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2016届河南省郑州市高三第二次模拟考试数学(文)试题(解析板)

2016 届河南省郑州市高三第二次模拟考试数学(文)试题(解析板)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应 首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目 要求的. ) 1.已知集合 A={x|x≥4},B={x|-1≤2x-1≤0},则 CRA∩B=( A. (4,+∞) 【答案】B. 【解析】 试题分析:由题意得, A ? [4, ??) , B ? [0, ] ,∴ CU A ? B ? [0, ] ,故选 B. 【考点】本题主要考查集合的关系.
2 2.命题“ ?x0 ≤0,使得 x0 ≥0”的否定是(

)

B.[0,

1 ] 2

C. (

1 ,4] 2

D. (1,4]

1 2

1 2

) B. ?x ≤0, x ≥0
2

A. ?x ≤0, x <0
2

2 C. ?x0 >0, x0 >0

2 D. ?x0 <0, x0 ≤0

【答案】A. 【解析】 试题分析:根据特称命题的否定是全称命题可知选 A,故选 A. 【考点】本题主要考查特称命题的否定. 3.定义运算

a, b z ,1+i =ad-bc,则符合条件 =0 的复数 z 对应的点在( 2,1 c, d
B.第二象限 C.第三象限

)

A.第一象限 【答案】A. 【解析】

D.第四象限

试题分析:由题意得, z ? 2(1 ? i) ? 0 ? z ? 2 ? 2i ,故在第一象限,故选 A. 【考点】本题主要考查复数的计算与复平面的概念.
1

4.设θ 为第四象限的角,cosθ = A.

4 ,则 sin2θ =( 5

)

7 25 7 25

C.- 【答案】D. 【解析】

24 25 24 D.- 25
B.

试题分析:∵ ? 是第四象限角,∴ sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ?
2

3 , 5

∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

24 ,故选 D. 25

【考点】本题主要考查三角恒等变换. 5.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( A.2014 C.2016 B.2015 D.2017 )

【答案】D. 【解析】 试题分析:分析程序框图可知,当 i 为偶数时, S ? 2017 ,当 i 为奇数时, S ? 2016 ,而程序在 i ? 0 时跳 出循环,故输出 S ? 2017 ,故选 D. 【考点】本题主要考查程序框图. 6.经过点(2,1) ,且渐近线与圆 x +( y-2) =1 相切的双曲线的标准方程为(
2 2

)

A.

x2 y 2 - =1 11 11 3

B.

x2 -y 2=1 2

C.

y 2 x2 - =1 11 11 3

D.

y2 x2 - =1 11 11 3
2

【答案】A. 【解析】

【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与直线与圆的位置关系.

? y≥1, ? 7.平面内满足约束条件 ? y≤2 x-1 ,的点(x,y)形成的区域为 M,区域 M 关于直线 2x+y=0 的对称 区 ? x+y≤8 ?
域为 M ? ,则区域 M 和区域 M ? 内最近的两点的距离为( A. ) D.

3 5 5

B.

4 5 5

C.

5 5 5

6 5 5

【答案】B. 【解析】 试题分析:由题意得, g ( x) ? sin[2( x ?

?

A:最大值为 1 正确,而 g ( ) ? 0 ,不关于直线 x ?

), 4 2 3? ? 3 ? , ) 时, 2 x ? (? ? , ) ,不满足单调 满足单调递减,显然 g ( x) 也是奇函数,故 B 正确;C:当 x ? ( ? 8 8 4 4 2? ?? , 递增,也不满足偶函数,故 C 错误;D:周期 T ? 2 2
2 3? 3 2 , 0) 对称,故选 B. g( ? ) ? ? ,故不关于点 ( 8 8 2
3

?

) ? ] ? sin(2 x ? ? ) ? ? sin 2 x , 4 2

?

?

对称,故 A 错误;B:当 x ? (0, ) 时,2 x ? (0,

?

?

【考点】本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质. 8.将函数 f(x)=-cos2x 的图象向右 平移 A.最大值为 1,图象关于直线 x= B.在(0,

? 个单位后得到函数 g(x) ,则 g(x)具有性质( 4

)

? 对称 2

? )上单调递减,为奇函数 4 3? ? C.在( - , )上单调递增,为偶函数 8 8 3?
D.周期为π ,图象关于点( 【答案】B. 【解析】 试题分析:由题意得, g ( x) ? sin[2( x ?

8

,0)对称

?

A:最大值为 1 正确,而 g ( ) ? 0 ,不关于直线 x ?

), 4 2 3? ? 3 ? , ) 时, 2 x ? (? ? , ) ,不满足单调 满足单调递减,显然 g ( x) 也是奇函数,故 B 正确;C:当 x ? ( ? 8 8 4 4 2? ?? , 递增,也不满足偶函数,故 C 错误;D:周期 T ? 2 2
2 3? 3 2 , 0) 对称,故选 B. ,故不关于点 ( g( ? ) ? ? 8 8 2
【考点】本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质. 9.如图是正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图,则其侧视图的面积是( A.4 C.6 B .5 D.7 )

?

) ? ] ? sin(2 x ? ? ) ? ? sin 2 x , 4 2

?

?

对称,故 A 错误;B:当 x ? (0, ) 时,2 x ? (0,

?

?

【答案】C.
4

【解析】 试题分析:由三视图可知,正三棱锥的侧棱长为 4 ,底面边长为 2 3 ,∴高 h ? 42 ? 22 ? 2 3 ,∴侧视 图的面积为 S ?

1 ? 2 3 ? 2 3 ? 6 ,故选 C. 2

【考点】本题主要考查空间几何体的三视图. 10.已知定义在 R 上的奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,当 0<x≤1 时,f(x)= log 1 x ,则
2

方程 f(x)-1=0 在(0,6)内的零点之和为( A.8 【答案】C. 【解析】 B.10 C.12

) D.16

试题分析:∵奇函数 f ( x ) 关于直线 x ? 1 对称,∴ f ( x) ? f (2 ? x) ? ? f (? x) , 即 f ( x) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) ,∴ f ( x ) 是周期函数,其周期 T ? 4 , 又∵当 x ? [?1, 0) 时, f ( x) ? ? log 1 (? x) ,故 f ( x ) 在 (0, 6) 上的函数图象如下图所示,
2

∴可知方程 f ( x ) ?

1 ? 0 在 (0, 6) 的根共有 4 个,其和为 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2 ? 10 ? 12 ,故选 C. 2

【考点】本题主要考查函数与方程. 11.设数列{ an }满足:a1=1,a2=3,且 2n an =(n-1) an-1 +(n+1) an+1 ,则 a20 的值是( 【答案】D. 【解题思路】∵ 2nan ? (n ?1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ,∴数列 {nan } 是以 a1 ? 1 为首项, 2a2 ? a1 ? 5 为公差的等
5

)

差数列,∴ 20a20 ? 1 ? 5 ?19 ? 96 ? a20 ? A.4

1 5

B.4

2 5

24 4 ? 4 ,故选 D. 5 5 3 4 C.4 D.4 5 5

【考点】本题主要考查数列的通项公式. 12.对 ?? ∈R,n∈[0,2],向量 c=(2n+3 cosα ,n-3sinα )的长度不超过 6 的概率为( A. )

5 10

B.

2 5 10

C.

3 5 10

D.

2 5 5

【答案】C. 【解析】 试题分析: | c |?

?

(2n ? 3cos ? ) 2 ? ( n ? 3cos ? ) 2 ? 5n2 ? 9 ? 6n sin ? ?12n cos ? ,

? ? 5n 2 ? 9 ? 6 5n sin(? ? ? ) ,∴要使 | c |? 6 对任意 ? ? R 都成立,
2 2 只需 5n ? 9 ? 6 5n ? 6 成立即可,即 5n ? 6 5n ? 9 ? 36 ? ?

9 3 5?n? 5, 5 5

3 5 ?0 3 5 3 又∵ n ? [0, 2] ,∴ 0 ? n ? ,故所求概率为 5 ? 5 ,故选 A. 5 2?0 10
【考点】本题主要考查平面向量的模长与几何概型.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22-24 题为选 考题.考生根据要求作答. 二、填空题(本 大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.曲线 f(x)= x -x+3 在点 P(1,3)处的切线方程是_________. 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 . 【解析】
2 试题分析:∵ y ' ? 3x ?1,∴当 x ? 1 时, y ' ? 2 , y ? 3 ,∴切线方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,
3

即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,故填: 2 x ? y ? 1 ? 0 . 【考点】本题主要考查导数的运用. 14.已知{ an }为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项,则 a1=_________.
6

【答案】 ?1 . 【解析】
2 试题分析:由题意得, a5 ? a3a11 ? (a1 ? 4)2 ? (a1 ? 2)(a1 ? 10) ? a1 ? ?1 ,故填: ?1 .

【考点】本题主要考查等差数列等比数列的性质及其运算. 15.已知正数 x,y 满足 x +2xy-3=0,则 2x+y 的最小值是___________. 【答案】 3 . 【解析】 试题分析:由题意得, y ?
2

3 ? x2 3 ? x 2 3x 2 ? 3 3 1 ? ? (x ? ) ? 3 , ,∴ 2 x ? y ? 2 x ? 2x 2x 2x 2 x

当且仅当 x ? y ? 1 时,等号成立,故填: 3 . 【考点】本题主要考查基本不等式求最值. 16.在正三棱锥 V—ABC 内,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切, 若半球的半径为 2, 则正三棱锥的体积最小时,其高等于__________. 【答案】 2 3 . 【解析】

【考点】本题主要考查球的性质与导数的运用. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
7

17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos2C-cos2A=2sin( -C ) . (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a= 3 且 b≥a,求 2b-c 的取值范围. 【答案】 (1) A ? 【解析】 试题分析:本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的 能力、 转化能力、 计算能力. 第一问, 利用倍角公式以及两角和与差的正弦公式化简表达式, 解出 sin A ? 再确定角;第二问,由正弦定理将边转化成角,再利用内角和将 C 转化为 B ,最后求三角函数值域.

? + 3

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

C) ·sin(

? 3

?
3



2? ; (2) [ 3, 2 3) . 3

3 , 2

? 2 2 试题解析: (1)由已知得 2sin A ? 2sin C ? 2 ? ? cos C ? sin C ? ,………2 分
2 2

3 ?4

1 4

?

化简得 sin A ?

? 2? 3 ,故 A ? 或 .………………………………5 分 3 3 2

b c a ? ? ? 2 ,得 b ? 2sin B, c ? 2sin C ,…7 分 sin B sin C sin A ? 2? ? ? ? 因为 b ? a ,所以 ? B ? , ? B ? ? ,………9 分 3 3 6 6 2 2? ? B) = 3sin B ? 3 cos B 故 2b ? c ? 4sin B ? 2sin C ? 4sin B ? 2sin( 3
(2)由正弦定理

? 2 3 sin( B ? ). 6
所以 2b ? c ? 2 3 sin( B ?

?

……………………………11 分

?
6

) ? [ 3, 2 3) . ………12 分

考点:本题主要考查:1.正余弦定理解三角形;2.三角恒等变换. 18. (本小题满分 12 分) 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机抽调了 50 人, 他们年龄的频数分布及支持 “生育二胎”人数如下表:

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有 99%的把 握认为以 45 岁为分界点对“生育二
8

胎放开”政策的支持度有差异;

(Ⅱ)若对年龄在[5,15)的被调查人中各随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开” 的概率是多少? 参考数据:

【答案】 (1)没有把握; (2) 【解析】

3 . 5

试题分析: 本题主要考查独立性检验、离散型随机变量的概率分布及其期望等基础知识,考查学生的分析问 题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问,由频率分布表读出列联表中所需数据,利用 k 的公式 计算,再与表中数据作比较,得出结论;第二问,将这 5 人用字母表示,将任取 2 人的情况一一列出,共 10 种,在这 10 种中选出符合题意的共 6 种,最后计算概率. 试题解析:(Ⅰ)2 乘 2 列联表 年龄不低于 45 岁的人数 支持 不支持 合 计 年龄低于 45 岁的人数 合计 32 18 50 ……………………………2 分
2

a?3

c ? 29

b?7
10

d ? 11
40

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 K ? ? 6.27 < 6.635 ………………4 分 ? 3 ? 7 ?? 29 ? 11??3 ? 29?? 7 ? 11?
2

所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. ………………5 分

( Ⅱ ) 设 年 龄 在 [5,15) 中 支 持 “ 生 育 二 胎 ” 的 4 人 分 别 为 a,b,c,d, 不 支 持 “ 生 育 二 胎 ” 的 人 记 为
9

M, ………………6 分 则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有: (a,b), (a,c), (a,d), (a, M), (b,c), (b,d),(b, M), (c, d), (c, M),(d, M).…………8 分 设“恰好这两人都支持“生育二胎” ”为事件 A,………………9 分 则事件 A 所有可能的结果有: (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c, d), ∴ P ? A? ?

6 3 ? . ………………11 分 10 5

所以对年龄在 [5,15) 的被调查人中随机选取两人进行调查时 , 恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为

3 .………………12 分 5
考点:本题主要考查:1.独立性检验;2.离散型随机变量的概率分布及其期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四边形 BFED 为矩形, 平面 BFED⊥平面 ABCD,BF=1. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 BFED; (Ⅱ)已知点 P 在线段 EF 上,

EP =2.求三棱锥 E-APD 的体积. PF

【答案】 (1)证明详见解析; (2) 【解析】

3 . 9

试题分析: 本题主要考查线面垂直的判定与性质、 空间几何 体体积等基础知识, 考查学生的分析问题解决问 题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问,在 ?ABD 中,利用余弦定理计算出 BD 的 值,可以看出, AB, AD, BD 符合勾股定理,得到 AD ? BD ,再由面面垂直的性质定理得线面垂直,从而 得 DE ? AD , 最后由线面垂直的判定定理得到结论; 第二问, 由线面垂直的性质得 PE ? 平面ADE, 即 PE
10

是锥体的高,用等体积转化法将 VB? APD 转化为 VP? ADB ,用体积公式计算. 试题解析:(1)在梯形 ABCD 中, ∵ AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? 1, ?BCD ? 120o , ∴ AB ? 2. ∴ BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ? cos 60 ? 3. …………………2 分
2 2 2 o

∴ AB2 ? AD2 ? BD2 , ∴ AD ? BD.

∵平面 BFED ? 平面 ABCD,

平面 BFED ? 平面 ABCD ? BD, DE ? 平面BEFD , DE ? DB, ∴ DE ? 平面ABCD, …………………4 分 …………………6 分

∴ DE ? AD, 又 DE ? BD ? D, ∴ AD ? 平面BFED. (2)由(1)知 BD ⊥平面 ADE , …………………8 分

∵ BD // EF , ∴ PE ? 平面ADE, 且 PE ?

2 3 . 3

…………………10 分

∴ VE ? APD ? VP ? ADE ?

1 1 1 2 3 3 …………………12 分 S?ADE | PE |? ? ? ? 3 3 2 3 9

[

考点:本题主要考查:1.线面垂直 的判定与性质;2.空间几何体体积计算.

20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 的方程是 mx 2+ny 2= ,且曲线 C 过 A( 1(m>0,n>0)

6 2 2 , ) ,B( , 6 4 2

3 )两点,O 为坐标原点. 3
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)是曲线 C 上两点,向量 p=( m x1, n y1) ,q=( m x2, n y2) ,

且 p·q=0,若直线 MN 过(0,

3 ) ,求直线 MN 的斜率. 2

2 2 【答案】 (1) y ? 4x ? 1. ; ( 2) k ? ? 2 .

【解析】
11

试题分析: 本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查学生的分析问 题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问,曲线过 A, B 两点,将 A, B 点的坐标代入曲线方程中, 即可得到 m, n ,即可求出曲线方程;第二问,直线与椭圆方程联立消参,用韦达定理得到 x1 ? x2 , x1 x2 , 代入 p ? q ? 0 中解出 k 的值.

? ? ?

1 ?1 m ? n ?1 ? ?8 2 试题解析: (1)由题可得: ? ,解得 m ? 4, n ? 1. ?1 m ? 1 n ? 1 ? 3 ?6
所以曲线 C 方程为 y2 ? 4x 2 ? 1. (2)设直线 MN 的方程为 y ? kx ? ........4 分

3 ,代入椭圆方程为 y 2 ? 4 x 2 ? 1 得: 2

1 1 ? ? 3k (k ? 4) x ? 3kx ? ? 0. ∴ x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 4 , …………6 分 4 k ?4 k ?4 u r r ∴ p ? q ? (2 x1 , y1 ) ? (2 x2 , y2 ) = 4 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 …………8 分
2 2

1 3 ? k2 k ? (? 3k ) ?1 3 ? 24 ? 2 2 ? ?0 ∴ 2 k ?4 k ?4 k ?4 4
即 k 2 ? 2 ? 0, k ? ? 2 ................12 分

…………10 分

考点:本题主要考查:1.椭圆的标准方程及其性质;2.直线与椭圆的位置关系.

21. (本小题满分 12 分)

ex 已知函数 f(x)= . x-m
(Ⅰ)讨论函数 y=f(x)在 x∈(m,+∞)上的单调性; (Ⅱ)若 m∈(0,
2

1 ],则当 x∈[m,m+1]时,函数 y=f(x)的图象是否总在函数 2

g(x)= x +x 图象上方?请写出判断过程. 【答案】 (1) f ( x)在(m,m+1)上单调递减,在(m+1,+?)上单调递增.; (2)证明详见解析. 【解析】
12

试题分析: 本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立 问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问,对 f ( x ) 求导,利 用 f ' ( x) ? 0 和 f ' ( x) ? 0 ,判断并求出函数的单调区间;第二问,将 m∈(0, 函数 y=f(x)的图象是否总在函数
2
[]

1 ],则当 x∈[m,m+1]时, 2

g(x)= x +x 图象上方转化为 f ( x)min ? g ( x)max ,先求出最值,再比较两个最值的大小,构造函数 m( x) , 通过二次求导,判断函数 m( x) 的最小值,确定 m( x) 的最小值的正负,从而确定前面两个最值的大小. 试题解析: (1) f ( x) ?
'

e x ( x ? m) ? e x e x ( x ? m ? 1) ? , ( x ? m)2 ( x ? m)2

当x ? (m, m ? 1)时,f ' ( x) ? 0 , 当x ? (m ? 1, ??)时,f ' ( x) ? 0 ,
所以 f ( x)在(m,m+1)上单调递减,在(m+1,+?)上单调递增..…………4 分 (2)由(1)知 f ( x)在(m,m+1)上单调递减, 所以其最小值为 f (m ? 1) ? em?1 . 因为 m ? (0, ] , g ( x) 在 x ?[m, m ? 1] 最大值为 (m ? 1)2 ? m ? 1.
x

1 2

…………6 分

2 所以下面判断 f (m ? 1) 与 (m ? 1) ? m ? 1 的大小,即判断 e 与 (1 ? x) x 的大小,其中 x ? m ? 1? ?1, ? . 2

? 3? ? ?

令 m( x) ? e ? (1 ? x) x , m ( x) ? e ? 2 x ? 1,令 h( x) ? m ( x) ,则 h ( x) ? e ? 2,
x ' x
' ' x

因 x ? m ? 1? ?1, ? 所以 h ( x) ? e ? 2 ? 0 , m ( x) 单调递增;…………8 分 2
' x

? 3? ? ?

'

13 3 所以 m (1) ? e ? 3 ? 0 , m ( ) ? e 2 ? 4 ? 0 故存在 x≥ ? . 2 2
'
'

3

使得 m ( x0 ) ? e
'

x0

? 2x0 ? 1 ? 0
? ? 3? 2?

所以 m( x ) 在 ?1, x 0 ?上单调递减,在 ? x0 , ? 单调 递增 …………10 分 所以 m( x) ? m( x0 ) ? e
x0 2 2 ? x0 ? x0 ? 2x0 ? 1 ? x0 ? x0 ? ?x0 ? x0 ? 1 2

所以 x 0 ? ?1, ? 时, m( x0 ) ? ? x0 ? x0 ? 1 ? 0 2
2

? 3? ? ?

13

即 e x ? (1 ? x) x 也即 f (m ? 1) ? (m ? 1)2 ? m ? 1 所以函数 y ? f ( x) 的图象总在函数 g ( x) ? x2 ? x 图象上方.?????..12 分 考点:本题主要考查导数的运用.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时,用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 A 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连结 BF 并延长交 CD 于点 E. (Ⅰ)求证:E 为 CD 的中点; (Ⅱ)求 EF·FB 的值.

【答案】 (1)证明详见解析; (2) 【解析】

4 . 5

试题分析: 本题主要考查圆的基本性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查学生的分 析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力 . 第一问,用两次切割线定理分别得到 ED ? EF ? EB 和
2

EC 2 ? EF ? EB ,从而得 EC ? ED ,所以 E 为 CD 中点; 第二问, 由 BC 为直径, 得 CF ? BF , 在 ?BCE
中,用三角形的不同的面积公式列出等式,解出 CF 的长,最后由射影定理得到结论.

? 试题解析: (Ⅰ)由题可知 BD 是以为 A 圆心, DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,
∴ ED 为圆 A 的切线. 依据切割线定理得 ED 2 ? EF ? EB . ………………………………2 分 ∵圆 O 以 BC 为直径,∴ EC 是圆 O 的切线,
14

同样依据切割线定理得 EC 2 ? EF ? EB .……………………………4 分 故 EC ? ED . ∴ E 为 CD 的中点. ……………………………5 分 (Ⅱ)连结 CF ,∵ BC 为圆 O 的直径, ∴ CF ? BF 由 S ?BCE ? 得 CF ? ………………………………6 分

1 1 1 1 BC ? BE ? CE ? BF S ?BCE ? BC ? CE ? BE ? CF 2 2 2 2

1? 2 2 5 …………………………8 分 ? 5 5

4 EF ? FB ? CF 2 ? . 5 ……………………10 分 又在 Rt ?BCE 中,由射影定理得

考点:本题主要考查:1.圆的基本性质;2.切线的性质;3.相似三角形的判定与性质.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C: ( x- ,且倾斜角为 1) +y = 1.直线 l 经过点 P(m,0) 以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (Ⅰ)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求实数 m 的值.
2 2

? .O 为极点, 6

? 3 x ? m? t ? ? 2 2 【答案】 (1) ? ? 2? cos? ; ? ; ( 2) m ? 1,1 ? 2或1 ? 2 . ?y ? 1 t ? ? 2
【解析】
15

试题分析: 本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知 识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问,用 x 2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos ? 化 简表达式,得到曲线 C 的极坐标方程,由已知点和倾斜角得到直线的参数方程;第二问,直线方程与曲线 方程联立,消参,解出 m 的值. 试题解析:(1)曲线C的普通方程为: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1,即x2 ? y 2 ? 2x, 即 ? 2 ? 2? cos? ,

即曲线C的极坐标方程为: ? ? 2cos? .

…………2 分

? 3 x ? m? t ? ? 2 直线l的参数方程为 ? (t为参数). ?y ? 1 t ? ? 2

…………5 分

(2) 设A, B两点对应的参数分别为t1 , t2 , 将直线l的参数方程代入 x2 ? y 2 ? 2x中,

得t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0, 所以t1t2 ? m2 ? 2m , …………8 分

由题意得 | m2 ? 2m |? 1, 得m ? 1,1 ? 2或1 ? 2

…………10 分

考点:本题主要考查:1.极坐标方程,参数方程与直角方程的相互转化;2.直线与抛物线的位置关系.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+6|-|m-x|(m∈R) . (Ⅰ)当 m=3 时,求不等式 f(x)≥5 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 【答案】 (1) ?x | x ? 1 (2) [ ?13,1] . ?; 【解析】 试题分析: 本题主要考查绝对值不等式、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题 解决问题的能力、转 化能力、计算能力. 第一问,用零点分段法去掉绝对值,将绝对值不等式转化为不等式组求解;第二问,将 不等式 f(x)≤7 对任意实数 x 恒成立,转化为 f ( x)max ? 7 ,利用不等式的性质求 f ( x ) 的最大值,代入后 解绝对值不等式得到 m 的取值范围.

16

考点:本题主要考查:1.绝对值不等式;2.恒成立问题.

17


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