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高中数学选修1-2教案

第一章 统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一) 教学目标: (1).知识与技能:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (2).过程与方法:了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (3).情感,态度与价值观:充分利用图形的直观性,简捷巧妙的解题 教学重点:
了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残差分析.

教学难点:
解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想.

教学方法:讲解法,引导法 教学过程: 一、复习准备:
1. 提问: “名师出高徒”这句彦语的意思是什么?有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者之间 是否有关? 2. 复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两 个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤:收集数据 ?作散点图 ?求回归直线方程 ? 利用方程进行 预报.

二、讲授新课:
1. 教学例题: ① 例 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如下表所示:
编 号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重. (分析思路 ?教师演示 ?学生整理)
70 60 50 40 30 20 10 0 150 155 160 165 身高/cm 170 175 180

第一步:作散点图

体重/kg

第二步:求回归方程

第三步:代值计算

② 提问:身高为 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗? 不一定,但一般可以认为她的体重在 60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上,观察上述散点图,我们可以发现女大学生的体重 y 和身高 x 之间的关系并不能用一次函数 y ? bx ? a 来严格刻画(因为所有的样本点不共线, 所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系) . 在 数据表中身高为 165cm 的 3 名女大学生的体重分别为 48kg、57kg 和 61kg,如果能用一次函数来描述体重 与身高的关系, 那么身高为 165cm 的 3 名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其 他因素的影响,把这种影响的结果 e (即残差变量或随机变量)引入到线性函数模型中,得到线性回归模 型 y ? bx ? a ? e ,其中残差变量 e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于 0 时,线性回归模型就变成一次函数模型.

因此,一次函数模型是线性回归模型的特殊形式,线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数:相关系数的绝对值越接近于 1,两个变量的线性相关关系越强,它们的散点图越接近一条直 线,这时用线性回归模型拟合这组数据就越好,此时建立的线性回归模型是有意义.

三,课堂练习
1. 下列两个变量具有相关关系的是( ) A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与视力 C.人的身高与体重 D.匀速直线运动中的位移与时间 2. 在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的( ) A. 预报变量在x 轴上,解释变量在 y 轴上 B. 解释变量在x 轴上,预报变量在 y 轴上 C. 可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 D. 可选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上 ? ?a ? 必过( ) 3. 回归直线 ? y ? bx A. (0, 0) B. ( x,0) C. (0, y) D. ( x, y) 4. r 越接近于 1,两个变量的线性相关关系 . 5. 已知回归直线方程 ? y ? 0.5x ? 0.81 ,则 x ? 25 时,y 的估计值为

四,总结
求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

五:作业:
一台机器使用的时间较长,但还可以使用,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有 缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器的运转的速度而变化,下表为抽样试验的结果: 16 14 12 8 转速 x (转/秒) 9 8 5 有缺点零件数 y (件) 11 (1)画散点图; (2)求回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么机器的运转速度应控制 在什么范围内?

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二) 教学目标: (1).知识与技能:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型 (2).过程与方法:了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法,了解可用残差分析的
方法,比较两种模型的拟合效果.

(3).情感,态度与价值观:充分利用图形的直观性,简捷巧妙的解题 教学重点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学方法:讲解法,引导法 教学过程:
一、复习准备: 1.由例 1 知,预报变量(体重)的值受解释变量(身高)或随机误差的影响. 2.为了刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与解释变量(身高)有关?在多大程度上与随机误差 有关?我们引入了评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.

二、讲授新课: 1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和: (1)总偏差平方和:所有单个样本值与样本均值差的平方和,即 SST ? ? ( yi ? y ) 2 .
i ?1 n

yi ) . 残差平方和:回归值与样本值差的平方和,即 SSE ? ? ( yi ? ?
2 i ?1

n

yi ? y ) 2 . 回归平方和:相应回归值与样本均值差的平方和,即 SSR ? ? ( ?
i ?1

n

(2)学习要领:①注意 y i 、 ? yi 、 y 的区别;②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程

yi ) 2 ? ? ( ? yi ? y ) 2 ; 度与残差变量的变化程度之和, 即 ? ( yi ? y ) 2 ? ? ( yi ? ? ③当总偏差平方和相对固定时,
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

残差平方和越小,则回归平方和越大,此时模型的拟合效果越好;④对于多个不同的模型,我们还可以引 入相关指数 R 2 ? 1 ?

?(y
i ?1 n i ?1

n

i

?? yi ) 2
来刻画回归的效果, 它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. R 2 的值越

?(y

i

? y)

2

大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题: 例 2 关于 x 与 Y 有如下数据:

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

为了对 x 、 Y 两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型: ? y ? 6.5x ? 17.5 , ? y ? 7 x ? 17 ,试比 较哪一个模型拟合的效果更好. 分析:既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和,也可分别求出两种模型下的 相关指数,然后再进行比较,从而得出结论. (答案: R12 ? 1 ? 合效果较好.)
y) ?(y ? ?
5 2 i ?1 5 i i

? ( y ? y)
i ?1 i

? 1?

2

155 ? 0.845 , R22 ? 1 ? 1000

y) ?( y ? ?

5

2

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 5

i

i

? 1?

2

180 ? 0.82 ,84.5%>82%,所以甲选用的模型拟 1000

三,课堂练习
1. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 4 2 销售额 y(万元) 49 26
∧ ∧ ∧ ∧

3 39

5 54 )

根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( A. 63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元

2.设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是 r,y 关于 x 的回归直线的斜率是 b,纵 轴上的截距是 a,那么必有( ) A.b 与 r 的符号相同 B.a 与 r 的符号相同 C.b 与 r 的符号相反 D. a 与 r 的符号相反 3. 在一次抽样调查中测得样本的 5 个样本点数值如下表: x y 0.25 16 0.5 12 1 5 2 2 4 1

试建立 y 与 x 之间的回归直线方程.

四,总结
分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和,初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.

五:作业:
1.下列有关线性回归的说法,不正确的是 ( ) A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图 C.线性回归方程最能代表具有线性相关关系的 x,y 之间的关系 D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程 2. 在建立两个变量 拟合最好的模型是( A.模型 1 的相关指数 与 的回归模型中,分别选择了 4 个不同的模型,它们的相关指数 ) 为 0.98 B.模型 2 的相关指数 为 0.80 如下,其中

C.模型 3 的相关指数

为 0.50

D.模型 4 的相关指数

为 0.25

3. 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖个数 y 的变化,收集数据如下: 时间 x/天 1 2 3 4 繁殖个数 y 6 12 25 49 (1)用时间作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图; (2)求 y 与 x 之间的回归方程; (3)描述解释变量与预报变量之间的关系,计算残差、相关指数 R2

5 95

6 190

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(三) 教学目标: (1).知识与技能:了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,体会有些非线性模型
通过变换可以转化为线性回归模型。

(2).过程与方法:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. (3).情感,态度与价值观:通过本节课的学习,使学生学会对数据的收集,整理和分析. 教学重点:
通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题的过程中 寻找更好的模型的方法.

教学难点:
了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.

教学方法:讲解法,引导法 教学过程: 一、复习准备:
1. 给出例 3:一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关,现收集了 7 组观测数据列于下表中,试建立 y 与 x 之 间的回归方程. ? 21 23 25 27 29 32 35 温度 x / C 7 11 21 24 66 115 325 产卵数 y / 个 (学生描述步骤,教师演示) 2. 讨论:观察右图中的散点图,发现样本点并没有分布在某 区域内, 即两个变量不呈线性相关关系, 所以不能直接用线性
350 300 250 200 150 100 50 0 0 10 20 温度 30 40

产卵数

个带状 回归方

程来建立两个变量之间的关系.

二、讲授新课:
1. 探究非线性回归方程的确定: ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域,可以选线性回归模型来建模;如果散点图中的点分布 在一个曲线状带形区域,就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 y= C1eC2 x 的周围(其中 c1 , c2 是待定 的参数) ,故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数,得 ln y ? c2 x ? ln c1 ,再令 z ? ln y ,则 z ? c2 x ? ln c1 ,而 z 与 x 间的关系如下:
X z 21 1.946 23 2.398 25 3.045 27 3.178 29 4.190 32 4.745 35 5.784

观察 z 与 x 的散点图,可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归方程来拟合. ? ? 0.272 x ? 3.843 ,因此红铃虫的产 ④ 利用计算器算得 a ? ?3.843, b ? 0.272 , z 与 x 间的线性回归方程为 z 卵数对温度的非线性回归方程为 ? y ? e0.272 x?3.843 . ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题,可按“作散点图 ?建模 ? 确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换,将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、巩固练习: 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖的个数,收集数据如下: 1 2 3 4 5 天数 x/天 6 12 25 49 95 繁殖个数 y/个

6 190

(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图;

? =e0.69 x ?1.112 .) (2)试求出预报变量对解释变量的回归方程.(答案:所求非线性回归方程为 y

四,课堂总结:用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 五,作业:

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(四) 教学目标: (1).知识与技能:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型 (2).过程与方法:了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法,了解可用残差分析的方法,
比较两种模型的拟合效果.

(3).情感,态度与价值观: :通过本节课的学习,使学生学会对数据的收集,整理和分析. 教学重点:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际
问题的过程中寻找更好的模型的方法,了解可用残差分析的方法,比较两种模型的拟合效果.

教学难点:了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,并通过比较相关指数对不同的模型进行
比较.

教学过程:
一、复习准备: 1. 提问:在例 3 中,观察散点图,我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数 y 和温度 x 间的关系, 还可用其它函数模型来拟合吗? 2. 讨论:能用二次函数模型 y ? c3 x2 ? c4 来拟合上述两个变量间的关系吗?(令 t ? x 2 ,则 y ? c3t ? c4 ,此 时 y 与 t 间的关系如下:

t y

441 7

529 11

625 21

729 24

841 66

1024 115

1225 325
y
400 300 200 100 0 0 500 t 1000 1500

观察 y 与 t 的散点图, 可以发现样本点并不分布在一条直线的周围, 因此不宜用线性回归方程来拟合它, 即不宜用二次曲线 y ? c3 x2 ? c4 来拟合 y 与 x 之间的关系. )小结:也就是说,我们可以通过观察变换后的 散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上,除了观察散点图以外,我们也可先求出函数模型,然后利 用残差分析的方法来比较模型的好坏. 二、讲授新课: 1. 教学残差分析:

? ? y ?? ① 残差:样本值与回归值的差叫残差,即 e yi . i i ② 残差分析:通过残差来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作 称为残差分析. ③ 残差图:以残差为横坐标,以样本编号,或身高数据,或体重估计值等为横坐标,作出的图形称为残 差图. 观察残差图,如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带 状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高. 2. 例 3 中的残差分析: 计算两种模型下的残差

7 6 5 4
z

一般情况下,比较两个模型的 残差比较困难(某些样本点上一个 2 1 模型的残差的绝对值比另一个模型 的小,而另一些样本点的情况则相 0 0 10 20 30 40 反) ,故通过比较两个模型的残差的 平方和的大小来判断模型的拟合效 x 果. 残差平方和越小的模型, 拟合的 效果越好. 由于两种模型下的残差平方和 分别为 1450.673 和 15448.432,故 选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. (当然,还可用相关指数刻画回归效果) 三、巩固练习: 1.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量,这里的解释变量是(B ) A、作物的产量 B、施肥量 C、试验者 D、降雨量或其他解释产量的变量 2、下列说法正确的有 ( C ) ①回归方程适用于一切样本和总体 ②回归方程一般都有时间性

3

③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围 ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值 A、①③ B、①② C、②③ D、③④ 3、已知回归直线方程中斜率的估计值为 1.23,样本点的中心(4 ,5) ,则回归直线方程为( A ) A、 y ? 1.23x ? 0.08 C、 y ? 1.23x ? 4
? ?

B、 y ? 0.08x ? 1.23 D、 y ? 1.23x ? 5
?

?

四,课堂总结:残差分析的步骤、作用 五,作业: 习题 1.1 (一课时) 教学目标 ㈠知识目标:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 ㈡能力目标: ;了解回归分析的基本思想、方法及初步应用。 ㈢情感态度与价值观:学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会用联系的观点看
待事物.

教学重点:了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残差分析. 教学难点:解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想 教学方法及学习方式:讨论式,指导学生的做题过程。 教学过程
1、 (1)由表中数据制作的散点图如下:

从散点图中可以看出 GDP 值与年份近似呈线性关系.

(2)用

yt 表示 GDP 值, t 表示年份.

根据截距和斜率的最小二乘计算公式,得

? ? 7191.969 ? ? ?14292537.729 , b a
从而得线性回归方程

? ? 7191.969t ?14292537.729 . y
残差计算结果见下表. GDP 值与年份线性拟合残差表 年份 残差 年份 残差 1993 1994 1995 1996 1997

?6422.269
1998

?1489.238
1999

3037.493
2000

5252.024
2001

4638.055
2002

1328.685

?2140.984

?1932.353

?1277.622

?993.791

(3)2003 年的 GDP 预报值为 112976.360,根据国家统计局 2004 年的统计,2003 年实际 GDP 值为 117251.9,所以预 报与实际相差 ?4275.540 . (4)上面建立的回归方程的 R 刻画 GDP 和年份的关系. 说明:关于 2003 年的 GDP 值的来源,不同的渠道可能会有所不同. 2、说明:本题的结果与具体的数据有关,所以答案不唯一. 3、由表中数据得散点图如下:
2

? 0.974 ,说明年份能够解释约 97%的 GDP 值变化,因此所建立的模型能够很好地

从散点图中可以看出,震级 x 与大于或等于该震级的地震数 N 之间不呈线性相关关系,随着 x 的减少,所考察的地 震数 N 近似地以指数形式增长. 做变换 得到的数据如下表所示.

y ? lg N ,

x
y

3 4.453 5.2 2.873

3.2 4.309 5.4 2.781

3.4 4.170 5.6 2.638

3.6 4.029 5.8 2.438

3.8 3.883 6 2.314

4 3.741 6.2 2.170

4.2 3.585 6.4 1.991

4.4 3.431 6.6 1.756

4.6 3.283 6.8 1.613

4.8 3.132 7 1.398

5 2.988

x
y

x 和 y 的散点图如下:

从这个散点图中可以看出 x 和 距和斜率的最小二乘计算公式,得

y 之间有很强的线性相关性,因此可以用线性回归模型拟合它们之间的关系 .

根据截

? ? ?0.741, ? ? 6.704 , b a
故线性回归方程为

? ? ?0.741x ? 6.704 . y
因此,可以用回归方程

R2 ? 0.997 ,说明 x 可以解释 y 的 99.7%的变化.
间的关系.

? ? 10?0.741x?6.704 N

描述 x 和 N 之

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(一) 教学目标 (一)知识与技能:通过本节知识的学习,了解独立性检验的基本思想和初步应用,能对两个分类变量是否有关
做出明确的判断。明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤,会对具体问题作出独立性检验。

(二)过程与方法:

在本节知识的学习中,应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性,树立学

好本节知识的信心,在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图,并认识它们的基本作用和存在的不足,从而为学习下面作好 铺垫,进而介绍 K 的平方的计算公式和 K 的平方的观测值 R 的求法,以及它们的实际意义。从中得出判断“X 与 Y 有关系” 的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系, 并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程 度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用

(三)情感、态度与价值观:通过本节知识的学习,首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要
性和作用,并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别,从而引导学生去探索新知识,培养学生全面的观点和辨证地分 析问题,不为假想所迷惑,寻求问题的内在联系,培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。加强与现实生活相联系, 从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系,学习用图形、数据来正确 描述两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。教学中,应多给学生提供自主学习、独立探究、合作 交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观,并会用所学到的知识来解决实际问题。

教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量 K 2 的含义. 教学方法:诱思探究教学法 学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学过程:
一、复习准备:

回归分析的方法、步骤,刻画模型拟合效果的方法(相关指数、残差分析) 、步骤. 二、讲授新课: 1. 教学与列联表相关的概念: ① 分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离 散的,而且不同的取值仅表示个体所属的类别,如性别变量,只取男、女两个值,商品的等级变量只取一 级、二级、三级,等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示,但这时的数字除了分类以外没有其他的含 义. 如用“0”表示“男” ,用“1”表示“女”. ② 列联表:分类变量的汇总统计表(频数表). 一般我们只研究 不患肺癌 患肺癌 总计 每个分类变量只取两个值,这样的列联表称为 2 ? 2 . 如吸烟与患 7775 42 7817 不吸烟 肺癌的列联表: 2099 49 2148 吸 烟 2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念: 9874 91 9965 总 计 由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存 在差异.(教师在课堂上用 EXCEL 软件演示三维柱形图和二维条形图,引导学生观察这两类图形的特征, 并分析由图形得出的结论) 3. 独立性检验的基本思想: ① 独立性检验的必要性(为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论?) :列联表中的数据是样本数据, 它只是总体的代表,具有随机性,故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ② 独立性检验的步骤(略)及原理(与反证法类似) : 反证法 假设检验 要证明结论 A 备择假设 H 1 在 A 不成立的前提下进行推理 推出矛盾,意味着结论 A 成立 在 H 1 不成立的条件下,即 H 0 成立的条件下进行推理 推出有利于 H 1 成立的小概率事件(概率不超过 ? 的事件)发 生,意味着 H 1 成立的可能性(可能性为(1- ? ) )很大 没有找到矛盾,不能对 A 下任 推出有利于 H 1 成立的小概率事件不发生,接受原假设 何结论,即反证法不成功 ③ 上例的解决步骤 第一步:提出假设检验问题 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系 ? H 1 :吸烟与患肺癌有关系

n(ad ? bc)2 (它越小,原假设“H 0 :吸烟与患肺癌没有 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 关系”成立的可能性越大;它越大,备择假设“H 1 :吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步:查表得出结论 P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 三,例题讲解 1.三维柱形图中柱的高度表示的是( ) A .各分类变量的频数 B .分类变量的百分比 C .分类变量的样本数 D .分类变量的具体值 解析: 三维柱形图中柱的高度表示图中各个频数的相对大小.选 A
第二步:选择检验的指标

K2 ?

2. 统计推断,当______时,有 95 %的把握说事件 A 与 B 有关;当______时,认为没有充分的证据显示 事件 A 与 B 是有关的. 解析:当 k ? 3.841时,就有 95 %的把握说事件 A 与 B 有关,当 k ? 2.076 时认为没有充分的证据显示事件 A 与 B 是有关的. 3.为了探究患慢性气管炎与吸烟有无关系,调查了却 339 名 50 岁以上的人,结果如下表所示,据此数据请 问:50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关系吗? 患慢性气管 炎 吸烟 43 未患慢性气 管炎 162 205 合计

不吸烟 合计

13 56

121 283

134 339

分析:有表中所给的数据来计算 K 的观测值 k,再确定其中的具体关系. 解:设患慢性气管炎与吸烟无关. a=43,b=162,c=13,d=121,a+b=205,c+d=134, a+c=56,b+d=283,n=339 2 n(ad ? bc) 2 所以 K 的观测值为 k ? ? 7.469 .因此 k ? 6.635 ,故有 99%的把握认为患慢性气 (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d ) 管炎与吸烟有关. 四,课后练习: 1. 在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两 个变量有关系的可能性就( A.越大 B.越小 ) C.无法判断 D.以上都不对

2

2.下列关于三维柱形图和二维条形图的叙述正确的是: ( ) A .从三维柱形图可以精确地看出两个分类变量是否有关系 B .从二维条形图中可以看出两个变量频数的相对大小,从三维柱形图中无法看出相对频数的大小 C .从三维柱形图和二维条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系 D .以上说法都不对 3.对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 K ,说法正确的是() A B C D . . . . k k k k 越大," X 与 Y 有关系”可信程度越小; 越小," X 与 Y 有关系”可信程度越小; 越接近于 0," X 与 Y 无关”程度越小 越大," X 与 Y 无关”程度越大 )
2

4. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(
2

A.若 K 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系, 那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病; B.从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患 有肺病; C.若从统计量中求出有 95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5% 的可能性使得推判出现错误; D.以上三种说法都不正确. 2 5.若由一个 2*2 列联表中的数据计算得 k =4.013,那么有 性别 男 女 专业 非统计专业 13 7 把握认为两个变量有关系 统计专业 10 20

6.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到

k?

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.844 23 ? 27 ? 20 ? 30
2

因为 K ? 3.841 ,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ____;

7.在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人。女性中有 43 人主 要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,另 外 33 人主要的休闲方式是运动。 (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系。 参考答案 1.A 2.C 3.B 4.C 5. 95% 6. 5%

7.解: (1)2×2 的列联表 性别 休闲方式 女 男 总计 计算 看电视 43 21 64 运动 27 33 60 总计 70 54 124

(2)假设“休闲方式与性别无关”

124 ? (43 ? 33 ? 27 ? 21)2 ? 6.201 70 ? 54 ? 64 ? 60 因为 k ? 5.024 ,所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的, k?
即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关” 五,课时小结你能根据上例“吸烟与患肺癌的案例探究”总结 “独立性检验”的具体做法步骤 第一步:根据实际问题需要的可信程度确定临界值; 第二步:利用公式计算随机变量 K 的观测值 k; 第三步:查对临界值表得出结论. 六,布置作业:
2

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(二) (一)知识与技能。了解独立性检验的基本思想,方法及初步应用 (二)过程与方法:
:通过典型案例探究解决问题。了解独立检验的基本思想,方法。

(三)情感、态度与价值观:通过本节知识的学习,培养学生对数据烦的直观感觉,体会统计方法引用的广泛
性。

教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量 K 2 的含义. 教学方法:诱思探究教学法

学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学过程: 一、复习准备: 独立性检验的基本步骤、思想 二、讲授新课: 1. 教学例 1: 例 1 在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶;而另外 772 名不是因为患心脏 病而住院的男性病人中有 175 名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系? 你所得的结论在什么范围内有效? ① 第一步:教师引导学生作出列联表,并分析列联表,引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论; 第二步:教师演示三维柱形图和二维条形图,进一步向学生解释所得到的统计结果; 第三步:由学生计算出 K 2 的值; 第四步:解释结果的含义. ② 通过第 2 个问题,向学生强调“样本只能代表相应总体” ,这里的数据来自于医院的住院病人,因此题 目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体,而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误,除非有 其它的证据表明可以进行这种推广. 2. 教学例 2: 例 2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系, 在某城市的某校高中生中随机抽取 300 名学生, 得到如下列联表: 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总 计 37 85 122 男 35 143 178 女 72 228 300 总 计 由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k ? 4.513 . 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有 关系?为什么? (学生自练,教师总结) 强调:①使得 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这 个前提不成立,上面的概率估计式就不一定正确; ②结论有 95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义; ③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后,可直接计算 K 2 的值解决实际问题,而没有必要画 相应的图形,但是图形的直观性也不可忽视. 3. 小结:独立性检验的方法、原理、步骤 三、巩固练习:
练习(P15) 列联表的条形图如图所示.

由图及表直观判断,好像“成绩优秀与班级有关系”. 因为 K 的观测值 k

2

? 0.653 ? 6.635 ,由教科书中表 1-11

克重,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,不能认为“成绩与班级有关系”. 说明: (1)教师应要求学生画出等高条形图后,从图形上判断两个分类变量之间是否有关系. 这里通过图形的直观感觉 的结果可能会出错. (2)本题与例题不同,本题计算得到的 K 的观测值比较小,所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系” . 这与反 证法也有类似的地方,在使用反证法证明结论时,假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾,并不能说明结论成立也不能 说明结论不成立. 在独立性检验中,没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾.
2

五,课时小结你能根据上例“吸烟与患肺癌的案例探究”总结 “独立性检验”的具体做法步骤 第一步:根据实际问题需要的可信程度确定临界值; 第二步:利用公式计算随机变量 K 的观测值 k; 第三步:查对临界值表得出结论. 六,布置作业:
2

第一课时 2.1.1 合情推理(一) 教学要求:结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳 推理在数学发现中的作用. 教学重点:能利用归纳进行简单的推理. 教学难点:用归纳进行推理,作出猜想. 教学过程: 一、新课引入: 1. 哥德巴赫猜想:观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜测:任一偶数(除去 2,它本身是一素数)可以表示成两个素数之和. 1742 年写信提出,欧拉及以后的数学家无人能解,成为数学史上举世闻名的猜想. 1973 年,我国数学家陈景润, 证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和,数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者 由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的 推理. ②归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤: ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理;

第二章

⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。 归纳练习:(i)由铜、铁、铝、金、银能导电,能归纳出什么结论? (ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度,能归纳出什么结论? (iii)观察等式: 1 ? 3 ? 4 ? 22 , 1 ? 3 ? 5 ? 9 ? 32 , 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 16 ? 42 ,能得出怎样的结论? ③ 讨论:(i)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? (ii)归纳推理有何作用? (发现新事实,获得新结论,是做出科学发现的重要手段) (iii)归纳推理的结果是否正确?(不一定) 2. 教学例题: ① [例 1] 观察图,可以发现:1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论? ② 出示例题:已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 2 ,且 an ?1 ?
an (n ? 1, 2,?) ,试归纳出通项公式. 1 ? an

(分析思路:试值 n=1,2,3,4 → 猜想 a n →如何证明:将递推公式变形,再构造新数列)

猜想 F+V-E=2

欧拉公式
4 5 6 6 8 6 10 10 9 6 8 9 10 12 12 15 15 16

例3:数一数图中的凸多面体的面数 F、顶
点数V和棱数 E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 7 7 9

3. 小结:①归纳推理的药店:由部分到整体、由个别到一般;②典型例子:哥德巴赫猜想的提出;数列通 项公式的归纳. 三、巩固练习:

1. 观察 : 52 ? 1 ? 24,72 ?1 ? 48,112 ?1 ? 120,132 ?1 ? 168,...所得的结果都是24的倍数, 继续试验, 你能得到什么猜想 ?
2. 在数列{an }中, a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N *), 试猜想这个数列的通项公式. 2 ? an

3. 对于任意正整数n, 猜想2n?1与(n ?1)2的大小关系.
第二课时 2.1.1 合情推理(二)

教学要求:结合已学过的数学实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并

认识合情推理在数学发现中的作用. 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点:用归纳和类比进行推理,作出猜想. 教学过程: 一、复习准备: 导入:鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;地球上有生命,火星与地 球有许多相似点,如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生物生存, 科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理. 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理. 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的几个特点; 1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的 结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能

利用圆的性质类比得出求的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦( 非直径)中点的连线 垂直于弦

球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3

与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0 ,y0 )为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0 )2 +(yy0 )2 = r2 以点(x0 ,y0 ,z0 )为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0 )2 +(yy0 )2 +(z-z0 )2 = r2

2. 教学例题: ① 出示例 1:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. (得到如下表格) 类比角度 运算结果 运算律 实数的加法 若 a, b ? R, 则 a ? b ? R
a?b ?b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

实数的乘法 若 a, b ? R, 则 ab ? R
ab ? ba (ab)c ? a (bc )

逆运算

加法的逆运算是减法, 使得方 程 a ? x ? 0 有唯一解 x ? ?a

乘法的逆运算是除法,使得

方程 ax ? 1 有唯一解 x ? 单位元
a?0?a a ?1 ? 1

1 a

② 出示例 2:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 思维:直角三角形中, ?C ? 900 ,3 条边的长度 a , b, c ,2 条直角边 a , b 和 1 条斜边 c ; →3 个面两两垂直的四面体中, ?PDF ? ?PDE ? ?EDF ? 900 ,4 个面的面积 S1 , S2 , S3 和 S 3 个“直角面” S1 , S2 , S3 和 1 个“斜面” S . → 拓展:三角形到四面体的类比. 3. 小结:类比推理的一般步骤: 1. 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 2. 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想 3. 检测猜想

四、课堂练习
1. 如图, 若射线OM , ON 上分别存在点M 1 , M 2与点N1 , N 2 , 则三 角形面积之比 S ?OM1N1 S ?OM 2 N2 ? OM 1 ON1 ? .若不在同一平面内的射OP, OQ OM 2 ON 2

和OR上分别存在点P 1, P 2 , 点Q1 , Q2 和点R1 , R2 , 则类似的结论是什么?

O

M1 N1

M2 M P2 N2 N P

O P1 Q1 Q2 Q R1 R2 R

2. 在等差数列{an }中, 若a10 ? 0, 则有 a1 ? a2 ? ... ? an ? a1 ? a2 ? ... ? a19? n (n ? 19, 且n ? N *)成立.类比上述性质, 在等比数 列{bn }中, 若b9 ? 1, 则存在怎样的等式 ?
小结

?
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想 传说在古老的印度有一座神庙,神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上,第三根针起“ 把圆环从一根针上全部移到另一根针上,第三根针起“过渡” 过渡” 的作用. 1.每次只能移动1个圆环; 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天,僧侣们将这64 个圆环全部移到另一根针上, 那么世界末日就来临了. 请你试着推测:把 n 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?

归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发

归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.

2

1

3

第三课时

2.1.2

演绎推理

教学要求:结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法, 并能运用它们进行一些简单的推理。. 教学重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点:分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程: 一、复习准备: 复习:合情推理 归纳推理的一般步骤: 类比推理的一般步骤: 二、讲授新课: 观察与思考 1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被 2 整除 3.三角函数都是周期函数, 1. 教学概念: ① 概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。 要点:由一般到特殊的推理。 ② 讨论:演绎推理与合情推理有什么区别?
?归纳推理:由特殊到一般 合情推理 ? ;演绎推理:由一般到特殊. ?类比推理:由特殊到特殊

因为铜是金属,

所以铜能够导电.

因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被 2 整除. 因为 tan 三角函数, 所以是 tan 周期函数

“三段论”是演绎推理的一般模式:第一段:大前提——已知的一般原理;第二段:小前提——所研究 的特殊情况;第三段:结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. ④ 举例:举出一些用“三段论”推理的例子. 2. 教学例题:
例. 如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等. 证明:(1)因为有一个内角是只直角的 大前提 E
C D

例: 证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数. 证明:
满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 大前提 成立的函数f(x),是区间D上的增函数. 任取x1,x2
∈(-∞,1]

三角形是直角三角形, 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提 所以△ABD是直角三角形 结论 同理△ABD是直角三角形 A M B (2) 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 小前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线
1 2 1 同理 EM= AB 2

且x1<x2

,

f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2) =(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x1<x2所以 x2-x1>0 因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0 因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2) 所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数. 结论 小前提

所以 DM= AB

结论

所以 DM = EM

练习

1.证明通项公式为 : an ? cq n (cq ? 0)的数列{an }是等比数列, 并分析 证明过程中的三段论.
2.如图, 在?ABC中, AC ? BC, CD是AB边上的高, 求证 : ?ACD ? ?BCD 证明:在?ABC中,因为CD ? AB,    AC ? BC

C

所以AD ? BD 于是?ACD ? ?BCD 指出上面证明过程中的错误。

A

D

B

3. 比较:合情推理与演绎推理的区别与联系?(从推理形式、结论正确性等角度比较;演绎推理可以验证 合情推理的结论,合情推理为演绎推理提供方向和思路.) ? ①归纳是由特殊到一般的推理; 殊的推理. ? 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确. ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.

三、巩固练习: 第一课时 2.2.1 综合法和分析法(一)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程、特点. 教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 已知 “若 a1 , a2 ? R? ,且 a1 ? a2 ? 1 ,则

1 1 ? ? 4” ,试请此结论推广猜想. a1 a2 1 1 1 ? ? .... ? ? n2 ) a1 a2 an

(答案:若 a1 , a2 .......an ? R ? ,且 a1 ? a2 ? .... ? an ? 1 ,则 2. 已知 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 ? ? ? 9. a b c

先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点? 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例 1:已知 a, b, c 是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc ② 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 框图表示: 要点:顺推证法;由因导果.

③ .例 2: 设CB ? a, CA ? b, 求证S ?ABC ?

?? ?

? ??? ?

?

?? 2 1 ? 2 ? 2 ?? | a | | b | ?( a ? b) 2

④ 出示例 3:在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列,a、b、c 成等比数列. 求证:为△ABC 等边三角形.

2. 练习: 、 1.已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证

b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c ? ? ?3 a b c

2 A, B 为锐角,且 tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 ,求证: A ? B ? 60? . (提示:算 tan( A ? B) ) 3. 小结:综合法是从已知的 P 出发,得到一系列的结论 Q1 , Q2, ??? ,直到最后的结论是 Q. 运用综合法可 以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习: 1. 求证:对于任意角θ , cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? . 2. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证: 3. 作业:教材 P46 A 组 1 题. 第二课时 2.2.1 综合法和分析法(二) (教材 P44 练习 1 题)

1 1 3 . ? ? a ?b b?c a ?b?c

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程、特点. 教学重点:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:基本不等式的形式? 2. 讨论:如何证明基本不等式

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) . 2

(讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件) 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例 1:求证 3 ? 5 ? 2 ? 6 . 讨论:能用综合法证明吗? → 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件? → 板演证明过程 (注意格式) → 再讨论:能用综合法证明吗? → 比较:两种证法 ② 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.

框图表示:

要点:逆推证法;执果索因.

例2. 已知a ? b ? 0, 求证 :

( a ? b) 2 a ? b ( a ? b) 2 ? ? ab ? . 8a 2 8b

例 3:如图,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,过 A 作 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线,垂足为 F,求证 AF⊥SC

2 2 sin ? ? cos ? ? sin ? , 求证 :

4.已知? , ? ? k? ?

?

(k ? Z ), 且 sin ? ? cos ? ? 2sin ? , (2)

(1)

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? ? . 1 ? tan 2 ? 2(1 ? tan 2 ? )
1 1

③ 练习:设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x 2 ? y 2 ) 2 ? ( x3 ? y 3 ) 3 . 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例 4:见教材 P48. ⑤ 出示例 5:见教材 P49. 2. 练习: 讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推) 讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步探求)

1.求证 : 6 ? 7 ? 2 2 ? 5
2.设a, b, c为一个三角形的三边, 且S 2 ? 2ab, S ? 1 (a ? b ? c), 试证S ? 2a 2

3.已知 tan ? ? sin ? ? a, tan ? ? sin ? ? b, 求证(a2 ? b2 )2 ? 16ab
3. 小结:分析法由要证明的结论 Q 思考,一步步探求得到 Q 所需要的已知 P 1, P 2, ??? ,直到所有的已知 P 都成立; 比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合 法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知” (综合) ,双管齐下,两面夹击,逐步缩小条 件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. (框图示意) 三、巩固练习: 1. 设 a, b, c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证: c2 ? a2 ? b2 ? 4ab ? 4 3S . 略证:正弦、余弦定理代入得: ?2ab cos C ? 4ab ? 2 3ab sin C , 即证: 2 ? cos C ? 2 3 sin C ,即: 3sin C ? cos C ? 2 ,即证: sin(C ? 2. 作业:教材 P46 练习 2、3 题. 第三课时 2.2.2 反证法

?
6

) ? 1 (成立).

教学要求: 结合已经学过的数学实例, 了解间接证明的一种基本方法——反证法; 了解反证法的思考过程、 特点. 教学重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.

教学过程: 一、复习准备: A、B、C 三个人,A 说 B 撒谎,B 说 C 撒谎,C 说 A、B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎,为什么? 分析:假设 C 没有撒谎,则 C 真. 盾. 那么假设 C 没有撒谎不成立; ——那么 A 假且 B 假; 则 C 必定是在撒谎. 由 A 假,知 B 真. 这与 B 假矛

二、讲授新课: 1. 教学反证法概念及步骤: 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而 证明了原命题成立. 证明基本步骤:假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设 不成立,从而原命题的结论成立 应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实 矛盾等). 方法实质: 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的, 即由一个命题与其逆否命题同真假, 通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实. 注:结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题:

例1.已知p3 ? q3 ? 2, 求证 : p ? q ? 2
例 2 已知 a≠0,证明 x 的方程 ax=b 有且只有一个根。 例 3:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛盾? 与教材不同的证法:反设 AB、CD 被 P 平分,∵P 不是圆心,连结 OP, 则由垂径定理:OP?AB,OP?CD,则过 P 有两条直线与 OP 垂直(矛盾) ,∴不被 P 平分.

例4.若a, b, c均为实数, 且a ? x 2 ? 2 y ? 求证 : a, b, c中至少有一个大于0.
④ 练习:

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6

,

1. 求证 : 2, 3, 5不可能成等差数列.
3. ?ABC的三边a, b, c的倒数成等差数列, 求证B ?

?
2

.

3. 小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确. 注意证明 步骤和适应范围( “至多” 、 “至少” 、 “均是” 、 “不都” 、 “任何” 、 “唯一”等特征的问题) 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P45 1、2 题 第一课时 数学归纳法(1) 2. 作业:教材 P46 A 组 3 题.

教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳 法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点:数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程: 一、复习准备: 1、已知数列{a }中,a =1,a =a /(a +1),试求出 a ,a ,a 并猜想{a }的通项公式 n 1 n+1 n n 2 3 4 n 2、费马猜想
21

2 ? 1 ? 5 22 ? 1 ? 17 22 ? 1 ? 257 22 ? 1 ? 65537 都是质数,于是他用归纳推理提出猜想任何形如22 ? 1(n ? N * )的数都是质数
n

2

3

4

n ? 5时, 22 是一个合数: 225 ?1 ? 4294967297 ? 641? 6700417
3、思考 ? 从一个袋子里第一次摸出的是一个白球,接着,如果我们有这样一个保证:“当你这一次摸出的白球, 则下一次摸出的一定也是白球.” 能判断这个袋子里装的全是白球吗? 4、多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件: (1)第一张牌被推倒; (2)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张 牌也必定倒. 二、讲授新课: 1、数学归纳法的定义 对于某些与正整数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性: 先证明当 n 取第一个值 n 时命题成立; 0 然后假设当 n=k(k?N*,k≥n )时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。 0 数学归纳法两大步: (i)归纳奠基:证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; (ii)归纳递推:假设 n=k(k≥n0, k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的 所有正整数 n 都成立 2. 教学数学归纳法的应用: 例 1、用数学归纳法证明 1+3+5+??+(2n-1)=n 例 2:用数学归纳法证明 2 (n∈N ).

n

12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?
练习:

n(n ? 1)(2n ? 1) 6
1 ) ? 2n ? 1 (n∈N*). 2n ? 1

求证: (1 ? 1)(1 ? )? ???? (1 ?

1 3

3. 小结:两个步骤与一个结论, “递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉” ;从 n=k 到 n=k+1 时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.

三、巩固练习: 1. 练习:教材 96 1 第二课时 数学归纳法(2)

教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳 法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点:能用数学归纳法证明几个经典不等式. 教学难点:理解经典不等式的证明思路. 教学过程: 一、复习准备: 二、讲授新课: 1. 教学例题: ①例 1: 已知数列

1 1 1 1 , , , ?, , ? 计算 S1 ,S2 ,S3 ,S4 , 根据计算的结果 , 猜想 1×4 4×7 7×10 (3n - 2)(3n +1)

Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
例 2:是否存在常数 a、b,使得等式:

12 22 n2 an2 + n + +…+ = 1? 3 3? 5 (2n -1)(2n +1) bn + 2

对一切正整数 n 都成立,并证明你的结论. 例 3:用数学归纳法证明 f (n) ? 3? 5
2 n?1

? 23n?1 对任意的自然数 n,f(n)都能被 17 整除

例 4:平面内有 n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数 f(n)=n(n-1)/2.

第三章 3.1.1
【学情分析】 :

数系的扩充与复数的引入 数系的扩充和复数的概念

从小学接触自然数到扩充至整数范围,进入初中阶段后学生认识到数系从整数到有理数再到实数的第二 次扩充.因为现实的需要,高中阶段要进一步实现从实数系到复数系的第三次扩充. 学生初次接触复数,会产生一种“虚无缥缈”的感觉.所以要有意识地将实数与复数进行类比学习,学会 复数问题向实数问题转化的方法. 【教学目标】 : (1)知识目标: 理解复数产生的必然性、合理性;掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类. (2)过程与方法目标: 从为了解决 x ? 1 ? 0 这样的方程在实数系中无解的问题出发 , 设想引入一个新数 i, 使 i 是方程
2

x 2 ? 1 ? 0 的根.到将 i 添加到实数集中去,使新引入的数 i 和实数之间能象实数系那样进行加、乘运算;
掌握类比的方法,转化的方法。 (3)情感与能力目标: 通过介绍数系扩充的简要进程,使同学们感受 人类理性思维对数学的发展所起的重要作用,体会数与现 实世界的联系。 【教学重点】 :复数的概念及其分类。 【教学难点】 :虚数单位 i 的引 入。 【教学突破点】 :从解 x ? 1 ? 0 方程的需要,引入虚数单位 i.及虚数单位 i 与实数的融合。
2

【教法、学法设计】 :讲授、练习相结合。 教学过程设计 一、复习 引入 1.方程 x ? 2 ? 0 在有理数系没有解,但当把数的范围扩充到实数系后,这个二次方程恰好有两个解:
2

x ?? 2;
2.同学们在解一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的时候,会遇到判别式 ? ? b ? 4ac ? 0 的情况。这时在
2 2

实数范围内方程无解。一个自然的想法是能否把实数系扩大,使这种情况下的方程在更大的数系内有解? 二、讲授新课 (1)复数的概念①形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数。其中 i 叫虚数单位。全体复数所成集合叫复数集。 ②复数通常用字母 z 表示。即 z= a ? bi(a, b ? R) 。其中 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部。 ③ a ? bi(a, b ? R) 与 c ? di(c, d ? R) 相等的条件是 a ? c 且 b ? d . (2)复数的分类

?实数(b ? 0), 复数z ? ?虚数(b ? 0) (当a ? 0时为纯虚数).
三、运用新知 练习 1: ,体验成功

说出下列各数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是复数:

2 ? 2, 0.618 , 3i, 0, i, i 2 , 5 ? 2i, 3 ? 2i, (1 ? 3)i, 2 ? 2i.
写出 下列各复数的实部和虚部:

? 3 ? 2i, 3 ? 7i,

1 3 ? i, ? 8, ? 6i. 2 2

求适合下列方程的 x 和 y ( x, y ? R) 的值:

(1)(x ? 2 y ) ? (2 x ? 3 y )i ? 3 ? 3i; (2)(3x ? y ? 3) ? ( x ? y ? 3)i.

, 0, i ; 虚数有: 3i, i, 5 ? 2i, 3 ? 2i, (1 ? 3)i, 2 ? 2i. ;复数有:全 答案:①实数有: 2 ? 2, 0.618
2

部.

1 3 ? 3,2; 3,7; , ; ? 8,0; 0,?6. 2 2 ②实部及虚部依次为:
(1) x ?


3 9 , y ? ? ; (2) x ? 0, y ? ?3. 7 7

四、师生互动,继续探究 复数的分类及复数相等条件的运用:

例 1.已知 m ? R, 复数 (3) z 是纯虚数.

z?

m(m ? 2) ? (m 2 ? 2m ? 1)i, m ?1 当 m 为何值时: (1) z ? R;

(2) z 是虚数;

分析 : 涉及复数的分类概念 , 应分别应用复数 . ?当且仅当b ? 0时为实数, ? ?当且仅当b ? 0时为虚数, a ? bi? ?当且仅当a ? 0, b ? 0时为纯虚数, ?当且仅当a ? 0, b ? 0时为零. ? 解 : (1)当m 2 ? 2m ? 1 ? 0且m ? 1 ? 0, 即m ? ?1 ? 2时, z为实数. (2)当m 2 ? 2m ? 1 ? 0且m ? 1 ? 0. 即m ? ?1 ? 2且m ? 1时, z为虚数. m(m ? 2) (3)当 ? 0且m 2 ? 2m ? 1 ? 0, m ?1 即m ? 0或 ? 2时, z为纯虚数.
例 2.已知 x 是虚数,

y 是纯虚数,且满足 (2 x ? 1) ? (3 ? y)i ? y ? i, 求 x, y.

五、分层练习,巩固提高 探究活动: 练习 2 :①试问 x 取何值时,复数 ( x ? x ? 2) ? ( x ? 3x ? 2)i 是实数? 是虚数?是纯虚数?
2 2

②解方程 x ? 10x ? 40 ? 0.
2

参考答案:①

??1,?2?; ?x x ? R, x ? ?1, x ? ?2?; ?? 1.

② x ? 5 ? 15i 六、概括梳理,形 成系统(小结) 采取师生互动的形式完成。即:学生谈本节课的收获,教师适当的补充、概括,以本节知识目标的要求 进行把关,确保基础 知识的当堂落实。 【教学反思】 这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等 的充要条件,复平面等等.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识有 较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 复数的概念如果单纯地讲解或介绍会

显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史,让学生体 会到数集的扩充是生产实践的需要,也是数学学科自身发展的需要;介绍数的概念的发展过程,使学生对 数的形成、发展的历史和规律,各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动 地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类

[课题 3.1.2]复数的几何意义教案
[学习目标]: (1) 了解复数的几何意义, 会用复平面内的点和向量来表示复数。 (2) 了解复数代数形式的加,减运算的几何意义。 (3)高考 A 级要 求。 [学习重点]:会用复平面内的点和向量来表示复数。 [学习难点]:复数代数形式的加,减运算的几何意义。 [学法指导]:从实数的几何意义类比提出复数的几何意义的问题后,可尝试,探 索用直角系坐标系中的点来表示复数。 [课前预习导学]: 问题 1:复数的代数形式如何表示?

问题 2:模的性质有哪些? [课堂学习研讨]: 问题 3:实数可以用数轴上的点来表示,那么复数也可以用数 轴上的点来表示吗?你能说明理由吗? 问题 4:复平面,实轴,虚轴如何定义? 问题 5:复数 z ? a ? bi ,复平面内的点 Z (a, b) 和平面向量 OZ 之间有何关系? 问题 6:复数的代数形式,复数的几何形式和复数的向量形式如何表示? 问题 7:复数 z ? a ? bi 的模如何定义? 问题 8: z , z 与 z 之间有何关系? 例 1:已知复数 z1 ? 3 ? 4i, z 2 ? ?1 ? 5i ,试比较它们模的大小。

例 2:设 z ? C ,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形? (1) z ? 2 (2) 2 ? z ? 3

问题 9:复数的加法法则和向量的加法法则之间有何关系? 问题 10:复数的加法,减法的几何意义是什么? 问题 11:两个复数的和,差的模等于什么? [课内训练巩固]: 1.若复数 z ? (a 2 ? 2a) ? (a 2 ? a ? 2)i 所对应的点在虚轴上,则 a 的限制条件是 2.如果复数 z ? 3 ? ai 满足条件 z ? 2 ? 2 ,那么实数 a 的取值范围是 3.设 z ? C ,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形 (1) z ? 3 ? 4i : (2) z ? 1 ? z ? 1 ? 4 : [课后拓展延伸]: 例 3:已知 z1 , z 2 满足 z1 ? 3, z 2 ? 5, z1 ? z 2 ? 7 ,求 z1 ? z 2 的值。

问题 12:你能用代数方法求解吗? 问题 13:你能用几何方法求解吗? 问题 14:你能用复数的模的性质求解吗? [课后练习]: 1.若 z ? 3 ? 4i ? 2 ,则 z 的最大值是 2.已知 z1 ? 10, z 2 ? 6 ? 8i ,且 z1 ? z 2 为纯虚数,求复数 z 1 。 3.已知复数 z 1 ? i(1 ? i) 3 的最大值。 (1)求 z1 (2)当复数 z 满足 z ? 1时,求 z ? z1

§3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义
教学目标: 知识与技能:掌握复数的加法运算及意义 过程与方法:理解并掌握实数进行四则运算的规律,了解复数加减法运算的几何意义 情感、 态度与价值观: 理解并掌握复数的有关概念(复数集、 代数形式、 虚数、 纯虚数、 实部、 虚部) 理 解并掌握复数相等的有关概念;画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启 迪解题思路的作用 教学重点:复数加法运算,复数与从原点出发的向量的对应关系. 教学难点:复数加法运算的运算率,复数加减法运算的几何意义。 教具准备:多媒体、实物投影仪 。 教学设想:复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和 它对应。复数 z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系 这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、b∈R),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定. 教学过程: 学生探究过程:
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1.虚数单位 i :(1)它的平方等于-1,即
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i 2 ? ?1 ; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,

原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根, 即方程 x2=-1 的一个根, 方程 x2=-1 的另一个根是- i 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
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4.复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 全体复数所成的
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集合叫做复数集,用字母 C 表示*

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3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,把复数表示成 a+bi 的形式,叫 做复数的代数形式
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4. 复数与实数、虚数、 纯虚数及 0 的关系: 对于复数 a ? bi(a, b ? R) , 当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、 b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0

时,z 就是实数 0. 5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 即: 如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴: y 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b ∈ R) 可 用 点 Z(a,b) b Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面, 也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序 实数对为(0, x 点外, a 0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原 o 虚轴上 的点都表示纯虚数 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
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复数 z ? a ? bi ???? ? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的 一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法
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??? ? 8.若 A( x, y) , O (0, 0) ,则 OA ? ? x, y ?
9. 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 10. 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即
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AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)

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讲解新课: 一.复数代数形式的加减运算 1.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明:设 z1=a1+b1i.z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i) =[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3)i

=[(a1+a2)+a3]+[(b1+b2)+b3]i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)] =(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3),(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律 讲解范例: 例 1 计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4) i=-11 i 例 2 计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+?+(-2002+2003i)+(2003-2004i) 解法一:原式 =(1 - 2+3 - 4+ ?- 2002+2003)+( - 2+3 - 4+5+ ? +2003 - 2004i)=(2003 - 1001)+(1001 - 2004)i=1002-1003i. 解法二:∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i, (3-4i)+(-4+5i)=-1+i, ?? (2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i. 相加得(共有 1001 个式子): 原式=1001(-1+i)+(2003-2004i) =(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i 二.复数代数形式的加减运算的几何意义 复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
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1.复平面内的点 Z (a, b) ???? ? 平面向量 OZ
一一对应

??? ?

2.

? 平面向量 OZ 复数 z ? a ? bi ????
一一对应

??? ?

3.复数加法的几何意义: 设复数 z1=a+bi, z2=c+di, 在复平面上所对应的向量为 OZ 1 、OZ 2 , 即 OZ 1 、 作平行四边

OZ2 的坐标形式为 OZ 1 =(a,b), OZ2 =(c,d) 以 OZ 1 、 OZ2 为邻边
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形 OZ1ZZ2,则对角线 OZ 对应的向量是 OZ , ∴ OZ = OZ 1 + OZ 2 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i 4. 复数减法的几何意义:复数减法是加法的逆运算,设 z=(a-c)+(b-d)i,所以 z-z1=z2,z2+z1=z,由 复数加法几何意义,以 OZ 为一条对角线, OZ 1 为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 OZ2 所表示的向量 OZ 2 就与复数 z-z1 的差(a-c)+(b-d)i 对应 由于 OZ2 ? Z1Z ,所以,两个复数的差 z
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???? ? ????

-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 例 3 已知复数 z1=2+i,z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B,求 AB 对应的复数 z,z 在平面内所 对应的点在第几象限?

解:z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i, ∵z 的实部 a=-1<0,虚部 b=1>0, ∴复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内. 点评:任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即 AB 所表示的复数是 zB-zA. ,而 BA 所表示的复数是 zA-zB,故切不可把被减数与减数搞错 尽管向量
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AB 的位置可以不同,只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同,那么向量 AB 所对应的复数是惟一
的,因此我们将复平面上的向量称之自由向量,即它只与其方向和长度有关,而与位置无关 例 4 复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这 个正方形的第四个顶点对应的复数.
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分析一:利用 AD ? BC ,求点 D 的对应复数. 解法一:设复数 z1、z2、z3 所对应的点为 A、B、C,正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x+yi(x,y∈ R),是:

AD ? OD ? OA=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i; BC ? OC ? OB =(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
∵ AD ? BC ,即(x-1)+(y-2)i=1-3i,

? x ? 1 ? 1, ? x ? 2, ∴? 解得 ? ? y ? 2 ? ?3, ? y ? ?1.

例2图

故点 D 对应的复数为 2-i. 分析二:利用原点 O 正好是正方形 ABCD 的中心来解. 解法二:因为点 A 与点 C 关于原点对称,所以原点 O 为正方形的中心,于是(-2+i)+ (x+yi)=0,∴x=2,y=-1. 故点 D 对应的复数为 2-i. 点评:根据题意画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路 的作用
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巩固练习: 1.已知复数 z1=2+i,z2=1+2i,则复数 z=z2-z1 在复平面内所表示的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i 所对应的点分别是 A、B、C,则平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所对应的复数是 A.5-9i B.-5-3i C.7-11i D.-7+11i 3.已知复平面上△AOB 的顶点 A 所对应的复数为 1+2i,其重心 G 所对应的复数为 1+i,则以 OA、OB 为 邻边的平行四边形的对角线长为 A.3 2 B.2 2 C.2 D. 5

4.复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1,2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5.一个实数与一个虚数的差( ) A.不可能是纯虚数 B.可能是实数

C.不可能是实数

D.无法确定是实数还是虚数

6.计算(- 2 ? 3i) ? ( 3 ? 2i) ? [( 3 ? 2 ) ? ( 3 ? 2 )i] =____. 7.计算:(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=________(x、y∈R). 8.计算(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-?-(2002-2003i). 9.已知复数 z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量 OZ1 、 OZ 2 (O 为原点) ,若向 量 Z1 Z 2 对应的复数为纯虚数,求 a 的值. 解: Z1Z 2 对应的复数为 z2-z1,则 z2-z1=a-1+(a2+2a-1)i-[a2-3+(a+5)i]=(a-a2+2)+(a2+a-6)i ∵z2-z1 是纯虚数
2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 ∴? 2 ? ?a ? a ? 6 ? 0

解得 a=-1.

10.已知复平面上正方形的三个顶点是 A(1,2) 、B(-2,1) 、C(-1,-2) ,求它的第四个顶点 D 对应的复数. 解:设 D(x,y),则

AD ? OD ? OA 对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i BC ? OC ? OB 对应的复数为:(-1-2i)-(-2+i)=1-3i
∵ AD ? BC ∴(x-1)+(y-2)i=1-3i ∴?

?x ? 1 ? 1 ?x ? 2 ,解得 ? ? y ? 2 ? ?3 ? y ? ?1

∴D 点对应的复数为 2-i。 答案:1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.-2 2 i 7.(y-x)+5(y-x)i 8.解:原式=(1-2+3-4+?+2001-2002)+(-2+3-4+?-2002+2003)i =-1001+1001i 课后作业:课本第 112 页 习题 3.2 1 , 2 , 3 教学反思: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 即:如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 复数的加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a,b,c,d∈R). 复数的加法,可模仿多项式的加法法 则计算,不必死记公式。
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复数加法的几何意义:如果复数 z1,z2 分别对应于向量 OP 、 OP ,那么,以 OP1、OP2 为两边作平 1 2 行四边形 OP1SP2,对角线 OS 表示的向量 OS 就是 z1+z2 的和所对应的向量 复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
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复数减法的几何意义:两个

复数代数形式的乘除运算教案 教学目标: 1 知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算 2 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 3 情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不 易接受, 教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极 主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 课型:新知课 教具准备:多媒体 教学过程: 复习提问: 已知两复数 z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d 是实数) 加法法则:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法法则:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课: 一 .复数的乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1=a+bi, z2=c+di(a、 b、 c、 d∈R)是任意两个复数, 那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 2 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i 换成-1,并且把实部与虚部 分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究: 复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗? 二.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 同理可证: z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, ∴(z1z2)z3=z1(z2z3).

(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i ∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 复数的乘法与多项式的乘法是类似的 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开 运算. 例 2 计算: 2 (1)(3+4i) (3-4i) ; (2) (1+ i) . 2 2 解: (1)(3+4i) (3-4i) =3 -(4i) =9-(-16)=25; 2 2 (2) (1+ i) =1+2 i+i =1+2 i-1=2 i. 练习课后第 2 题 三.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等 于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 通常记复数 z 的共轭复数为 z 。 思考:若 z1, z2 是共轭复数,那么 (1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2)z1z2 是怎样的一个数? 探究: 类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法法则. 四:除法运算规则:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 记为:(a+bi) ? (c+di)或者

a ? bi c ? di

①设复数 a+bi(a,b∈R),除以 c+di(c,d∈R),其商为 x+yi(x,y∈R), 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知 ?

?cx ? dy ? a, ?dx ? cy ? b.

ac ? bd ? x? 2 , ? ? c ?d2 解这个方程组,得 ? ? y ? bc ? ad . ? c2 ? d 2 ?
于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2
2

②利用(c+di)(c-di)=c +d .于是将

2

a ? bi 的分母有理化得: c ? di

原式=

a ? bi (a ? bi)(c ? di) [ac ? bi ? (?di)] ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2

?

(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i. c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2

∴(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2

点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理化思想方法, 2 2 而(c+di)·(c-di)=c +d 是正实数.所以可以分母"实数"化. 把这种方法叫做分母实数化法 例 3 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4 i) 解: (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i ) ?

1 ? 2i 3 ? 4i

?

(1 ? 2i)(3 ? 4i) 3 ? 8 ? 6i ? 4i ?5 ? 10i 1 2 ? ? ?? ? i 2 2 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 3 ?4 25 5 5

1 先写成分式形式 2 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数) 3 化简成代数形式就得结果 练习:课后第 3 题(1)(3) 小结: 作业: 教学反思: 复数的乘法法则是:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 法进行,不必去记公式. 复数的除法法则是:

复数的代数式相乘,可按多项式类似的办

a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i(c+di≠0). c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数,再把结果化简.


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