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2015高考数学(理)一轮复习配套课件7-7立体几何中的向量方法_图文

第七章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量. 2. 能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的垂 直、平行关系. 3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括 三垂线定理). 4. 能用向量方法解决直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的夹 角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 1 个必知趋势——向量法解立体几何问题 用向量法解立体几何问题是新课标高考形式的主趋势,掌握向量 法解立体几何问题的方法,可以使几何论证问题化难为易,可以 使立体几何中空间角、空间距离的求法公式化. 2 个必记提醒——向量法应用中的两个注意事项 (1)用向量证明平行、垂直时,要注意解题的规范性.如证明线面 平行时,仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外. (2)当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时, 就是该异面直 线的所成角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才 是异面直线的所成角. 3 种必会方法——利用向量法求三种角 (1)求两异面直线 a、b 的所成角 θ,须求出它们的方向向量 a,b 的夹角,则 cosθ=|cos〈a,b〉|. (2)求直线 l 与平面 α 所成的角 θ,可先求出平面 α 的法向量 n 与 直线 l 的方向向量 a 的夹角.则 sinθ=|cos〈n,a〉|. (3)求二面角 α-l-β 的大小 θ,可先求出两个平面的法向量 n1, n2 所成的角,则 θ=〈n1, n2〉或 π-〈n1,n2〉. 01抓住3个必备考点 考点 1 直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量 直线 l 上的向量 e 或与 e 共线 的向量叫做直线 l 的方向向 量,显然一条直线的方向向量有 无数 个. 2.平面的法向量 如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α,则称这 个向量垂直于平面 α, 记作 n⊥α, 此时向量 n 叫做平面 α 的法向 量. 显然一个平面的法向量也有 无数 个,且它们是 共线 向 量. 3.设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α,β 的法向 量分别为 u,v,则 l∥m?a∥b?a=kb,k∈R; l⊥m?a⊥b?a· b=0; l∥α?a⊥u?a· u=0; l⊥α?a∥u?a=ku,k∈R; α∥β?u∥v?u=kv,k∈R; α⊥β?u⊥v?u· v=0. [想一想] 在求平面法向量时,所列方程组中有三个变量, 但只有两个方程,如何处理? 提示:给其中某一变量恰当赋值,求出该方程组的一组非零 解,即可以作为平面法向量的坐标. [判一判] “×”). 下 列 命 题 是 否 正 确 ( 请 在 括 号 内 填 “√” 或 (1)若 n1, n2 分别是平面 α、 β 的法向量, 则 n1∥n2?α∥β.(×) (2)若 n1, n2 分别是平面 α、 β 内的向量, 则 α∥β?n1∥n2.(×) (3)若 n1 是直线 l 的一个方向向量,n2 是平面 α 的一个法向 量,则 l∥α?n1⊥n2.(×) (4)若 n1=(-7,3,4),n2=(x,y,8)分别是两直线 l1、l2 的方向 向量,若 l1∥l2,则 x+y=-8.(√) 提示:(1)中,若 n1∥n2,则 α∥β 不成立,可能重合,故(1) 不正确;对于(2)显然不成立;对于(3),若 n1⊥n2,则 l∥α 不成 x y 立,有可能 l?α,所以(3)不正确;对于(4),若 l1∥l2,则 =3 -7 8 = ,∴x=-14,y=6,∴x+y=-8,故(4)正确. 4 考点 2 空间向量与空间角的关系 1.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 a,b 的方向向量分别为 a,b,其夹角为 θ, |a· b| 则 cosφ=|cosθ|= |a||b| (其中 φ 为异面直线 a,b 所成的角).范 π 围是(0,2]. 2.直线和平面所成角的求法 如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面 α 的法向量为 n, 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ,两向量 e 与 n 的夹角为 θ,则有 |e· n| π | e || n | sinφ=|cosθ|= .取值范围是[0, ]. 2 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB、CD 是二面角 α-l-β 的两个半平面内与棱 → → l 垂直的直线,则二面角的大小 θ= 〈AB,CD〉 . (2)如图②③, n1 , n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α, β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足 cosθ=cos〈n1,n2〉或-cos 〈n1,n2〉 .取值范围是[0,π]. [填一填] (1) 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是 a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,这条斜线与 平面所成的角是 60° . (2)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两 平面所成的二面角的大小为 45° 或 135° . (3)已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向 1 量,若 cos〈m,n〉=- ,则 l 与 α 所成的角为 30° . 2 1 1 提示:(1)∵cos〈a,b〉= =2, 2· 2 又∵〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=60° . m· n 1 2 (2)cos〈m,n〉= = = , |m||n| 1× 2 2 即〈m,n〉=45° ,其补角为 135° , ∴两平面所成的二面角为 45° 或 135° . (3)设 l 与 α 所成的角为 θ, 1 则 sinθ=|cos〈m,n〉|=2,∴θ=30° . 考点 3 求空间的距离 1.点到平面的距离 如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量, → |AB·

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