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安徽师大附中2016届高三最后一卷理科数学试题Word版含答案.doc


安徽师大附中 2016 届高考最后一卷 理科数学试题
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项。 1、设集合 A ? y y ? x ? 1 , B ? ? x y ?
2

?

?

? ? ? ?

? ? ? ,则 A ? B ? ( x 2 ?2? ? 1
C、 (1, ??)

) D、 [0, ??)

A、 [1, ??)

B、 (0, ??)

2、已知复数 z ? A、 2
2016

2016 ? 2015i 2016 ? 1 ,则 z =( 2015 ? 2016i
B、 2
1008


1008

C、 ? 2

D、 ?2 ).

2016

3、面 ? ? ? ,直线 b ? ? , m ? ? ,且 b ? m ,则 b 与 ? ( A. b ? ? B. b 与 ? 斜交
x ?1

C. b // ?

D.位置关系不确定

4、已知命题 p :函数 y ? 2 ? a

的图象恒过定点 (1,2) ;命题 q :若函数

y ? f ( x ? 1) 为偶函数,则函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则下列
命题为真命题的是( ) A. p ? q 5、已知数列 B. p ? q C. ?p ? q D. p ? ?q

{an }中, a1 ? 1, an?1 ? an ? n, 利用如图所示的

程序框图计算该数列的第 10 项,则判断框中应填的语 句是 A. n ? 10 C. n ? 9 ( )

B. n ? 10 D. n ? 9

6、如图是一个多面体三视图,它们都是斜边长为 2 的等腰 Rt ? , 则这个多面体最长一条棱长为( A、 2 C、 2 3 B、 3 D、 3 2 )

7、设 X ? N (1, ? ) ,其正态分布密度曲线如图所示,且 P(X ? 3) ? 0.0228 ,那么向正方
2

形 OABC 中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为(



2 ? ? 6 8 . 2 6, % 附: ( 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (1, ? ) , 则 P(? ? ? ? ? ? ? ? )

P( ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 95.44% )
A.6038 B.6587 C.7028 D.7539

8、已知 P 为函数 y ? ln(2 x ? 1) 图象上的一个动点, Q 为函数 y ? 2 x ? 3 图象上一个动点, 则

PQ

2

最小值=(

) B、5C、6D、7

A、4 9、已知 a ? 2 , b ? 3 , c ? 10
lg3 lg2 lg2?lg3

,则 a , b, c 大小关系为( C、 a ? b ? c

) D、 a ? b ? c

A、 a ? c ? b

B、 a ? b ? c

10 、 设

M ( x0 , y0 ) 是椭圆

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 上 一点, A , B 是其 左,右顶 点,


???? ? ???? ? 2 2 AM ? BM ? x0 ? a2 ,则离心率 e ? (
1 A、 2

3 B、 3

4 C、 5

2 D、 2
?x ?2 ? ? ? ?y ?2 ,

?a(a ? b) Max ?a, b? ? ? ?b(a ? b) 设 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件 : 11 、 定 义

zmax ? ?4x ? y,3x ? y?
A、 ?7 ? z ? 8

,则 z 的取值范围为( B、 ?7 ? z ? 10

) C、 8 ? z ? 10 D、 0 ? z ? 10 当 x?0 时 ,

12 、 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 .

? ?5 sin( x) (0 ? x ? 1) ? ?4 2 f ( x) ? ? ?( 1 ) x ? 1 ( x ? 1) ? ? 4

若关于 x 的方程 [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? 0 ( a, b ? R ) ,
2

有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范围是(



5 9 (? , ? ) 4 A. 2

9 ( ? , ?1) B. 4

5 9 9 (? , ? ) ? (? , ?1) 4 C. 2 4

5 ( ? , ?1) D. 2

二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13、命题“ ?x ? 0, x ? x ? 0 ”的否定是
2
5 6 2 14、 (1 ? x ) (1 ? x ) 展开式中 x 的系数为
3

. .

15、 如图, 半径为 2 的扇形的圆心角为 120?, M , N 分别为半径 OP, OQ 的中点, A 为弧 PQ 上任意一点,则 AM ? AN 的取值范围是 16 、已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

???? ? ????



1 , an ?1 ? 2an ? 2 n ,数列 ?bn ?满足 2

bn ?

40 2 ? 2n an ,存在 m ? N * ,使得对 ?n ? N * ,不等式 n


bn ? bm 恒成立,则 m 的值为

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2 2 17 、 在 ABC 中 , 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c , a ? b ? 6ab cos C ,

sin 2 C ? 2sin A sin B.
(1)求角 C 的大小.

f(x) ? sin(? x ? ) ? cos ? x(? ? 0) 6 (2)设函数 ,且 f(x)图像上相邻两最高点间的距离为

?

? ,求 f(A)的取值范围。

18、2014 年 12 月初,南京查获了一批问题牛肉,滁州市食药监局经民众举报获知某地 6 个 储存牛肉的冷库有 1 个冷库牛肉被病毒感染,需要通过对库存牛肉抽样化验病毒 DNA 来确 定感染牛肉,以免民众食用有损身体健康。下面是两种化验方案:

方案甲:逐个化验样品,直到能确定感染冷库为止。 方案乙:将样品分为两组,每组三个,并将它们混合在一起化验,若存在病毒 DNA,则表明感染牛肉在这三个样品当中,然后逐个化验,直到确定感染冷库为止;若结 果不含病毒 DNA,则在另外一组样品中逐个进行化验。 ⑴求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率。 ⑵首次化验化验费为 10 元,第二次化验化验费为 8 元,第三次及其以后每次化验费都是 6 元,列出方案甲所需化验费用的分布列,并估计用方案甲平均需要化验费多少元? ⑶试比较两种方案,估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库。说明理由。

19.已知四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, ∠BAD=120°, PA=b,

(Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (Ⅱ)设 AC 与 BD 交于点 O,M 为 OC 中点,若二面角 O-PM-D 的正切值为 2 b 的值。 ,求 a:

20.已知椭圆的焦点坐标是

F1 (?1 ,, 0) F2 (?10) ,过点 F2 垂直与长轴的直线交椭圆与 P,Q

两点,且 | PQ |? 3 . (1)求椭圆的方程 (2)过

F2 的直线与椭圆交与不同的两点 M ,N ,则 ?F1MN 的内切圆面积是否存在最大

值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

21 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足

f ( x) ?

f ?( 1 )2 x ? ? e 2

2

? 2 x ? 2

( f 0 )x


x 1 g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a 2 4 .
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 g ( x) 的单调区间; (3)如果 s , t , r 满足 | s ? r |?| t ? r | ,那么称 s 比 t 更靠近 r .当 a ? 2 且 x ? 1 时,试比

e x ?1 较 x 和 e ? a 哪个更靠近 ln x ,并说明理由.

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂 黑。

22、如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径,AE⊥CD E,DA 平分∠BDE. (1)证明:AE 是⊙O 的切线; (2)如果 AB=4,AE=2,求 CD.

于点

23、已知在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,

3 2 (1, ? ) ?? 1 ? cos? . 点 D 的极坐标是 2 ,曲线 C 的极坐标方程为
(I)求点 D 的直角坐标和曲线 C 的直角坐标方程;

(II)若经过点 D 的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求 | DA | ? | DB | 的最小值.

24、已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 8, x ? y ? z ? 24
2 2 2

4 4 4 ? x ? 3, ? y ? 3, ? z ? 3 3 3 求证: 3

理科数学答案
1、C2、B 3、D 4、D 5、D 6、B 7、 :由题意得, P( X ? ?1) ? P( X ? 3) ? 0.0228 , ∴ P(?1 ? X ? 3)1 ? 0.0228 ? 0.9544 ,∴ 1 ? 2? ? ?1 ? ? ? 0 ,

P(0 ? X ? 1) ?
∴ 个,故选 B. 8、B 9、D

1 P(0 ? X ? 2) ? 0.3413 2 ,故估计的个数为 10000 ? (1 ? 0.3413) ? 6587

1 0、D

11、B

12、C

? ?5 sin( x) (0 ? x ? 1) ? ?4 2 f ( x) ? ? ?( 1 ) x ? 1 ( x ? 1) ? ? 4 15、分析:作出 的图象如下,

又∵函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数, 且关于 x 的方程 [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? 0 ,a,b∈R 有且仅有 6 个不同实数根,
2

∴x2+ax+b=0 的两根分别为

x1 ?

5 5 5 ,1 ? x 2 ? 0 ? x1 ? 1,1 ? x 2 ? 4 4或 4;

由韦达定理可得 x1 ? x2 ? ?a ,



x1 ?

5 5 9 5 5 9 ,1 ? x 2 ? ? ?a ? ? ?a?? 4 4 ,则 4 2 ,即 2 4; 5 9 9 1 ? ?a ? ? ? a ? ?1 4 ,即 4 4 ,则 ;



0 ? x1 ? 1,1 ? x 2 ?

5 9 9 ?a?? ? ? a ? ?1 4或 4 从而可知 2 ; ?
故选 C.

14、 【答案】 ?5

3 5 [ , ] 15、 【答案】 2 2
【解析】

1 3 M ( ? , ), N (1,0) 2 2 ,

???? ? 1 3 AM ? ( ? ? 2cos ? , ? 2sin ? ) ???? 2 2 , AN ? (1 ? 2cos? , ?2sin ? ) ,所以

???? ? ???? 1 3 7 AM ? AN ? ( ? ? 2cos ? )(1 ? 2cos ? ) ? ( ? 2sin ? )( ?2sin ? ) ? ? 2sin(? ? 30?) 2 2 2 ,
因为 0? ? ? ? 120? , 所以

30? ? ? ? 30? ? 150?,
8 6 4

? ???? 5 1 3 ???? ? AM ? AN ? ? sin(? ? 30?) ? 1 2. 2 ,2

P 2 M
15 10 5 2 4 6 8

A
5 10 15

O NQ

16、 27

19.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 20【解析】 (1)设椭圆的方程是 a ,
由交点的坐标得: c ? 1 ,---------------(1 分)

2b 2 ?3 由 | PQ |? 3 ,可得 a ----------------(2 分)
解得 a ? 2,b ? 3 ---------------(3 分)

x2 y 2 ? ?1 3 故椭圆的方程是 4 -----------(4 分)
(2)设 设

M ( x1,y1 ),N( x2,y2 ) ,不妨设 y1 ? 0,y2 ? 0

?F1MN 的内切圆半径是 R ,则 ?F1MN 的周长是 4a ? 8 ,
1 ( MN ? F1M ? F1 N ) R ? 4 R 2 ,
最大, R 就最大-----------------------(6 分)

S?F1MN ?

因此

S?F1MN

S?F1MN ?

1 F1 F2 ( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 2

由题知,直线 l 的斜率不为 0,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,

? x ? my ? 1 ? 2 ?x y2 ?1 2 2 ? ? 3 由? 4 得, (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,--------------(8 分)

解得

y1 ?

?3m ? 6 m2 ? 1 ?3m ? 6 m2 ? 1 , y ? 2 3m2 ? 4 3m2 ? 4 1 12 m2 ? 1 AB( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 ? 2 3m2 ? 4 -----------------(9 分)



S?AMN ?
2

, 令 t ? m ?1 则t ?1
S?AMN


1 12 m2 ? 1 12 ? AB( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 ? ? 2 1 2 3m ? 4 3t ? t ------------(10 分)

1 1 f (t ) ? 3t ? ,f ?(t ) ? 3 ? 2 t t 令

+?? ?1, ? 当 t ? 1 时, f (t ) ? 0 , f (t ) 在 上单调递增,
f (t ) ? f (1) ? 4,S ?AMN ? 12 ?3 4 ,
3 12 ? 3,S?AMN ? 4 R, Rmax ? 4, 4 所以



即当 t ? 1,m ? 0 时,

S?AMN ?

9? 此时所求内切圆面积的最大值是 16 9? 故直线 l : x ? 1 , ?AMN 内切圆的面积最大值是 16 -----------------------------------(12 分)

21、解: (1) f '( x) ? f '(1)e

2 x ?2

2 ? 2 (0) f ? 2x ? 2 f (0) ,∴ f '(1) ? f '(1) ?

1, ,即 f (0) ?

f (0) ?


f ?(1) ?2 ?e 2x 2 2x 2 ( )' 2? e2 , 2 , ∴ f1 ∴ f ( x) ? e ? x ? 2 x ; (2) ∵ f ( x) ? e ? 2 x ? x ,

x 1 1 1 g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? x 2 ? x ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? a( x ? 1) 2 4 4 4 ∴ ,
? ? ∴ g ( x) ? e ? a ,①当 a ? 0 时, g ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 R 上单调递增,②当 a ? 0 时,
x

? ? 由 g ( x) ? e ? a ? 0 得 x ? ln a , ∴ x ? (?? , lna )时 , g ( x) ? 0 , g ( x) 单 调 递 减 ;
x

x ? (ln a, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,综上,当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的单调递增
区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 (ln a, ??) ,单调递减区间为

(??,ln a) ; (3)设

p ( x) ?

e e 1 ? ln x p '( x ) ? ? 2 ? ? 0 x ?1 q ( x ) ? e ? a ? ln x x x x , ,∵ ,∴

p( x) 在 x ? [1, ??) 上为减函数,又∵ p(e) ? 0 ,
∴ 当 1 ? x ? e 时 , p( x )?

0 , 当 x ? e 时 , p( x )? 0 , ∵

?1 q ' (x ? ) xe ?

1 x ,

q ''( x) ? e x ?1 ?

1 ?0 x2 ,

1 , ??) 时,q '( x) ? 0 ,∴ q( x) 在 ∴ q '( x ) 在 x ? [1, ??) 上为增函数,又∵ q '(1) ? 0 ,∴ x ? [

x ? [1, ??) 上 为 增 函 数 , ∴ q( x) ? q(1) ? a ? 2 ? 0 , ① 当 1 ? x ? e 时 ,

| p (x ? ) | q| x ?(

e ) p| ?x ( q )? xx ?1( ? ) e ? x ,

a

m( x ) ?


e e ? e x ?1 ? a m '( x) ? ? 2 ? e x ?1 ? 0 x x ,则 ,∴ m( x ) 在 x ? [1, ??) 上为减函数,

e x ?1 ∴ m( x) ? m(1) ? e ? 1 ? a ,∵ a ? 2 ,∴ m( x) ? 0 ,∴ | p( x) |?| q( x) | ,∴ x 比 e ? a 更
靠近 ln x ,

e | p( x) | ? | q( x) |? ? p( x) ? q( x) ? ? ? 2 ln x ? e x ?1 ? a ? 2 ln x ? e x ?1 ? a x ②当 x ? e 时, ,
设 n( x) ? 2ln x ? e 时为减函数,
x ?1

? a ,则

n '( x) ?

2 x ?1 2 ?e n ''( x ) ? ? 2 ? e x ?1 ? 0 x x , ,∴ n '( x) 在 x ? e

n '( x) ? n '(e) ?


2 e ?1 ?e ? 0 e , ∴ n( x )



x?e 时 为 减 函 数 , ∴

n( x) ? n(e) ? 2 ? a ? ee?1 ? 0 ,
e e x ? 1 x ?1 ∴ | p( x) |?| q( x) | ,∴ x 比 e ? a 更靠近 ln x ,综上:在 a ? 2 , x ? 1 时, x 比 e ? a 更
靠近 ln x .

22、 (1)证明:连结 OA,则 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA, 又∠ODA=∠ADE,所以∠ADE=∠OAD,所以 OA∥CE. 因为 AE⊥CE,所以 OA⊥AE.所以 AE 是⊙O 的切线 (2)解:由(1)可得△ADE∽△BDA,所以 = ,即 = ,则 BD=2AD, . .

所以∠ABD=30°,从而∠DAE=30°,所以 DE=AEtan30°= 由切割线定理,得 AE2=ED?EC,所以 4= (

+CD) ,所以 CD=

23. 解: (I)点 D 的直角坐标是 (0,?1) ,

????(2 分)



??

2 2 2 2 1 ? cos? ,∴ ? ? ? cos ? ? 2 ,即 x ? y ? ( x ? 2) ,????(4 分)
????(5 分)

2 化简得曲线 C 的直角坐标方程是 y ? 4 x ? 4 ;

? x ? t cos ? ? y ? ?1 ? t sin? , (II)设直线 l 的倾斜角是 ? ,则 l 的参数方程变形为 ?
????(7 分)
2 2 2 代入 y ? 4 x ? 4 ,得 t sin ? ? (4 cos ? ? 2 sin? )t ? 3 ? 0

设其两根为 t1 ,t2 ,则

t1t 2 ? ?

3 sin 2 ? ,

????(8 分)



| DA | ? | DB |?| t1t 2 |?

3 sin 2 ? .
????(10 分)

? 当 ? ? 90 时, | DA | ? | DB | 取得最小值 3.

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) x ? y ? 8 ? z, xy ? ? z 2 ? 8 z ? 20 2 24、证明:显然
? x, y 是方程 t 2 ? (8 ? z) x ? z 2 ? 8z ? 20 ? 0 的两个实根,

4 4 4 ?z?4 ? y?4 ?x?4 由 ?? 0 得 3 ,同理可得 3 ,3


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