ? 5 ,切线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? x 3 ? 4 x 2 ? 5 x ? 2 ,所以 f ( x ) ? g ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? 2 x . 依题意,方程 x ( x 2 ? 3 x ? 2 ? m ) ? 0 有三个互不相同的实数 0, x1 , x 2 ,
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故 x1 , x 2 是方程 x 2 ? 3 x ? 2 ? m ? 0 的两相异的实根。 所以 ? ? 9 ? 4 ( 2 ? m ) ? 0, 即 m ? ? .
4 1

又对任意的 x ? [ x1 , x 2 ], f ( x ) ? g ( x ) ? m ( x ? 1) 成立, 特别地,取 x ? x1 时, f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? m x1 ? ? m 成立,得 m ? 0 . 由韦达定理,可得 x1 ? x 2 ? 3 ? 0, x1 x 2 ? 2 ? m ? 0, 故 0 ? x1 ? x 2 . 对任意的 x ? [ x1 , x 2 ], 有 x - x 2 ? 0, x ? x1 ? 0, x ? 0 则 f ( x ) ? g ( x ) ? m x ? x ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0, 又 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? m x1 ? 0 所以函数 f ( x ) ? g ( x ) ? m x 在 x ? [ x1 , x 2 ] 的最大值为 0。 于是当 m ? 0 时,对任意的 x ? [ x1 , x 2 ], f ( x ) ? g ( x ) ? m ( x ? 1) 恒成立, 综上, m 的取值范围是 ( ? , 0 ).
4 1

20.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类 与整合和数形结合的思想。 (满分 14 分) 解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x , y ) , 当 x ? ? a 时,由条件可得 k M A ? k M A ?
1 2

y x?a

?

y x?a

?

y
2

2 2

x ?a

? m,

即 mx2 ? y2 ? ma2 (x ? ?a) , 又 A1 ( ? a , 0 ), A2 ( A , 0 ) 的坐标满足 m x 2 ? y 2 ? m a 2 , 故依题意,曲线 C 的方程为 m x 2 ? y 2 ? m a 2 . 当 m ? ? 1时 , 曲线 C 的方程为
x a
2 2

?

y

2 2

?ma
2 2

? 1, C

是焦点在 y 轴上的椭圆;

当 m ? ? 1 时,曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 ,C 是圆心在原点的圆; 当 ? 1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为 当m
? 0 时,曲线

x a

?
2 2

y

2 2

?ma

? 1 ,C

是焦点在 x 轴上的椭圆;

C 的方程为

x a

2 2

?

y

ma

? 1, C

是焦点在 x 轴上的双曲线。

(II)由(I)知,当 m=-1 时,C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 ; 当 m ? ( ? 1, 0) ? (0, ? ? ) 时, C2 的两个焦点分别为 F1 ( ? a 1 ? m , 0), F2 ( a 1 ? m , 0). 对于给定的 m ? ( ? 1, 0) ? (0, ? ? ) , C1 上存在点 N ( x 0 , y 0 )( y 0 ? 0 ) 使得 S ? | m | a 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, ? ?1 2 ? ? 2 a 1 ? m | y 0 |? | m | a . ?2

① ②
|m |a 1? m .

由①得 0 ? | y 0 |? a , 由②得 | y 0 |? 当0 ?
|m |a 1? m ? a ,即 1? 2 5

? m ? 0,

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或0 ? m ?

1? 2

5

时,

存在点 N,使 S=|m|a2; 当
|m |a 1? m
1? 2

? a ,即 -1<m<
5

1? 2

5

,

或m ?

时,
? ,0? ? ? ?

不存在满足条件的点 N,
? 1? 5 ? ? 0, ? 时, ? 2 ? ? 2 ? ???? ???? ? 由 N F1 ? ( ? a 1 ? m ? x 0 ? y 0 ), N F2 ? ( a 1 ? m ? x 0 , ? y 0 ) , ???? ???? ? 可得 N F1 ? N F2 ? x 02 ? (1 ? m ) a 2 ? y 02 ? ? m a 2 , ???? ???? ? 令 | N F1 |? r1 , | N F2 |? r2 , ? F1 N F2 ? ? ,

当m ? ?

?1 ?

5

2 ???? ???? ? ma 2 N F1 ? N F 2 ? r1 r2 co s ? ? ? m a , 可 得 r1 r2 ? ? 则由 co s ?



从而 S ?

1 2

r1 r2 sin ? ? ?

m a sin ?
2

2 co s ?

? ?

1 2

m a tan ?
2



于是由 S ? | m | a 2 , 可得 ?
1 2 m a tan ? ? | m | a , 即 tan ? ? ?
2 2

2|m | m

.

综上可得: 当m ? ?
? ?1 ? 2 5 ? , 0 ? 时,在 C1 上,存在点 ? ?

N,使得 S ? | m | a 2 , 且 tan F1 N F2 ? 2; N,使得 S ? | m | a 2 , 且 tan F1 N F2 ? ? 2; N。

当 m ? ? 0, ?
?

?

1?

5? ? 时,在 C1 上,存在点 2 ?
5 )?( 1? 2 5

当 m ( ? 1,

1? 2

, ? ? ) 时,在 C1 上,不存在满足条件的点

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