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上海市高三数学复习练习【12B】


高三数学复习练习【12B.2011.12.16】 1. 若向量 OA ? (3,1),OB ? (?1,2),OC ? OB, BC // OA ,则向量 OC ? ?????.(14,7) 2. 点 M(2,3)关于直线 x ? y ? 1 对称点 M 的坐标为?????????.(4,1)
/

3. 在△ ABC 中,∠ C=90° , AB ? (k ,1), AC ? (2,3), 则 k=??????.{5}

3 , 则 直 线 l1: x ? y ? 1 ? cos? ? 6 ? 0 与 2 x ? sin ? ? y ? 1 ? cos? ? a ? 0 的位置关系是????????.{垂直} x y 5. 设向量 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则 1 ? 1 是 a // b 的( C )条件。 x2 y 2
4.

? ? (? , ? )

l2:

(A)充要 (B)必要不充分 (C) 充分不必要 (D)既不充分也不必要 2 2 6. 设 A(2,4m?1) 、 B(3,2m ) 、 C(?1,m ) 是 三 角 形 的 三 个 顶 点 , 则 m 的 取 值 范 围 是 .

2 2 (?? , ) ? ( ,2) ? (2,?? ) 7 7 7. 不等式 ?1 ? x?? 1 ? x ? ? 0 的解为__________. (??,?1) ? (?1,1) x y b ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的倾斜角是??????????????. {? ? arctan } a b a 1 9. 将函数 y ? 的图像向左平移一个单位后得到 y ? f ?x ? 的图像, 再将 y ? f ?x ? 的图 x?a 像绕原点旋转 180 ? 后仍与 y ? f ?x ? 的图像重合,则 a ? __________. {?1} 1 10. 经过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为???????. { y ? x, y ? ? x ? 3} 2 a b ? b ? ? ? bn 1 lim n ? 3 , ? _. { } 11. 设数列 ?an ?、 且公差均不为 0 , 则 lim 1 2 ?bn ?均为等差数列, n ?? b n?? 18 n ? a3 n n 1 1 n ? ? 12. 设 a ? b ? c, n ? N * ,且 恒成立,则 n 的最大值为_______.{4} a?b b?c a?c 13. 若奇函数 y ? f ?x ??x ? 0? ,当 x ? ?0,??? 时, f ?x ? ? x ? 1 ,则不等式 f ?x ? 1? ? 0 的 解__________. (??,0) ? (1,2) 14. 已知 b 克糖水中含有 a 克糖 ?b ? a ? 0?,再添加 m 克糖 ?m ? 0? (假设全部溶解)糖水 a a?m } 变甜了,试根据这一事实提炼一个不等式__________. { ? b b?m
8. 直线 15. 直角坐标平面内,我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。现有一系列顶点都为 整点的等腰直角三角形 ?OA 1 B1 , ?OA2 B2 , ?OA 3 B3 ,?, ?OAn Bn ,?,其中点 O 是坐标 原点,直角顶点 An 的坐标为 ?n, n? n ? N * ,点 Bn 在 x 轴正半轴上,则第 n 个等腰直角 三角形 ?OAn Bn 内(不包括边界)整点的个数为__________. {(n ? 1) }
2

?

?

16. 设 A 、 B 、 I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I ,则下列各式中错误的是(B (A) U A ? B ? I (B) U A ?
U



B ? I (C)A ? U B ? ? (D) U A ? U B ? U B 17. 若函数 f ?x ? 、 g ?x ? 的定义域和值域都是 R ,则“ f ?x ? ? g ?x ?, x ? R ”成立的充要条件
是(D ) (A)存在 x0 ? R ,使得 f ?x0 ? ? g ?x0 ? (C)对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? (B)有无数多个实数 x ,使得 f ?x ? ? g ?x ? (D)不存在实数 x ,使得 f ?x ? ? g ?x ?

1 ? g ?x ? 2

18. 等 比 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 512 , 公 比 q ? ?

1 , 用 ?n 表 示 它 的 前 n 项 之 积 : 2
) (D) ? 8

? n ? a1 ? a2 ? ?? an ,则 ? 1 、 ? 2 、…中最大的是(C (A) ? 11 (B) ? 10 (C) ? 9

19. 已知关于 t 的方程 t 2 ? zt ? 4 ? 3i ? 0?z ? C ? 有实数解, (1)设 z ? 5 ? ai?a ? R? ,求 a

的值; ( 2 )求 z 的取值范围 . ( 1 )设实数解为 t ,由 t 2 ? ?5 ? ai?t ? 4 ? 3i ? 0 得

?t 2 ? 5t ? 4 ? 0 ? ?? at ? 3 ? 0

?t ? 1ort ? 4 ? ?? 3 a? ? t ?



a ? 3ora ?
2

3 4





2



t 2 ? 4 ? 3i 4 3 z? ?t? ? i , t t t
∴ z ? 3 2 ,?? 。

?

?

9 25 ? 4? z ? ?t ? ? ? 2 ? t 2 ? 2 ? 8 ? 3 2 , t? t t ?

20. 近年来玉制小挂件备受人们的青睐,某玉制品厂去年的年产量为 10 万件,每件小挂件 的销售价格平均为 100 元,生产成本为 80 元。从今年起工厂投入 100 万元科技成本,并 计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本,预计产量每年递增 1 万件。设第 n 年 每件小挂件的生产成本 g ( n) ?

80 n ?1

元,若玉制产品的销售价格不变,第 n 年的年利

润为 f ( n) 万元。 (今年为第 1 年) (1)求 f ( n) 的表达式; (2)问从今年算起第几年利 润最高?最高利润为多少万元? [解] 解: (1) f (n) ? (10 ? n) ? 100 ? (10 ? n) ? = 1000? 由 n ?1 ?

80 n ?1

? 100n 9 n ?1 ],

80(n ? 10) n ?1 9 n ?1

( n 为正整数) 。 (2) f (n) ? 1000? 80[ n ? 1 ?

? 2 9 ? 6 ,当且仅当 n ? 8 时等号成立,得出 f (n) ? 520,因此第 8

年利润最高为 520 万元。 21. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2, n ? an?1 ? S n ? n?n ? 1? , (1)求数列 ?an ? 的通项公式: (2)令 Tn ?

数 n ,总有 Tn ? m ,求 m 的取值范围.

Sn ,①当 n 为何正整数值时, Tn ? Tn?1 :②若对一切正整 2n

22、解: (1)令 n ? 1 , 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,即 a2 ? a1 ? 2 , 由?

∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an?1 ? an ? 2 n ? N * ,即数列 ?an ? 是以 2 为首项、 2 为公差的等差 数列, ∴ an ? 2n , (2)① Tn ?

?n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? ? n ? an?1 ? ?n ? 1?an ? an ? 2n ? an?1 ? an ? 2?n ? 2? , ??n ? 1? ? a n ? S n?1 ? n?n ? 1?

?

?

S n n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2? ,即 n ? 2 n ? N * , ? ? Tn ?1 ? n n 2 2 2 n ?1 S 3 3 ②∵ T1 ? 1 ? 1, T2 ? T3 ? ,又∵ n ? 2 时,Tn ? Tn?1 ,∴各项中数值最大为 ,∵对一 2 2 2 3 切正整数 n ,总有 Tn ? m ,∴ m ? 。 2 ? ? ? ? 3 3 x x ? ?? 22. 已 知 向 量 a ? (cos x, sin x), b ? (cos ,? sin ). , 且 x ? ?0, ?, 求 (1) a ? b 及 2 2 2 2 ? 2? ? ? ? ? ? ? 3 a ? b ;(2)若 f ?x ? ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值是 ? ,求实数 ? 的值. 2

?

?

答 案 :

(1) 易 求 =

? ? a ?b ? c o 2x s ,

? ? a ?b

=

2 cos x

;(2)

? ? ? ? f ?x ? ? a ? b ? 2? a ? b

cos 2 x ? 2? ? 2 cos x = 2 cos2 x ? 4? cos x ? 1 =

2?cosx ? ? ? ? 2?2 ? 1
2

时 , f ?x ?min ? ?1
2

? ?? ? x ? ?0, ? ? 2?
3 2

? cos x ? ?0,1? 从 而 : 当 ? ? 0
不 合 题 意 ; 当 0 ? ? ?1

与 题 意 矛 盾 , ??0

1 3 ; 当 ? ? 1 时 , f ? x ?min ? 1 ? 4? ? ? , 解得 2 2 5 1 ? ? ,不满足 ? ? 1 ;综合可得: 实数 ? 的值为 . 8 2 23. 在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C ( p,0) 作直线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 (2)若点 D A, B 两点,如图,设动点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) .(1)求证: y1 y 2 为定值; 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ?ADB 面积的最小值; (3)是否存在平行于 y 轴 的定直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;
时 , f ? x ?min ? ?2? ? 1 ? ? ,? ? ? 若不存在,请说明理由。 [解] 解: (1) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,y1 ? 因此 y1 y2 ? ?2 p 2(定 2 p, y2 ? ? 2 p ,

值) ;当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? p) ,由 ?

? y ? k ( x ? p) 2 ? y ? 2 px

得 ky 2 ? 2 py ? 2 p 2 k ? 0,? y1 y2 ? ?2 p 2 . 因此有 y1 y2 ? ?2 p 2 为定值。 (2)

D(? p,0),? DC ? 2 p. S ?ADB ?
S ?ADB ?

1 DC ? | y1 ? y 2 | 当直线 AB 垂直于 x 轴时, 2 y1 ? y 2 ? 2p , k

1 ? 2 p ? 2 2 p ? 2 2 p2 ; 当直线 AB 不垂直于 x 轴时, 由 (1) 知 2

因此 | y1 ? y 2 |?

( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

4 p2 ? 8 p 2 ? 2 2 p , ? S ?ADB ? 2 2 p 2 。综 2 k

上, ?ADB 面积的最小值为 2 2 p 2 (3)设存在直线 l : x ? a 满足条件。 AC 中点

E(

x1 ? p y1 2 , ) , AC ? ( x1 ? p) 2 ? y1 , 2 2
1 1 1 2 2 AC ? ( x1 ? p) 2 ? y1 ? x1 ? p 2 , AC 中点 E 到直线 x ? a 的距离 2 2 2

r?

d ?|

x1 ? p ? a | , ? 所截弦长为: 2

2 r2 ? d 2 ? 2

x ?p 1 2 2 ( x1 ? p 2 ) ? ( 1 ? a) 2 ? x1 ? p 2 ? ( x1 ? p ? 2a) 2 4 2
p 时, 弦长 2

? ? 2 x1 ( p ? 2a ) ? 4 pa ? 4a 2 ,当 p ? 2a ? 0, a ?
= 4p?

p p p2 ? 4? ? p 为定值。这时直线 l 的方程为 x ? . 2 2 4


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