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全国通用2018高考数学大一轮复习平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第三课时定点定值存在性专题习题理

第三课时

定点、定值、存在性专题

【选题明细表】 知识点、方法 圆锥曲线的定点问题 圆锥曲线的定值问题 圆锥曲线的存在性问题 题号 1 2,5,6 3,4,7,8

1. 导学号 18702516 已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C 过点

P(1, ),直线 PF1 交 y 轴于 Q,且

=2

,O 为坐标

原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 是椭圆 C 的上顶点,过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆 C 于 A, B 两点,设这两条直线的斜率分别为 k1,k2,且 k1+k2=2,证明:直线 AB 过定点. (1)解:因为椭圆 C 过点 P(1, ),

所以 +

=1,①

因为

=2

,

所以 PF2⊥F1F2,则 c=1, 2 2 2 2 所以 a -b =1②,由①②得 a =2,b =1, 所以椭圆 C 的方程为 +y =1.
2

(2)证明:当直线 AB 的斜率不存在时,设 A(x0,y0),则 B(x0,-y0),由 k1+k2=2 得 x0=-1. 当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2), ? (1+2k )x +4kmx+2m -2=0,
2 2 2

+

=2,得

得 x1+x2=

,x1?x2=

,

1

k1+k2=2?

+

=2

?

=2,
2

即(2-2k)x2x1=(m-1)(x2+x1)? (2-2k)(2m -2)=(m-1)(-4km), 由于 m≠1,所以(1-k)(m+1)=-km? k=m+1, 即 y=kx+m=(m+1)x+m? m(x+1)=y-x. 综上得直线 AB 过定点(-1,-1). 2.(2016?河北衡水中学调考)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆

的短半轴长为半径的圆与直线

x-

y+12=0

相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 A(-4,0),过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P,Q 两点,连接 AP,AQ 分别 交直线 x= 于 M,N 两点,若直线 MR,NR 的斜率分别为 k1,k2,试问:k1k2 是否为定值?若是,求出 该定值,若不是,请说明理由.

解:(1)由题意得

所以

故椭圆 C 的方程为 + =1.

(2)是定值.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(xM,yM),N(xN,yN), 直线 PQ 的方程为 x=my+3, 联立 所以(3m +4)y +18my-21=0, 所以 y1+y2= ,y1y2= ,
2 2

由 A,P,M 三点共线可知

=

,

所以 yM=

,

2

同理可得 yN=

.

所以 k1k2=

?

=

=
2

,

因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m y1y2+7m(y1+y2)+49, 所以 k1k2= =- 为定值.

3. 导学号 18702517 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,且两个焦点和 短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P,Q 两 点. (1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 的斜率为 1 时,求△POQ 的面积; (3)在线段 OF 上是否存在点 M(m,0),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(1)设椭圆方程为 + =1(a>b>0), 根据题意得 b=c=1, 2 2 2 所以 a =b +c =2, 所以椭圆方程为 +y =1. (2)根据题意得直线 l 方程为 y=x-1, 解方程组 得 P,Q 坐标为(0,-1),( , ),
2

则|PQ|=

,

点 O 到直线 PQ 的距离为 ,

所以 S△POQ= . (3)存在.假设在线段 OF 上存在点 M(m,0)(0<m<1),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形, 因为直线 l 与 x 轴不垂直,所以设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). P,Q 坐标为(x1,y1),(x2,y2), 由 得,(1+2k )x -4k x+2k -2=0,
2 2 2 2

3

x1+x2=

,x1x2=

,



=(x1-m,y1),

=(x2-m,y2),其中 x1≠x2,

由于以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形, 所以| |=| |,

计算得 m=

(k≠0),

所以 0<m< .

即存在点 M(m,0)且 m 的范围为(0, ).

4.(2017?山东实验中学诊断)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的右焦点 F(1,0),过点 F 且与坐标 轴不垂直的直线与椭圆交于 P,Q 两点,当直线 PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为 60°. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,线段 OF 上是否存在点 T(t,0),使得 t 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)由题意知 c=1,又 =tan 60°= 所以 b =3, 2 2 2 a =b +c =4, 所以椭圆 C 的方程为 + =1.
2

?

=

?

?若存在,求出实数

,

(2)存在.设直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),代入 + =1,得 (3+4k )x -8k x+4k -12=0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点为 R(x0,y0), 则 x0= = ,y0=k(x0-1)=,
2 2 2 2

4



?

=

?



?(

+

)=

?(2

)=0,

所以直线 TR 为线段 PQ 的垂直平分线, 直线 TR 的方程为 y+ =- (x),

令 y=0 得 T 点的横坐标 t= 因为 k ∈(0,+∞),
2

=

,

所以 +4∈(4,+∞),所以 t∈(0, ).

所以线段 OF 上存在点 T(t,0)使得

?

=

?

,其中 t∈(0, ).

5. 导学号 18702518 已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点(

, ).

(1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l:y=kx+m(k≠0),与该椭圆交于 P,Q 两点,直线 OP,OQ 的斜率依次为 2 k1,k2,满足 4k=k1+k2,试问:当 k 变化时,m 是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若 不是,请说明理由.

解:(1)依题意可得

解得 a=2,b=1.

所以椭圆的方程是 +y =1. (2)当 k 变化时,m 为定值,证明如下: 由 得,(1+4k )x +8kmx+4(m -1)=0.
2 2 2 2

2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=-

,x1x2=

,(*)

因为直线 OP,OQ 的斜率依次为 k1,k2,且 4k=k1+k2, 所以 4k= + = + ,

5

得 2kx1x2=m(x1+x2), 将(*)代入得 m = , 经检验满足题意. 6.椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,P(m,0)为 C 的长轴上的一个动点,过 P 点斜率为 的直
2

线 l 交 C 于 A,B 两点.当 m=0 时, (1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2)证明:|PA| +|PB| 为定值. (1)解:因为离心率为 ,所以 = .

?

=- .

当 m=0 时,l 的方程为 y= x,

代入 + =1 并整理得 x = . 设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0), ? =- ==- ? .

2

又因为
2

?
2

=- ,

所以 a =25,b =16, 椭圆 C 的方程为 + =1.

(2)证明:l 的方程为 x= y+m,代入 + =1, 并整理得 25y +20my+8(m -25)=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 则|PA| =(x1-m) + =
2 2 2 2

,同理|PB| =

2

.

则|PA| +|PB| = (

2

2

+ )= [(y1+y2) -2y1y2]= ?[(-

2

)-

2

]=41.

6

所以|PA| +|PB| 是定值. 7. 导学号 18702520 已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x=2 的距离之比为 ,设动点 P 的轨 迹为曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A,B 两点,直线 l:y=mx+n 与曲线 E 交于 C,D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A,B 不重合). (1)求曲线 E 的方程; 2 2 (2)当直线 l 与圆 x +y =1 相切时,四边形 ACBD 的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及对 应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由. 解:(1)设点 P(x,y),由题意可得 = ,

2

2

整理可得 +y =1.

2

曲线 E 的方程是 +y =1. (2)有.设 C(x1,y1),D(x2,y2), 由已知可得|AB|= .

2

当 m=0 时,不合题意. 2 2 当 m≠0 时,由直线 l 与圆 x +y =1 相切, 可得
2 2

=1,

即 m +1=n . 联立

消去 y 得(m + )x +2mnx+n -1=0,

2

2

2

Δ =4m n -4(m + )(n -1)=2m >0,

2 2

2

2

2

x1=

,x2=

,

S 四边形 ACBD= |AB||x2-x1|=

=

≤ ,

当且仅当 2|m|=

,即 m=± 时等号成立,

7

此时 n=± ,经检验可知,

直线 l 的方程为 y= x- 或 y=- x+ 时四边形 ACBD 的面积最大,最大值为 . 8. 导学号 18702521 已知 A 是椭圆 M:x +5y =5 与 y 轴正半轴的交点,F 是椭圆 M 的右焦点,过 点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 B,C 两点. (1)若|OB|=|OC|,求 B,C 两点的坐标; (2)是否存在直线 l,使得|AB|=|AC|?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. 解:(1)由 x +5y =5 可得 +y =1, 所以 c=2, 所以 F(2,0),A(0,1). 由椭圆的对称性可知,满足|OB|=|OC|的直线 l 有两种: ①当直线 l⊥x 轴时,令 x=2,y=± .
2 2 2 2 2

所以 B,C 两点的坐标分别为(2, )和(2,- ).

②当直线 l 与 x 轴重合时,B,C 两点的坐标分别为(

,0)和(-

,0).

(2)存在.①易知,当直线 l 与 x 轴重合时,|AB|=|AC|, 此时直线 l 的方程为 y=0. ②当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 不符合题意. ③当直线 l 与坐标轴不垂直时,设过点 F 的直线的斜率为 k,直线 l 与椭圆 M 的交点 B(x1,y1),C(x2,y2),BC 的中点 N(x0,y0),则 l:y=k(x-2). 联立 得(1+5k )x -20k x+20k -5=0, 所以 x1+x2= .
2 2 2 2

所以 x0=

,y0=

,

所以要使|AB|=|AC|,只要 AN⊥BC. 所以 ?k=-1,

8

所以 5k -8k+1=0,所以 k=

2

,

所以直线 l 的方程为 y=

(x-2).

综上,符合题意的直线 l 的方程为 y=0 或 y=

(x-2).

9


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