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绝对值不等式的解法讲义


细节决定成败!

绝对值不等式的解法
一、课前导入: 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”: “远者小而近者大”、“近者热而远者凉”,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在; 日常生活中息息相关的问题, 如“自来水管的直截面为什么做成圆的, 而不做成方的呢?”、 “电 灯挂在写字台上方怎样的高度最亮?”等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关知 识才能得到解决。而且,不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 二、基础知识复习: (1) 、实数的运算性质与大小顺序的关系: 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可 知:
a ? b ? a ?b ? 0
a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0

得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。 (2) 、不等式的基本性质: ①、如果 a>b,那么 b<a,如果 b<a,那么 a>b。(对称性) ②、如果 a>b,且 b>c,那么 a>c,即 a>b,b>c ? a>c。 ③、如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b ? a+c>b+c。 推论:如果 a>b,且 c>d,那么 a+c>b+d.即 a>b, c>d ? a+c>b+d. ④、如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. ⑤、如果 a>b >0,那么 a n ⑥、如果 a>b >0,那么 n
? b
n

n

(n ? N,且 n>1)
b

a ?

(n ? N,且 n>1)。
c a c b

例 1、已知 a>b,c<d,求证:a-c>b-d. 例 2、已知 a>b>0,c<0,求证:
?



三、新知识讲解: 在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在 此基础上,本节讨论含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等 式。下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式) ,关键在于去掉绝对值 符号,化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请学生回忆一下绝对值的意义。 在数轴上, 一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 即
? x ,如果 x ? 0 ? x ? ? 0,如果 x ? 0 ? ? ? x ,如果 x ? 0



2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式
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x ? a

的解集是 { x

| ? a ? x ? a} ,

1

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它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开区间(-a,a) ,如图所示。

图 1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。
? a

第二种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 {x
| x ? a

x ? a

的解集是

或x

? ?a

}

它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间 ( ?? , ? a ), ( a , ? ) 的 并集。如图 1-2 所示。

–a

a

图 1-2 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 四、典型例题: 例 1、解不等式 3 x ? 1
? x? 2



例 2、解不等式 3 x ? 1 方法 1:分域讨论

? 2? x



★方法 2:依题意, 3 x ? 1 ?

2? x

或3x ? 1 ?

x? 2

, (为什么可以这么解?)

例 3、解不等式 2 x

? 1 ? 3x ? 2 ? 5 。

例 4、解不等式

x ? 2 ? x ?1 ? 5


2

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解 本题可以按照例 3 的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上 的点 x 到 1,2 的距离的和大于等于 5。因为 1,2 的距离为 1,所以 x 在 2 的右边,与 2 的距 离大于等于 2 (= (5-1)? 或x
? ?1.
2)

; 或者 x 在 1 的左边, 1 的距离大于等于 2。 与 这就是说,x

? 4

例 5、不等式

x ?1 ? x ? 3

> a ,对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围。

五、课后作业: A.解不等式 1、
2 2 x ? 1 ? 1.

2、 4 1 ? 3 x

?1? 0

3、

3 ? 2x ? x ? 4

.

4、

x ?1 ? 2 ? x

.

5、

x

2

? 2x ? 4 ? 1

6、

x

2

?1 ? x ? 2

.

7、

x ? x?2 ? 4

8、

x ? 1 ? x ? 3 ? 6.

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9、

x ? x ?1 ? 2

10、

x ? x ? 4 ? 2.

11、 2 x ? 1

? x ?1

12、

x ? 2 x ?1

? 1

B.要使不等式

x?4 ? x?3

< a 有解, a 要满足什么条件?

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