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高考数学知识点之极限


高考数学知识点之极限
考试内容: 教学归纳法.数学归纳法应用. 数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求: (1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

§13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法: ①证明当 n 取第一个 n 0 时结论正确; ②假设当 n ? k ( k ? N ? , k ? n0 ) 时,结论正确,证明当 n ? k ? 1 时,结论成立. ⑵第二数学归纳法:设 P(n) 是一个与正整数 n 有关的命题,如果 ①当 n ? n 0 ( n 0 ? N ? )时, P(n) 成立; ②假设当 n ? k ( k ? N ? , k ? n0 )时, P(n) 成立,推得 n ? k ? 1 时, P(n) 也成立. 那么,根据①②对一切自然数 n ? n 0 时, P(n) 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法: ① lim an ? a
n??

②当 n ? ? 时, a n ? a . ⑵几个常用极限: ① lim C ? C ( C 为常数)
n??

? 0 (k ? N , k是常数) nk ③对于任意实常数,

② lim
n??

1

当 | a |? 1 时, lim a n ? 0
n??

当 a ? 1 时,若 a = 1,则 lim a n ? 1 ;若 a ? ?1,则 lim a n ? lim (?1) n 不存在
n?? n ?? n ??

当 a ? 1 时, lim a n 不存在
n??

⑶数列极限的四则运算法则: 如果 lima n ? a, limb b ? b ,那么
n?? n??

① lim(a n ?b n ) ? a ? b
n??

1

② lim(a n ?b n ) ? a ? b
n??

③ lim

n ??

an a ? (b ? 0) bn b

特别地,如果 C 是常数,那么
n??

lim(C ?a n ) ? lim C ? lima n ? Ca .
n?? n??

⑷数列极限的应用: 求无穷数列的各项和,特别地,当 q ? 1 时,无穷等比数列的各项和为 S ?
a1 ( q ? 1) . 1? q

(化循环小数为分数方法同上式) 注:并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限; ⑴当自变量 x 无限趋近于常数 x 0 (但不等于 x 0 )时,如果函数 f (x) 无限趋进于一个常数 a , 就是说当 x 趋近于 x 0 时,函数 f (x) 的极限为 a .记作 lim f ( x) ? a 或当 x ? x 0 时, f ( x) ? a .
x ? x0

注:当 x ? x 0 时, f (x) 是否存在极限与 f (x) 在 x 0 处是否定义无关,因为 x ? x 0 并不要求 x ? x 0 .(当然, f (x) 在 x 0 是否有定义也与 f (x) 在 x 0 处是否存在极限无关. ? 函数 f (x) 在 x 0 有定义是 lim f ( x) 存在的既不充分又不必要条件.)
x?x0

如 P( x) ? ?

?x ? 1 x ? 1 在 x ? 1 处无定义, lim P( x) 存在, 但 因为在 x ? 1 处左右极限均等于零. x?1 ?? x ? 1 x ? 1

⑵函数极限的四则运算法则: 如果 lim f ( x) ? a, lim g ( x) ? b ,那么
x ? x0 x ? x0

① lim ( f ( x) ? g ( x)) ? a ? b
x ? x0

② lim ( f ( x) ? g ( x)) ? a ? b
x ? x0

③ lim

x ? x0

f ( x) a ? (b ? 0) g ( x) b

特别地,如果 C 是常数,那么
x ? x0

lim (C ? f ( x)) ? C lim f ( x) .
x ? x0

x ? x0

lim [ f ( x)] n ? [ lim f ( x)] n ( n ? N ? )
x ? x0

注:①各个函数的极限都应存在. ②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限: ① lim
n??

1 ?0 x
x ? ??

② lim a x ? 0 (0< a <1) m ; il
x ? ??

a x ? 0 ( a >1)

2

③ lim
x ?0

sin x x ? 1 ? lim ?1 x?0 sin x x
1

1 ④ lim(1 ? ) x ? e , lim(1 ? x) x ? e ( e ? 2.71828183 ) x ?0 x?? x

4. 函数的连续性: ⑴如果函数 f x) g ( , (x) 在某一点 x ? x 0 连续, 那么函数 f ( x) ? g ( x), f ( x) ? g ( x), 在点 x ? x 0 处都连续. ⑵函数 f(x)在点 x ? x 0 处连续必须满足三个条件: ①函数 f(x)在点 x ? x 0 处有定义;② lim f ( x) 存在;③函数 f(x)在点 x ? x 0 处的极限值
x?x0

f ( x) ( g ( x ) ? 0) g ( x)

等于该点的函数值,即 lim f ( x) ? f ( x 0 ) .
x? x0

⑶函数 f(x)在点 x ? x 0 处不连续(间断)的判定: 如果函数 f(x)在点 x ? x 0 处有下列三种情况之一时,则称 x 0 为函数 f(x)的不连续点. ①f(x)在点 x ? x 0 处没有定义,即 f ( x 0 ) 不存在;② lim f ( x) 不存在;③ lim f ( x) 存在,
x?x0 x?x0

但 lim f ( x) ? f ( x 0 ) .
x? x0

5. 零点定理,介值定理,夹逼定理: ⑴零点定理:设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且 f (a) ? f (b) ? 0 .那么在开区间 (a, b) 内至 少有函数 f (x) 的一个零点,即至少有一点 ? ( a < ? < b )使 f (? ) ? 0 . ⑵介值定理:设函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且在这区间的端点取不同函数值, f (a) ? A, f (b) ? B ,那么对于 A, B 之间任意的一个数 C ,在开区间 (a, b) 内至少有一点 ? ,使 得 f (? ) ? C ( a < ? < b ). ⑶夹逼定理:设当 0 ?| x ? x 0 |? ? 时,有 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x ) ,且 lim g ( x) ? lim h( x) ? A ,则
x? x0 x? x0

必有 lim f ( x) ? A.
x ? x0

注: | x ? x 0 | :表示以 x 0 为的极限,则 | x ? x 0 | 就无限趋近于零.( ? 为最小整数) 6. 几个常用极限: ① lim q n ? 0, q ? 1
n ? ??

② lim

n ? ??

an ? 0( a ? 0) n!

③ lim

nk an

n ? ??

? 0( a ? 1, k 为常数)

④ lim ⑤ lim

n???

ln n ?0 n
(ln n) k n? ? 0(? ? 0, k 为常数)

n ? ??

3

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