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2.3(1)其他不等式的解法(课件)


2.3其他不等式的解法

1.分式不等式

课前预热
1.不等式(x+3)(x-5)>0的解集是 ( ??, ?3) ? (5, ??) ____________. 2.不等式(x+1)(3x-2)<0的解集是

2 ( ?1, ) 3

3. 不等式 (x+2)(3-x)<0的解集是 (?? , ?2) U (3, ??) ___________.

分式不等式:
形如
f ( x) f ? x? ?0 ?0 g ? x? 或 g ( x) (其中 f ( x ), g ( x ) 为整

式且 g ( x ) ? 0 )的不等式为分式不等式.

判断下列不等式是否等价
1.

2 ?0 x?2

和x-2>0 和3x-4>0

2.

3 ?0 3x ? 4

3.

x ?1 ? 0 和(x+1)(3x-2)>0 3x ? 2
x ?1 ? 2 和x+1>2(3x-2) 3x ? 2

4.

2x ? 2 例1:解下列不等式 ?0 x?3

? 2x ? 2?? x ? 3? ? 0

解分式不等式的思路------转化为整式不 等式解.

例1

x ?1 ?2 解不等式: 3 x ? 2 .

x ?1 ?2 解: 3x ? 2 5x ? 5 ?0 ? 3x ? 2

?

x ?1 ?2?0 3x ? 2

?5 ? x ? 1? ? ?0 3x ? 2

? ?5x ? 5??3x ? 2? ? 0

注意:遇到不等号右边不为0的非标准分式方程, 要先化为右边为0,再按照标准的分式方程求解。

例2:解不等式

x?3 ?0 3 ? 2x

例题讲解
1.解下列不等式 x ?1 x ?1 x ?1 (1) ?0 (2) ?0 (3) ?2 3x ? 2 3x ? 2 3x ? 2 x?2 x?8 x?8 (4) ?1 (5) 2 ? 2 (6) 2 ?0 2x ? 1 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 ( x ? 1)2 ( x ? 1) 3 (7) ? 0 (8) x ? 2 ? x?3 x

转化的方法:
f ( x) (1) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x)

f ( x) (2) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) (3) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0
? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) (4) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

例1.解下列不等式

x?2 (1) ?0 x?3 x ?1 (2) ?0 5? x

x ?1 ?2 (4) 3x ? 2 3 ?x (5) 2? x 1 (6) ?1 x

2x ?1 (3) ?0 x?3

例2.解下列不等式
2

x ? x ?1 x ? x?6 (1) 2 ?2 ? 0 (2) 2 x ? x ?1 x ? 8 x ? 15 2 ( x ? 3)( x ? 2) x ? x?6 ?0 解: (1) 2 ?0? ( x ? 3)( x ? 5) x ? 8 x ? 15
2

( x ? 2) ? ?0 且 x?3 ( x ? 5) ? ( x ? 2)( x ? 5) ? 0 且 x ? 3 且 x ? 5
? x ?[?2,3) ? (3,5)

例2.解下列不等式
2

x ? x?6 (1) 2 ?0 x ? 8 x ? 15

x ? x ?1 (2) 2 ?2 x ? x ?1
2

解: (2) ? x2 ? x ? 1 ? 0 恒成立 2 x ? x ?1 ? 2 ? 2 ? x2 ? x ? 1 ? 2 x2 ? 2 x ? 2 x ? x ?1

? x ? 3x ? 1 ? 0
2

3? 5 3? 5 ? x ?( , ) 2 2

解毕

复习 判断下列命题是否成立

a (1) ? 0 ? ab ? 0√ b a (3) ? 1 ? a ? b × b

a (2) ? 0 ? ab ? 0 √ b a a ?b ? 0√ (4) ? 1 ? b b

ac a a 2 ? 0 ? ? 0× (5) ? 1 ? ab ? b √ (6) bc b b
回忆不等式的性质3(乘法性质)

ax ? a ?0 例3.解关于 x 的不等式 x?2 2 ax ? a 解: ? 0 ? a( x ? a)( x ? 2) ? 0 x?2 0 ? 0 ,解集为 ? ① a ? 0 时,
2

② a ? 0 时,转化为 ( x ? a)( x ? 2) ? 0
解集为 (??, a) ? (2, ??) ③ a ? 0 时,转化为 ( x ? a)( x ? 2) ? 0

ax ? a ?0 例3.解关于 x 的不等式 x?2 2 ax ? a 解: ? 0 ? a( x ? a)( x ? 2) ? 0 x?2 ③ a ? 0 时,转化为 ( x ? a)( x ? 2) ? 0
2

(i) a ? 2 时,解集为 (2, a )
(ii) a ? 2 时,解集为 ?

(iii) a ? 2 时,解集为 ( a, 2)

解毕

ax ? a ?0 例3.解关于 x 的不等式 x?2 2 ax ? a 解: ? 0 ? a( x ? a)( x ? 2) ? 0 x?2
2

分析:优先讨论二次项系数正负, 再讨论根的大小,如果根的大小不易判定, 作差比较后划分讨论区间. 讨论区间时注意不重不漏,划分清晰.

例4. 解关于 的不等式 x

mx ? 1 解: ? 0 ? (mx ? 1)(mx ? 1) ? 0 mx ? 1 ?1 ? 0 ,解集为 R ① m ? 0 时, 1 1 ② m ? 0 时,转化为 ( x ? )( x ? ) ? 0 m m 1 1 (i) m ? 0 时,解集为 (? , ) m m 1 1 (ii) m ? 0 时,解集为 ( , ? ) 解毕 m m

mx ? 1 ?0 mx ? 1

例 5、当 m 为何值时,关于 x 的不等式

m ? x ? 1? ? 3 ? x ? 2 ? 的解是 (1)正数? (2)是负数?

解:原方程化为: ? m ? 3? x ? m ? 6
1o:m-3=0即m=3时,0=9不成立,故无解

m?6 2 :m-3 ? 0即m ? 3时,x= m?3
o

x ? 8 例6:解不等式: ?2 2 x ? 2x ? 3
2 x?8 ? 2 x ? 3 x ? 2 ? 2 ? 0 解: 2 ? ? 0 2 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3

2 x ? 3x ? 2 ? 2 ?0 x ? 2x ? 3
2

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0的判别式? =-8 ? 0结合图像x 2 ? 2 x ? 3>0恒成立

故上述不等式等价于2 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0

一、绝对值 我们知道 | x | 表示数轴上的点 x 与原点的 距离. x , x ? 0 ? ? | x |? ? 0, x?0 ? ? ? x, x?0
思考 | x |? 1 和 | x |? 3 的解集是什么?

二、含绝对值的不等式的解法
一般地,如果 a ? 0 ,由绝对值的几何意义 可知 | x |? a ??a ? x ? a

| x |? a ? x ? ?a 或 x ? a
不等式 | x |? a 的解集是 (?a, a) 不等式 | x |? a 的解集是 (??, ?a) ? (a, ??)

思考 a ? 0, | x |? a,| x |? a 的解集是什么?

例1.解下列不等式:

(1) | 2 x |? 1

(4) | 2 x ? 3 |? 1 (5) | ?2 x ? 1|? 5

(2) | x ? 3 |? 7

(3) | 2 ? x |? 1

1 ?1 (6) | x ? 1|

例1.解下列不等式

(1) | 2 x |? 1

1 1 ? ?1 ? 2 x ? 1 ? x ? (? , ) 2 2

(2) | x ? 3 |? 7 ? ?7 ? x ? 3 ? 7 ? x ? (?10, 4) (3) | 2 ? x |? 1 ?| x ? 2 |? 1
? x ? 2 ? ?1 或 x ? 2 ? 1

? x ? (??,1] ? [3, ??) (4) | 2 x ? 3 |? 1 ? ?1 ? 2 x ? 3 ? 1 ? x ?[1, 2]

例1.解下列不等式

(5) | ?2 x ? 1|? 5 ?| 2 x ? 1|? 5
? 2 x ? 1 ? ?5 或 2 x ? 1 ? 5

? x ? (??, ?2) ? (3, ??)
1 (6) ? 1 ?| x ? 1|? 1 且 | x ? 1|? 0 | x ? 1| ? ?1 ? x ? 1 ? 1 且 x ? 1
? x ? (0,1) ? (1, 2)

例2.解下列不等式

1 2x ? 3 (2) ?2 (1) ?1 | 2x ? 3 | x?2 1 1 ? 2 ?| 2 x ? 3 |? 且 | 2 x ? 3 |? 0 解: (1) 2 | 2x ? 3 | 1 1 ? 2x ? 3 ? ? 或 2x ? 3 ? 2 2 5 7 ? x ? (??, ] ? [ , ??) 4 4

例2.解下列不等式

1 ?2 (1) | 2x ? 3 |

2x ? 3 (2) ?1 x?2

2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3 ?1 ? ?1 或 ? 1? 解: (2) x?2 x?2 x?2 x?5 3x ? 1 ?0 ? ?0 或 x?2 x?2 1 ? x ? (??, ?2) ? (?2, ) ? (5, ??) 3 解毕

复习 判断下列关系是否恒成立.
(1) | ?a |? a × (3) x ? a ?| x |?| a | √
2 2

(2) | a |?| ?a | √ (4) | a || b |?| ab | √ (6) | b ? a |?| a ? b | √
2 2

(5)

a ?a ×
2

(7) | x |? a ? x ? a ×

例3.解不等式 | 2 x ? 3 |? x

| 2 x ? 3 |? x 无解; 解: 当 x ? 0 时, | 2 x ? 3 |? x 当 x ? 0 时, ? ?x ? 2x ? 3 ? x

?3x ? 3 ?1? x ? 3 ?? ?x ? 3
综上:不等式的解集为 (1,3) 思考 | 2 x ? 3 |? x 的解集是什么?

例 解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 分析:-2,1对应的点在数轴上把实数集分 成了三个区间 (??, ?2], (?2,1), [1, ??)

解:当 x ? ?2 时,原不等式等价于

?( x ?1) ? ( x ? 2) ? 5 ? x ? ?2 解得 x ? ?3 ,即不等式组 ? ?| x ? 1| ? | x ? 2 |? 5
的解集是 (??, ?3]

例 解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 解续:当 ?2 ? x ? 1 时,原不等式等价于 解集为 ? .

?( x ?1) ? ( x ? 2) ? 5

当 x ? 1 时,原不等式等价于

( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5
解得 x ? 2 . 综上,原不等式的解集为 (??, ?3] ? [2, ??)

回顾
我们知道 | x | 表示数轴上的点 x 与原点的 距离.

| x ? a | 表示数轴上的点 x与点 a的距离. | x?a|

x

a

思考 | x ? 3 | 的几何意义是什么?

例 解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5

分析:解集即数轴上到1,-2两数对应点的
距离之和不小于5的点所对应的实数.

?3 ? 2

1 2

x

显然 | ?3 ? 1| ? | ?3 ? 2 |? 5 ,| 3 ? 1| ? | 2 ? 2 |? 5 解法二:由绝对值的几何意义知原不等式的 解集是 (??, ?3] ? [2, ??)

例1.解下列不等式:

(1) | x ? 3| ? | x ? 5 |? 4 解集为 (??, 2] ? [6, ??) (2) | x ? 2 | ? | x ? 3 |? 4 解集为 R (3) | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 1 5 解集为 ( , ) 2 2

2 3

5 6 5

x

?3
2

2

x x

1 2

1

5 2

例 解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5

分析:原不等式转化为 | x ?1| ? | x ? 2 | ?5 ? 0 构造函数 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ,并作图求解.
解法三: ??2 x ? 6, x ? ?2, ? ? 1 ?3 ? 2 O y ? ??2, ? 2 ? x ? 1, ? ?2 ? ?2 x ? 4, x ? 1. 原不等式的解集为 (??, ?3] ? [2, ??)
y

2

x

例2.如果关于 x 的不等式 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围. 分析:利用绝对值的几何意义、或函数与方 程或分类讨论都可以得出结果. 解:由绝对值的几何意义知: | x ? 3 | ? | x ? 4 | 对于任意 x ,最小值为1 因此参数 a ? 1时,原不等式解集为空集. 所以参数 a ? 1时,原不等式解集非空. 解毕

例3.解不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 解:分类讨论 ? x ? ?5 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 ? ? ??( x ? 5) ? ( x ? 3) ? 10 ?x ? 3 ??5 ? x ? 3 或? 或? ?( x ? 5) ? ( x ? 3) ? 10 ?( x ? 5) ? ( x ? 3) ? 10 综上:原不等式解集为空集.

思考:可以用绝对值的几何意义或画 函数图像的方法来解决这个问题吗?

3种类型的含绝对值不等式的解法

? f ( x ) ? g( x ) (1)|f ( x ) |? g( x ) ? ? ; ? f ( x ) ? ? g( x ) |f ( x ) |? g( x ) ? f ( x ) ? g( x )或f ( x ) ? ? g( x )
(2)|f ( x ) |?| g( x ) |? f 2 ( x ) ? g 2 ( x ) ? [ f ( x ) ? g( x )][ f ( x ) ? g( x )] ? 0 (3)|f ( x ) | ? | g( x ) |? k (分类讨论, 首先求出f ( x ) ? 0, g( x ) ? 0所对应的x的值, 标在数轴上再分段)

例题讲解
3.解下列不等式 (1) | 3 x ? 5 |? 5 (3)1 ?| 2 x ? 5 |? 7 2x ? 1 (4) | 2 x ? 1 |? x ? 1 (5) | 2 x ? 1 |?| x ? 1 | (6) | |? 1 x?2 (7) | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 (8)(2? | x |)( x ? 1) ? 0 (2) | 2 x ? 1 |? 1

例题讲解
4.解关于x的不等式|2 x ? 1|? 2m ? 1 ( x ? R)

5.若关于x的不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1|? a的解集是R, 则 实数a的取值范围是__________.

一、高次不等式的解法
例1 .解下列高次不等式:

(1)   ( x ? 7 x ? 12)( x ? x ? 6) ? 0
2 2

(2)   ( x ? 2)( x ? 1)(2 ? x) ? 0
2 2 2

解不等式(2 x ? 1)(3 ? x)(3 x ? 2) ( x ? 8) ? 0
2

高次不等式的解法:

1、将不等式变形使其右边为0,左边多项式中 x的最高次项系数为正;

2、将左边多项式因式分解成一次或二次因式 的积,其中二次因式必须在实数范围内不 能继续分解;
3、出现重根当作两个根处理; 4、在数轴上标根,从数轴右上方自右向左画 曲线.


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