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学高中数学第三章函数的应用..几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修-课件


3.2 3.2.1

函数模型及其应用 几类不同增长的函数模型
一、A 组 )

1.如果某工厂 12 月份的产量是 1 月份产量的 7 倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是( A.2 C. 1 答案:D 2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年,则函数 B.-2 D.-1
11

解析:设月平均增长率为 x,1 月份的产量为 a,则有 a(1+x) =7a,则 1+x=,故 x=-1.

y=f(x)的图象大致是(

)

解析:设该林区的森林原有蓄积量为 a, 由题意知 ax=a(1+0.104) ,即 y=log1.104x(x≥1), 所以 y=f(x)的图象大致为 D 中图象. 答案:D 3.现有一组实验数据如下: 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1 9 0 0 0 2 4.0 18. V 1.5 7.5 12 4 01
y

t

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( A.V=log2t B.V=lot C.V= D.V=2t-2 解析:当 t=4 时,选项 A 中的 V=log24=2, 选项 B 中的 V=lo4=-2, 选项 C 中的 V==7.5, 选项 D 中的 V=2×4=8,故选 C. 答案:C

)

4.已知光线通过一块玻璃其强度要失掉原来的,若要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,则至少 需要重叠这样的玻璃的块数是(lg 3≈0.477 1,不考虑其他损耗)( A.10 B.11 )

1

C.12 则 y=a(x∈N ), 令 y<a,即 aa,
*

D.13

解析:设原光线的强度为 a,重叠 x 块玻璃后,通过玻璃的光线强度为 y,

∴,∴x>. ∵≈10.4,即 x>10.4.
故选 B. 答案:B 5.若 a>1,n>0,则当 x 足够大时,a ,x ,logax 的大小关系是 解析:由三种函数的增长特点可知,当 x 足够大时,总有 logax<x <a . 答案:logax<x <a 个需经过
x
12

x

n

.
n x

n

x

6.某种细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂 1 次(由 1 个分裂成 2 个),这种细菌由 1 个分裂成 4 096 小时.
x

解析:设 1 个细菌分裂 x 次后有 y 个细菌,则 y=2 . 令 2 =4 096=2 ,则 x=12,即需分裂 12 次,需 12×15=180(分钟),即 3 小时. 答案:3 7. 导学号 29900131 画出函数 f(x)=与函数 g(x)=x -2 的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系. 解:函数 f(x)与 g(x)的图象如下.
2

根据图象可得: 当 0≤x<4 时,f(x)>g(x); 当 x=4 时,f(x)=g(x); 当 x>4 时,f(x)<g(x). 8. 导学号 29900132 某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本 2 元,铅笔每支 0.5 元,该店推出两种 优惠办法: (1)买一本软皮本赠送一支铅笔; (2)按总价的 92%付款. 现要买软皮本 4 本,铅笔若干支(不少于 4 支),若购买 x 支铅笔,付款为 y 元,试分别建立两种优惠 办法中 y 与 x 之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算? 解:由优惠办法(1)得到 y 与 x 的函数关系式为 y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4,且 x∈N). 由优惠办法(2)得到 y 与 x 的函数关系式为 y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4,且 x∈N). 令 0.5x+6=0.46x+7.36,解得 x=34,且当 4≤x<34 时,0.5x+6<0.46x+7.36,当 x>34 时,0.5x+6>0.46x+7.36.即当购买铅笔少于 34 支(不少于 4 支)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔 多于 34 支时,用优惠办法(2)合算;当购买铅笔 34 支时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一 样合算.

2

二、B 组 1.有一组实验数据如下表所示:

x1 2 3 4 5 1. 5. 13. 24. 3 y
5 9 4 1 7

下列所给函数模型较适合的是( A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax +b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
2

)

解析:通过所给数据可知 y 随 x 增大,其增长速度越来越快,而选项 A,D 中的函数增长速度越来越慢, 而选项 B 中的函数增长速度保持不变,故选 C. 答案:C 2.若 x∈(0,1),则下列结论正确的是( A.2 >>lg x B.2 >lg x> C.>2 >lg x D.lg x>>2
x x x x x

)

解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数 y=2 ,y=,y=lg x 的图象. 如图所示,由图可知当 x∈(0,1)时,2 >>lg x.
x

答案:A 3.已知某个病毒经 30 分钟可繁殖为原来的 2 倍,且病毒的繁殖规律为 y=e (其中 k 为常数,t 表示 时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k= 个. 解析:当 t=0.5 时,y=2,∴2=, ,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖
kt

∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2.
当 t=5 时,y=e
10ln 2

=210=1 024.

答案:2ln 2 1 024 4.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙 城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:

3

①骑自行车者比骑摩托车者早出发 3 h,晚到 1 h; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发 1.5 h 后追上了骑自行车者; ④骑摩托车者在出发 1.5 h 后与骑自行车者速度一样.
其中正确信息的序号是

.

解析:看横轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑 自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条线的交点的横坐 标对应着 4.5,故③正确,④错误. 答案:①②③ 5.每年的 3 月 12 日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某 市现有树木面积 10 万平方米,计划今后 5 年内扩大树木面积,有两种方案如下: 方案一:每年植树 1 万平方米; 方案二:每年树木面积比上年增加 9%. 你觉得哪个方案较好? 解:方案一:5 年后树木面积是 10+1×5=15(万平方米). 方案二:5 年后树木面积是 10(1+9%) ≈15.386(万平方米).
5

∵15.386>15,∴方案二较好.
6. 导学号 29900133 某地区今年 1 月、2 月、3 月患某种传染病的人数分别为 52,54,58.为了预测以 后各月的患病人数,甲选择了模型 y=ax +bx+c,乙选择了模型 y=p·q +r,其中 y 为患病人数,x 为月 份数,a,b,c,p,q,r 都是常数.结果 4 月、5 月、6 月份的患病人数分别为 66,82,115,你认为谁选择 的模型较好? 解:依题意得 即 解得
2

x

∴甲:y1=x2-x+52.又 ②-①,得 p·q2-p·q1=2,④ ③-②,得 p·q3-p·q2=4,⑤ ⑤÷④,得 q=2.
将 q=2 代入④式,得 p=1. 将 q=2,p=1 代入①式,得 r=50.

∴乙:y2=2x+50.
计算当 x=4 时,y1=64,y2=66; 当 x=5 时,y1=72,y2=82;

4

当 x=6 时,y1=82,y2=114. 可见,乙选择的模型较好.

5


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