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恒成立问题常见类型及其解法


恒成立问题 常见类型及解法

“恒成立”问题是数学中常见的问题,涉 及到一次函数、二次函数、指数函数、对数 函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维 的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问 题在解题过程中解法通常有:①变量分离法; ②构造函数法;③更换主元法;④数形结合 法.

一、变量分离法:
例1:当x∈[1,2]时,ax-2>0恒成立,求a的取值范围.

1 1 ? ? [ ,1] , x 2

解: x ? [1,2]时,ax - 2 ? 0恒成立 ? 2 ? x ? [1,2]时,a ? 恒成立 x
2 ? [1,2] x

?a ? 2

变量分离法:将不等式中的两个变量分别置于不等号 的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求 解. 若a ? f ( x)恒成立,则 ? [ f ( x)] . a
max

若a ? f ( x)恒成立,则 ? [ f ( x)]min. a

例2: 当 x ? (1, 2)时,不等式 x

2

? mx ? 4 ? 0

恒成立,求 m 的取值范围.
解:当 得

x ? (1,2) 时,由 x ? mx ? 4 ? 0
2

x ?4 m?? x
2

.令

x ?4 4 f ( x) ? ? x? x x
2

则易知 所以

f ( x) 在 (1, 2) 上是减函数,

f ( x)max ? f (1) ? 5 ,∴ m ? ?5 .

二、构造函数法:
思考:当x ?[m, n]时,ax ? b ? 0恒成立的条件是什么?

考虑函数f ( x) ? ax ? b的图像
y
y y

o

m

n

x

o

m

n

x

o

m

n

x

? f (m) ? 0 结论:当x ?[m, n]时,f ( x) ? ax ? b ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0 ? f (m) ? 0 当x ?[m, n]时,f ( x) ? ax ? b ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0

例1:当x∈[1,2]时,ax-2>0恒成立,求a的取值范围.

解:令f ( x) ? ax - 2,则 ? f (1) ? a - 2 ? 0 ? ? f (2) ? 2a - 2 ? 0

?a ?1

例2: 当 x ? (1, 2)时,不等式 x

2

? mx ? 4 ? 0

恒成立,求 m 的取值范围.
解:设f ( x ) ? x 2 ? m x ? 4,则 ? f (1) ? 1 ? m ? 4 ? 0 ? ? f ( 2) ? 4 ? 2 m ? 4 ? 0

解得:m ? -5

例3:不等式 x ? xp ? 1 ? p ? 2 x 对 x ? ?1, ?? ? 恒成 立,求 p 的范围。
2

解:原不等式可转化为 f 对 x ? 1, ?? 恒成立

?

?

? x ? ? x ? ? p ? 2? x ? 1 ? p ? 0
2

ⅰ)当 ? ? ? p ? 2 ? ? 4 ?1 ? p ? ? 0时,即?8 ? p ? 0 时,对一切
2

ⅱ)当 ? ? ? p ? 2 ? ? 4 ?1 ? p ? ? 0
2

f ? x ? ? 0恒成立;

? ?? ? 0 ? ? f (1) ? 0 ? p?2 ?? ? 1, ? 2

时由图可得以下充要条件:
y

得 p?0
o 1 x

? 综合可得 p 的取值范围为? ?8, ??.

变式:不等式 x ? xp ? 1 ? p ? 2x 对 x ? ?1, ??? 恒 p 成立,求 的范围. 2 原不等式等价于 ? x ? 1? p ? ? ? x ? 2 x ? 1? 另解:
2

?x ?1
2

? x ?1 ? 0
2



x ? 2 x ? 1 ? x ? 1? ? 4 ? x ? 1? ? 4 4 ? ? p?? ?? ? ? ?? x ? 1? ? 4 ? x ?1 x ?1 x ? 1? ? ?

令t=x-1>0,则p>-[t+4+4/t]∈(-∞,-8]

? p ? ?8

例4:设 lg ? x ? 3 ? x ? 7 ? ? a ? 0 ,如果 x ? R 恒成立, a 的范围. 求 解:原不等式等价于lg ? x ? 3 ? x ? 7 ? ? a

设 f ? x? ? x ? 3 ? x ? 7
可求得 f ? x ? ? 10

? lg ? x ? 3 ? x ? 7 ? ? lg10 ? 1

?a ?1

三. 变换主元法:
例5.对任意a ?[-1,1],不等式x 2 ? (a - 4) x ? 4 - 2a ? 0 恒成立,求 的取值范围 x . 解:原问题转化为对任 a ? [-1,1], 意

不等式( x - 2)a ? x - 4 x ? 4 ? 0恒成立
2

令f (a) ? ( x - 2)a ? x - 4 x ? 4
2

? f (1) ? 0 ?? 解得x ? 1或x ? 3. ? f (-1) ? 0

? x的取值范围为 ?,1) ? (3,??). (-

数形结合法 4.数形结合法

数形结合思想在高考中占有非常 重要的地位,其“数”与“形”结 合,相互渗透,把代数式的精确刻 划与几何图形的直观描述相结合, 使代数问题、几何问题相互转化, 使抽象思维和形象思维有机结合.应 用数形结合思想,要熟练掌握一些 概念和运算的几何意义及常见曲线 的代数特征.

解:设 y1 ? ? x ? 1? , y2 ? log a x 则 y1 的图象为下图所示的抛物线,
y y1=(x-1)2 y y1=(x-1)2 y2=logax

例6:当 x ? ?1, 2? 时,不等式 ? x ? 1? ? log a x 恒成立,求a 2的范围.
2

1 o 1 2 x y2=logax

1 o 1 2 x

0 ? a ?1

a ?1

y 显然 a ? 1 , 要使对一切 x ? ?1, 2?, 1 ? y2 恒成立,
y 并且必须也只需当 x ? 2 时, 2 的函数值大于 y1 的函数值即可。

? loga 2 ? 1且a ? 1 ?1 ? a ? 2

数形结合法 f ( x) ? g ( x)恒成立 ? 函数f ( x)图像恒在函数g ( x)图像上方 f ( x) ? g ( x)恒成立 ? 函数f ( x)图像恒在函数g ( x)图像下方

归纳

实质

变量分离 构造函数 变换主元
数形结合

通过构造 函数,化归 到函数的 性质(最值) 或图像解决

1.已知函数y ? mx ? 6mx? m ? 8 的定义域为R,求实数m的取值范围.
2

解:依题意得,即当 x ? R 时,

mx 2 ? 6 mx ? m ? 8 ? 0 恒成立
当 m ? 0 时, x ? R
?m ? 0 ?m ? 0 当 m ? 0 时,应 ?? ? 0 ,即 ?(?6m) 2 ? 4m(m ? 8) ? 0 ? ?

解得 0 ? m ? 1 故 0 ? m ? 1 即所求范围。

x4 ? 2x2 ? 4 2.若对一切实数x,不等式 ?1 2 m( x ? 2) 均成立,求实数m的取值范围.
解:由题意,知 m ? 0 ,因此原不等式恒成立等价于 x4 ? 2x2 ? 4 4 4 m? ? x2 ? 2 ? ( x 2 ? 2) ? 2 ? 2 恒成立 2 x ?2 x ?2 x ?2

4 令 t ? x ? 2, y ? t ? (t ? 2) t
2

函数 y ? t ?

4 在 [ 2,? ? ) 上为增函数 t

所以 t ? 2 时, y min ? 4 要使不等式 m ? ( x 2 ? 2 ) ?
4 ? 2 恒成立 2 x ?2

只要 m ? y min ? 2 ,所以 m ? 2 ,又 m ? 0 ,所以所求范围是 0 ? m ? 2

3.对于二次函数 ( x) ? ax2 ? x(a ? 0),如果x ? [0,1] f 时, ( x) ? 1恒成立,求实数 的取值范围 f a .
解:因为ax2 ? 1 ? 1,所以- 1 - x ? ax2 ? 1 - x (1)当x ? 0时, ? 0 ? 1恒成立. -1

1 1 ? a?- 2 ? 1 1 1 1 ? x x (2)当x ? (0,1]时, 2 - ? a ? 2 - , 即? 在(0, ,1]上恒成立. x x x x ?a ? 1 - 1 ? x2 x ? 1 令t ? ? 1, x 1 1 1 1 - 2 - 化为关于t的函数u ? -t 2 - t ? -(t ? ) 2 ? ,u max ? -2 x x 2 4 1 1 1 2 1 2 - 化为关于t的函数v ? t - t ? (t - ) - ,vmin ? 0 2 x x 2 4 要是不等式恒成立,应 u max ? a ? vmin,故 - 1 ? a ? 0 有 综上所述,如果 ? [0,1]时, ( x) ? 1恒成立,则- 2 ? a ? 0 x f

1.若函数 y=x2-ax-6a 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,且线段 AB 的长不超过 5,求实数 a 的取值范围. 2. 若方程 7x -(k+13)x+k -k-2=0(k 为常数)有两个实数根 α,β,且 0<α<1<β<2,求实数 k 的取值范围. 3.设二次函数 f(x)=x2+(m-3)x-m.若函数 y=f(x)的图象与 x 轴有两个交点,且两个交点不都在 x 轴的正半轴上,求实数 m ... 的取值范围.
2 2

4.已知函数f ( x) ? (m - 2) x 2 - 4mx ? 2m - 6的图像与 x轴的负半轴有交点,求 实数m的取值范围 .
1 解: )当m - 2 ? 0即m ? 2时, f ( x) ? -8 x - 2与x轴负半轴交于点 (- ,0) (1 4 2 ?? ? 16m - 4(m - 2)(2m - 6) ? 0 ? (2)? 4m ,解得m ? 1 ? 2(m - 2) ? 0 ?

y

?m - 2 ? 0 ?? ? 0 ? ? (3)? 4m 无解 ? 2 ( m - 2) ? 0 ?m - 2 ? 0 ? (4)? ,解得2 ? m ? 3 ? f ( 0) ? 0 ? ? f (0) ? 0

O

x

4.已知函数f ( x) ? (m - 2) x 2 - 4mx ? 2m - 6的图像与 x轴的负半轴有交点,求 实数m的取值范围 .
?m - 2 ? 0 ?? ? 0 ? ? (5)? 4m ,解得1 ? m ? 2 ? 2( m - 2) ? 0 ? ? f ( 0) ? 0 ? y

y

?m - 2 ? 0 (6)? ,无解 ? f (0) ? 0
综上所述, a ? 3 1?

O
x

x

4.已知函数f ( x) ? (m - 2) x 2 - 4mx ? 2m - 6的图像与 x轴的负半轴有交点,求 实数m的取值范围 .
解:)两个负根 (1 ? (3)一正根一负根 ?? ? 0 ?? ? 0 ? 4m ? ? x1 ? x2 ? ? 0,解得1 ? m ? 2 ? 2m - 6 , 解得2 ? m ? 3 ? m-2 ? ? m-2 ? 0 ? 2m - 6 ? ? x1 x2 ? m - 2 ? 0 ?

(2)一负根,一根为 0 f (0) ? 2m - 6 ? 0,解得m ? 3 ? f ( x) ? x 2 - 12x ? 0,x ? 0或12, 所以不合题意


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