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高考数学填空题解题策略专题_图文

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引言 总结

题型示例 对点集训

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填空题是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式, 要求学生在指定的空位上,将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个 不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语、数字、符号、数学

引言

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对点集训

语句等. 数学填空题的特点 填空题缺少选择的信息,故解答题的求解思路可以原封不动地移植 到填空题上.但填空题既不用说明理由,又无需书写过程,因而解选择 题的有关策略、方法有时也适合于填空题. 填空题大多能在课本中找到原型和背景,故可以化归为我们熟知的 题目或基本题型.填空题不需过程,不设中间分值,更易失分,因而在 解答过程中应力求准确无误. 填空题虽题小,但跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地

引言

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对点集训

结合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识 的能力和基本运算能力,突出以图助算、列表分析、精算与估算相 结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题,除直接推理计算外,还 要讲究一些解题策略,尽量避开常规解法. 数学填空题的类型 根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型:

一是定量型,要求考生填写数值、数集或数量关系,如:方程的解、不
等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度 、角度大小等等.由于填空题和选择题相比,缺少选择的信息,所以高

引言

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对点集训

考题中多数是以定量型问题出现.
二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数 学对象的某种性质,如:给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等.近几 年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.

解数学填空题的原则
解答填空题时,由于不反映过程,只要求结果,故对正确性的要求比解 答题更高、更严格.《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求 是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到:快——运算要 快,力戒小题大做;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全, 力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不

能粗心大意.

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对点集训

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方法一:直接求解法 所谓直接法,就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理 、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确 的结论.直接法是填空题最基本的解法,是解决大多数填空题的解法.

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AB是半径为1的圆的直径,M为直径AB上任意一点,过点 .
2 3

3 M作垂直于直径AB的弦,则弦长大于? 的概率是

【解析】过点M作垂直于直径AB的弦对的圆心角大于? π,此时点M
r 1 r 1 离圆心的距离要小于? ? = ,则弦长大于?3 ,故所求的概率为?=? . 2 2

2r

2

【答案】?

1 2

引言

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对点集训

?
.

执行如下图所示的程序框图,那么输出S的值是

引言

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对点集训

【解析】S=-1,k=1;S=? ,k=2;S=2,k=3; S=-1,k=4; S=? ,k=5;S=2,k=6; …… 观察出规律得:S=? ,k=2012. 此时跳出程序. 【答案】?
1 2
1 2

1 2

1 2

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?

对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的 .

an 纵坐标为an,则数列{?}的前n项和的公式是 n ?1

【解析】y'=nxn-1-(n+1)xn,得y'|x=2=n·n-1-(n+1)·n=-(n+2)·n-1.切点为(2,-2n), 2 2 2

所以切线方程为y+2n=-(n+2)·n-1· 2 (x-2),
n 令x=0,得an=(n+1)·n,即? =2n. 2

a n ?1

2(1 ? 2n ) 利用等比数列的求和公式得:Tn=? =2n+1-2. 1? 2

【答案】2n+1-2

引言

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对点集训

【点评】直接法是解答填空题最常用的方法,直接法适用的范围很 广,只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解填空题的能力, 对数学的能力提高大有裨益,否则一味寻求其他方法则会适得其反.
方法二:特殊化求解法 当答案是定值且用的特殊值是题意的某种情况时,那么我们用特例 求解就能起到很好的效果.特殊化求解就是用特殊值(特殊图形、特 殊位置)代替题设普遍条件,得出一般的结论.常用的特例有特殊数值 、特殊角、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊位置等.这种方 法实际上是一种“小题小做”的解题策略,对解答某些填空题有时

往往十分奏效.

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对点集训

?

已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列, .

S2 Sn为{an}的前n项和,则?? S1 的值为 S3 ? S 2

【解析】不妨设a3=1,a1=1-2d,a4=1+d,且d≠0,
a3 ∵a1,a3,a4成等比数列,∴a1a4=?2 ,∴(1-2d)(1+d)=1,∴d=-? ,
2 ∴?

S ? S1 a2 =? = S3 ? S 2 a 3
3 2

?

1?

1 3 2 =? . 1 2

1 2

【答案】?

引言

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对点集训

?
?

△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,
?
?

OH OA OB OC ?=m(?+?+?),则实数m=

?

.

【解析】当角B=90°时,三角形ABC为直角三角形,O为AC的中点,AB,
OA OB OC OB OH BC边上的高的交点H与B点重合.? +? +? =? =? ,∴m=1.
?
?

?

?

?

【答案】1

引言

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对点集训

?
?

已知G为锐角三角形ABC的外心,AB=6,AC=10,?=x? .

?

?

AG

AB

+y?,且2x+10y=5,则cos∠BAC= AC

【解析】把三角形ABC特殊化到直角坐标系中,建立如图所示的平

面坐标系.

引言

题型示例

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对点集训

设∠BAC=α,则A(0,0),C(10,0),B(6cos α,6sin α), G为锐角三角形ABC的外心,所以G在线段AC的垂直平分线上,可知 G点的横坐标为5,
AB AC AG ? =x? +y? =x(6cos
?
?

?

α,6sin α)+y(10,0)=(6xcos α+10y,6xsin α),

∴6xcos α+10y=5,∵2x+10y=5,∴6cos α=2, ∴cos α=? ,∴cos∠BAC=? . 【答案】?
1 3
1 3 1 3

引言

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对点集训

【点评】正确地选择对象,在题设条件都成立的情况下,用特殊值(取
得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对 特殊情况的研究来判断一般规律,对提高速度和准确度有很大的帮助. 方法三:数形结合法 数形结合法就是利用图象或数学结果的几何意义,将数的问题(如解 方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来,利 用几何直观性,再辅以计算,求出正确答案的方法.这种解法贯穿数形 结合思想,每年高考均有很多填空题(也有选择题、解答题)都可以 用数形结合思想解决,既简捷又迅速.数形结合法最主要的是利用数 和形的结合,找到解决问题的思路,能使思路清晰,能较快较准地解决 问题.
引言 题型示例 总结 对点集训

?

已知点P(x,y)的坐标满足条件

?

? x ? 1, ? 那么点P到直 ? y ? x, ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ?

线3x-4y-9=0的距离的最小值为

.

【解析】画出P点的可行域,再画出直线3x-4y-9=0,结合可行域可知 当P点为x=1与y=x的交点(1,1)时,点P到直线3x-4y-9=0的距离最小,此 时d=? 2
|3? 4?9| 3 ? (?4)
2

=2.

【答案】2

引言

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对点集训

?


不等式x2+|2x-4|≥m对所有x都成立,则实数m的最大值 .
2

【解析】构造函数f(x)=x

?( x ? 1) 2 ? 5( x ? 2),   +|2x-4|= ? 2   ?( x ? 1) ? 3( x ? 2).

?

作出函数y=f(x)的图象如图. 由图象知f(x)的最小值为3,∴m≤3,即m的最大值为3. 【答案】3

引言

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对点集训

【点评】数形结合法在解题时一定要对有关函数图象、方程曲线

、几何图形较熟悉.最重要的是通过数形结合找到问题的突破点.
方法四:等价转化法 通过“化复杂为简单,化抽象为具体”将问题等价转化成便于解决
的问题或转化为自己熟悉的类型,从而迅速准确地得到结果.

引言

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?

某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生

进行家庭情况调查,经过一段时间后再从这个年级随机抽取100名学 生进行学情调查,发现有20名同学上次被抽到过,估计这个学校高一 年级的学生人数为 . 【解析】设高一年级的学生人数为n,由于每位学生每次被抽到的概 率相等.“经过一段时间后再从这个年级随机抽取100名学生进行学 情调查,发现有20名同学上次被抽到过”与 “从高一年级的学生中
80 随机抽取80名学生进行家庭情况调查”所占的比例相同, ∴?≈ n

20 ? ,∴n≈400. 100

【答案】400
引言 题型示例 总结 对点集训

?

若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)恰有一个极值点,则 .
1 3

实数a的取值范围为

【解析】f'(x)=3x2+2x-a,开口向上,对称轴为x=-? , ∴f'(x)在(-1,-? )上递减;在(-? ,1)上递增. “函数f(x)=x +x
3 2

1 3

? f '(?1) ? 0, -ax-4在区间(-1,1)恰有一个极值点”等价于 ? f '(1) ? 0, ?

1 3

?

即? ?

?3 ? 2 ? a ? 0, ?3 ? 2 ? a ? 0,

∴1≤a<5. 【答案】[1,5)

引言

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对点集训

?

在正四棱锥O-ABCD中,OA=?,BC=2,以O为球心,半径 3 .

为1作一个球,则该球和正四棱锥相交部分的体积为

【解析】容易解得正四棱锥O-ABCD的高为1,及球是以正四棱锥OABCD的顶点O为球心,与底面ABCD相切的球.直接求该球和正四棱 锥相交部分的体积是不好解的.结合正方体的内切球,本题就等价转

化为“所求的相交部分的体积为棱长为2的正方体的内切球体积的
1 1 4? r 3 2? ? ”,∴V=? =?. · ? 6 6 3 9

【答案】?

2? 9

引言

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对点集训

【点评】等价转化法要求对知识点比较熟练,根据题意转化为其他 的知识点,要求在转化过程中不能遗漏某种情况也不能多了某种情

况,要完全等价.
方法五:整体分析法
在处理某个问题时,常常需要把某一部分作为一个整体来处理,这样 常能把问题化繁为简.

引言

题型示例

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对点集训

?
值等于

1 sin x 已知函数f(x)=sin xcos x+?+3,若f(lg a)=4,则f(lg?)的

cos x

a

.
sin x cos x
1 2

【解析】f(x)=sin xcos x+?+3=?sin 2x+tan x+3,把f(x)-3作为一个整体,

则f(x)-3=? 2x+tan x. sin

1 2

可知函数f(x)-3=? 2x+tan x为奇函数, sin
∴f(x)-3+f(-x)-3=0,∴f(x)+f(-x)=6, ∴f(lg a)+f(lg? )=6,∴f(lg? )=6-f(lg a)=6-4=2. 【答案】2
1 a 1 a

1 2

引言

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对点集训

?

若将函数f(x)=(x-1)5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+… .

+a5(1+x)5.其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=

【解析】把(1+x)作为一个整体,本问题就相当简单.f(x)=(x-1)5=[-2+(1
C3 +x)]5,f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,∴a3=? (-2)2=40. 5

【答案】40

引言

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对点集训

?
1 ?.则b的值为 a2

x y 已知椭圆?+?=1(a>b>0),直线l与椭圆交于A、B两 2 2 a

2

2

b

点,M是线段AB的中点,直线AB与直线OM的斜率分别为k、m,且km=.

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
? x12 y12 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? 则 ? 2 2 两式相减, ? x2 ? y2 ? 1, ? a 2 b2 ?

?

1 得:?

( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) +? =0, a2 b2

引言

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对点集训

b 2 x0 2b 2 x0 b 2 ( x1 ? x2 ) y1 ? y2 x1 ? x2 y1 ? y2 又x0=? ,y0=? ,∴k=? =- a 2 ( y ? y ) =- 2a 2 y =- a 2 y . 2 2 x1 ? x2 0 0 1 2

?

?

?

y 又∵m= 0 x0

?

b2 1 1 ,km=-?,∴-? ?,∴b=1. =- 2 a2 a2 a

【答案】1

【点评】整体化处理问题是数学的一种基本方法,能把问题简单化,
有利于准确迅速地得出结论.
方法六:构造法 根据题设条件与结论的特殊性,构造出一些熟悉的数学模型,并借助 于它认识和解决问题.

引言

题型示例

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对点集训

?
.

2 1 若实数a、b、m满足2a=5b=m,且?+?=2,则m的值为 a
b

【解析】本题需要构造出? ? + 的形式, 在2a=5b=m取对数得:? m2,? m5,m>0, =log =log
1 a
1 b

2 a

1 b

又? ? + =2,∴logm20=2,∴m2=20,∴m=2?5 .
5 【答案】2?

2 a

1 b

引言

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对点集训

?

已知△ABC中,∠A、∠B、∠C对应边分别为a、b .

、c,O为BC中点,若a=8,b+c=10,则OA的最小值为

【解析】以O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图的平面直角坐 标系.
x2 y2 易知点A在椭圆? ? + =1上,由图形知当点A与短轴端点M重合时,OA 25 9

最小,则OA的最小值为3. 【答案】3

引言

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对点集训

?

a ?1 已知函数f(x)=ax+?+1-2a (a>0),若f(x)≥ln x在[1,+ x

∞)上恒成立,则a的取值范围为
a ?1 x

.

【解析】构造函数g(x)=f(x)-ln x=ax+? +1-2a-ln x, 则g'(x)=a-? -? ? = 2
a ? 1 1 [ax ? (1 ? a)]( x ? 1) . x x2 x 1 1? a ①当a≥? ? ≤1,那么x≥1时g'(x)≥0, 时, 2 a

那么g(x)在x≥1时为增函数,则g(x)min=g(1)=0, 那么g(x)≥0恒成立,则f(x)≥ln x在[1,+∞)上恒成立时.

引言

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对点集训

②当0<a<? ? >1. 时,

1 2

1? a a

若1<x<? ,则g'(x)<0,g(x)是减函数,
所以此时g(x)<g(1)=0,即f(x)<ln x, 故f(x)≥ln x在[1,+∞)上不恒成立. 由①②的讨论知f(x)≥ln x在[1,+∞)上恒成立时,a的取值范围是[? ,+
1 2

1? a a

∞). 【答案】[? ,+∞)
1 2

引言

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对点集训

【点评】构造法在数列、三角与导数等问题中常用到,起到承上启 下的作用.
方法七:归纳推理法 归纳推理:由某类事物的部分对象具有某类特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理,或有个别事实概括出一般结论的推

理.简言之,就是由部分到整体、由个别到一般的推理.

引言

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对点集训

?
1 1 1 ?+?=1-? 2 4 4

1 1 观察下列等式:?=1-? 2 2

【解析】观察可知第n个等式的左边有n个数,第一个数为? ,右边是1 减左边的最后一个数,则第n个等式为? ? + +…+(?n=1-(? . ) )n 【答案】? ? + +…+(?n=1-(?n ) )
1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2

1 2

引言

题型示例

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对点集训

?
1=1 3+5=8 5+7+9=21 7+9+11+13=40

观察下列等式

9+11+13+15+17=65 …… 按此规律,第12个等式的右边等于 .

引言

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对点集训

【解析】第n行左边有n个数,且第n行的第一个数为2n-1,公差为2. 故第12行的第一个数为23,共12个数,公差为2. 则第12个等式的右边等于12×23+? ×12×11×2=408.
1 2

【答案】408

引言

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?

如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是

1 由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为?,每个数是它 n
1 1 1 下一行左右相邻两数的和,如:?=?+1 1?=?+?,?=?+?,…,则第n ?, 1 1 1 1 1
2 2 2

3

6 3

4 12

(n≥3) 行第3个数字是 1

?
1

.

引言

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对点集训

【解析】当n=3时,a33=a32×2=a32×? ,
2 3? 2

当n=4时,a43=a42×? 42×? , =a
1 1

2 4?2

当n=5时,a53=a52×? 52×? , =a
2 3

2 5?2

…… 第n行,an3=an2×? ,
2 n?2

∴an3=an2×? =?
2 n?2

2 . n(n ? 1)(n ? 2)

【答案】?

2 n(n ? 1)(n ? 2)

引言

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对点集训

【点评】要会从已给出的几个结论归纳出一般性的结论,要大胆猜 想.
方法八:分类讨论法 当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个 标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类问题的结论,最后综合 各类结果得到整个问题的解答.作为填空题,有时是不可避免地要分 类讨论.

引言

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对点集训

?
能值为

已知函数f(x)=?lg(1? x), x ? 0, ? ? x? 若f(1)+f(a)=2,则a的所有可
?e , x ? 0.

.

【解析】因为f(1)=e1-1=1,所以f(a)=1. 当a≥0时,显然a=1满足; 当a<0时,令lg(-a)=1,得-a=10,即a=-10满足.

【答案】1或-10

引言

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?

在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球,这些

小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出小 球标注的数字之差的绝对值为2或3的概率是 .

【解析】从5个球中随机取出2个小球有10种取法; 数字之差的绝对值为2的情况有:(1,3),(2,4),(3,5)三种; 数字之差的绝对值为3的情况有:(1,4),(2,5)两种.

故所求概率为P=? =? .
【答案】?
1 2

3? 2 10

1 2

引言

题型示例

总结

对点集训

?
an=

在数列{an}中,a1=1,anan+1=2n(n∈N*),则数列{an}的通项 .
n

2n 【解析】因为anan+1=2 ,所以an+1= a . n 2n?1 2n?1 2n?1 2n?3 2n?1 2n?3 当n为偶数时,an= =?·n-2=?n· =…=?·?2 · n?4 a ? …· an?1 2n?2 2 ?2 an?3 2n 2

?

? ?

?

n 21 22 =?.(n为偶数) a1

当n为偶数时,n+1为奇数,
2n 故有an+1= a n
2 ? ?,所以a =? =2
n
n 2

n?1 2

.(n为奇数)

? ? n21 (n ?2   是奇数) 【答案】an= ? n ?2 2    是偶数) (n ?

?

引言

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对点集训

【点评】分类讨论要求分类明确,不重复、不遗漏.常见的分类讨论有:

① 涉及的数学概念是分类的,如对数函数,指数函数的底数; ② 数学问题中含有参变量时.
方法九:多选型填空题 多选型填空题是指给出若干个命题或结论,要求从中选出所有满足 题意的命题或结论.试题具有结论不唯一,且某些答案有迷惑性、以 偏概全、考查概念及考查某种特殊情况等.在解决不成立的问题时 常采用举反例的方法.

引言

题型示例

总结

对点集训

?
真命题;

给出以下四个命题:

①已知命题p:?x∈R,tan x=2,命题q:?x∈R,x2-x+1≥0,则命题p∧q是

②过点(-1,2)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0; ③函数f(x)=ln x+2x-1在定义域内有且只有一个零点; ④先将函数y=sin(2x-?)的图象向左平移?个单位,再将新函数的周期 扩大为原来的两倍,则所得图象的函数解析式为y=sin x. 其中正确命题的序号为 .(把你认为正确的命题序号都填上)
? 3 ? 6

引言

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对点集训

【解析】本题综合考查命题、直线方程、函数的零点及三角函数 图象的变换等基础知识.①中两个命题都是真命题的,所以p∧q是真 命题;②是假命题,因直线在两坐标轴上截距相等包括直线经过原点; ③是真命题,只需在同一坐标系中画出函数y=ln x和y=1-2x的图象,两 函数图象只有一个交点,即函数f(x)=ln x+2x-1在定义域内有且只有
? ? 个单位, 一个零点;④是真命题,将函数y=sin(2x-? )的图象向左平移?
3
6

? ? 得y=sin[2(x+? ? )- ]=sin 2x,再将新函数的周期扩大为原来的两倍,则
6 3
x )=sin x. 所得图象的函数解析式为y=sin 2(? 2

【答案】①③④
引言 题型示例 总结 对点集训

?

直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格

点,如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点,则称函数f(x)为k阶 格点函数,下列函数: ①f(x)=log0.5x;②f(x)=(?)x;③f(x)=3πx2-6πx+3π+2;④f(x)=sin4x+cos2x.其 中是一阶格点函数的有 .
1 5

【解析】分析①,可以找到(1,0),(2,-1)等格点,故错误. 分析②,可以找到(0,1),(-1,5)等格点,故错误. 分析③,f(x)=3πx2-6πx+3π+2=3π(x-1)2+2,只有一个格点(1,2).
引言 题型示例 总结

对点集训

分析④,f(x)=sin4x+cos2x=sin4x-sin2x+1=(sin2x-? +? ? )2 ≥ . ∵0≤sin2x≤1,∴? ≤f(x)≤1,当且仅当sin2x=0或sin2x=1时,f(x)=1. 故f(x)=sin4x+cos2x只有一个格点(0,1). 【答案】③④ 【点评】多选型填空题相当于多项选择题,这样的题目不论多选还 是少选都不能得分,因此对每一项都要认真判断. 方法十:新定义型填空题 新定义型填空题是指定义新情景,给出一定容量的新信息,要求考生
3 4

1 2

3 4

3 4

引言

题型示例

总结

对点集训

依据新信息进行解题,此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背 景知识、新的理论体系,要求考生有较强的分析转化能力.

引言

题型示例

总结

对点集训

?

在实数的原有运算法则中,定义新运算a?b=3a-b,则 .

[x?(4-x)]?(2-3x)>8的解集为

【解析】新运算a?b=3a-b, ∴x?(4-x)=3x-(4-x)=4x-4, ∴[x?(4-x)]?(2-3x)=(4x-4)?(2-3x)=12x-12-(2-3x)=15x-14, ∴[x?(4-x)]?(2-3x)>8等价于15x-14>8, ∴x>?. 【答案】(?,+∞)
引言 题型示例 总结 对点集训

22 15

22 15

?对于一个非空集合M,将M的所有元素相乘,所得之积
定义为集合M的“积”,现已知集合A={30,31,32,33,34,35},则A的所有非 空子集的“积”之积为 .

【解析】A集合有六个元素,每个元素用了32次,则A的所有非空子集 的“积”之积为(30×31×32×33×34×35)32=3480. 【答案】3480

引言

题型示例

总结

对点集训

【点评】新定义型填空题要求的能力水平较高,要求考生有较强的 分析转化能力,要求考生的知识具有系统性.能迁移已有的知识去解 决相关的问题.

?
引言 题型示例 总结 对点集训

从考试的角度来看,解填空题只要做对就行,不需要中间过程,正因为 不需要中间过程,出错的几率大大增加.我们要避免在做题的过程中 产生笔误,这种笔误很难纠错,故在做题时最好在草稿上写出简要的 数据运算过程.

引言

题型示例

总结

对点集训

在平时训练时要注意以下几点: ① 注意一般方法的训练,强化三基;
② 注意对一些特殊题型结构与解法的总结,并分析出一些规律性的 东西; ③ 注意对知识的联想、迁移、类比、归纳的应用,提高分析解决问 题的能力; ④ 注意从不同的角度分析问题,从而比较用不同的方法解决题目的 速度与准确度.

引言

题型示例

总结

对点集训

1.log2sin ? +log2cos ? 的值为
? 12
? 12

? 12

? 12

.
? 12 ? 12
1 2

【解析】直接法:log2sin ? +log2cos ? =log2(sin ?cos ? · )=log2(? sin
1 ? ? )=log2? =-2.

6

4

【答案】-2

引言

题型示例

总结

对点集训

2.已知|a|=|b|=|a-b|=2,则|2a-b|的值为

.

【解析】数形结合法:由|a|=|b|=|a-b|=2,不妨使a,b的起点相同,结合等
4 (2 边三角形,可知a,b的夹角为? ,|2a-b|=? a ? b)2 =? | a |2 ? | b |2 ?4a ? b
4? =? 22 ? 22 ? 4 ? 2 ? 2cos 3 =2?3 .
3 【答案】2?

? 3

?

引言

题型示例

总结

对点集训

3.如图,一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图都是面积为?,且 一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积

3 2



.

【解析】数形结合法:该几何体为两个相同的正四棱锥的组合,正四
棱锥的侧面的高为1,底面棱长为1.所以这个几何体的表面积为8×(? ×1×1)=4. 【答案】4
引言 题型示例 总结 对点集训

1 2

4.在数列{an}中,若a1=-1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an= . 【解析】构造法:构造数列{bn},使bn=an+3,bn+1=2bn,b1=a1+3=2, ∴数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列, ∴bn=2n, ∴an+3=2n,∴an=2n-3. 【答案】2n-3

引言

题型示例

总结

对点集训

? 2 x ?2 , x ? 0, 5.已知函数f(x)= ? 则f[f(-10)]的值为 lg( ? x), x ? 0, ?

?

.
1 2

【解析】直接法:f(-10)=lg 10=1,f[f(-10)]=f(1)=21-2=? . 【答案】?
1 2

引言

题型示例

总结

对点集训

6.学校要安排4名学生在周六、周日参加社会实践活动,每天至少1 人,则学生甲被安排在周六的不同排法的种数为 答). 【解析】等价转化法:“学校要安排4名学生在周六、周日参加社会 实践活动,每天至少1人,则学生甲被安排在周六”等价于“除甲以 外的其他三人至少有一人被安排在周日”,故有23-1=7种排法. 【答案】7 (用数字作

引言

题型示例

总结

对点集训

7.执行下面某算法的程序框图,则输出的S是

.

【解析】直接法:第一次:S=12,i=11; 第二次:S=12×11=132,i=10;

引言

题型示例

总结

对点集训

第三次:S=132×10=1320,i=9;
故输出S=1320. 【答案】1320

引言

题型示例

总结

对点集训

2ab 8.设a>0,b>0,称?为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且

AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半 圆于D,连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD 的长度是a,b的算术平均数,线段 的长度是a,b的几何平均 数,线段 的长度是a,b的调和平均数.

a?b

【解析】新定义型填空题:易知AD⊥BD,又CD⊥AB,则CD2=AC· CB= ab,那么CD的长度是a,b的几何平均数;又CE⊥OD,那么CD2=DE· DO,
a 2ab 则ab=DE· ? b,则DE=? ,所以DE的长度是a,b的调和平均数. ? 2

a?b

【答案】CD DE

引言

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总结

对点集训

9.已知函数f(x)=? (x∈R),给出下列命题: ①对?x∈R,等式f(-x)+f(x)=0恒成立; ②函数f(x)的值域为(-1,1); ③若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2); ④函数g(x)=f(x)-x在R上有三个零点. 其中正确命题的序号为 .(把所有正确命题的序号都填上)
| x| 1? | x |

x 1? | x |

【解析】多选型填空题:易知f(x)为奇函数,故①正确;|f(x)|=? <1,∴
-1<f(x)<1,故②正确;利用单调性的定义可分析f(x)为增函数,故③正

引言

题型示例

总结

对点集训

确;令f(x)-x=0,?x | -x=0,∴x=0,函数g(x)=f(x)-x在R上只有一个零点,故 1? |

x

④错.
【答案】①②③

引言

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总结

对点集训

10.f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(? )=f(x)-f(y).若f(6)=1,f(a)=2, 则a= .

x y

【解析】特殊化求解法:令x=36,y=6,得f(6)=f(36)-f(6),∴f(36)=2f(6)= 2.∵ f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,f(a)=2,∴a=36. 【答案】36

引言

题型示例

总结

对点集训

11.若x,y∈R且x2+y2=2x,则x2-2y2的取值范围是

.

【解析】直接法:∵x2+y2=2x,∴y2=-x2+2x≥0,∴0≤x≤2. x2-2y2=x2-2(-x2+2x)=3x2-4x, ∵0≤x≤2,∴3×(? -4×? 2-4x≤3×22-4×2,∴-? 2-4x≤4. )2 ≤3x ≤3x 即x2-2y2的取值范围为[-? ,4]. 【答案】[-? ,4]
4 3
4 3 2 3 2 3 4 3

引言

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总结

对点集训

? y ? 1, ? 12.若实数x,y满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m ? x ? y ? m. ?

?

=

.

【解析】数形结合法:画出可行域,∵x-y=0的斜率为1,y=2x-1的斜率 为2, ∴在直线y=2x-1与直线x+y=m的交点处目标函数取到最小值, 交点为(? ,? ),∴? -? =? 【答案】5
m ? 1 2m ? 1 3 3 m ? 1 2m ? 1 ? m ? 2 =-1,∴m=5. 3 3 3

引言

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总结

对点集训

? x 2 ? bx ? c, x ? 0, 13.设函数f(x)= ? 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于函数g(x)=f(x) ?2, x ? 0,

?

-x的零点有

个.

【解析】讨论法:∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
? b ?b ? 4, ?? ? ?2, ∴? 2 即? 2. ? ?4 ? 2b ? c ? ?2, ?c ? ?

?

? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0, ∴f(x)= ? ? 2, x ? 0.

?

当x≤0时,f(x)=x,则x2+4x+2=x, 即x2+3x+2=0,∴x=-1或x=-2,
引言 题型示例 总结 对点集训

当x>0时,x=2,∴x=-1或x=-2或x=2. ∴函数g(x)有3个零点. 【答案】3

引言

题型示例

总结

对点集训

14.把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数 和奇数行的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小 到大的顺序排成一列,得到一个数列.若an=2013,则n= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 .

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
引言 题型示例 总结 对点集训

…… 图甲 1 2 4 5 7 9

10 12 14 16
17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36

引言

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总结

对点集训

…… 图乙 【解析】推理法:图甲中第n行有2n-1个数,∴前n行共有1+3+5+…+

(2n-1)=n2个数(也可以通过观察发现前n行共有n2个数).∵442=1936,4
52=2025,∴2013在第45行第2013-1936=77位,∴在图乙中,2013在第4 5行第39位,观察图乙第n行的个数为n,(1+2+3+…+44)+39=1029,∴a10
29

=2013.

【答案】1029

引言

题型示例

总结

对点集训

15.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A、B, 若线段AB中点的纵坐标为6,则抛物线的方程为 .

【解析】整体法:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵x

2

x2 x =2py,∴y= ,∴y'=? , p 2p

?

x12 x1 故在A点处的切线的斜率为? ,切点为A(x1, ), p 2p

?

x12 x1 x12 x1 切线方程为y- =? 1),切线过M(2,-2p),∴-2p- =? 1), (x-x (2-x 2p p 2p p

?

?

2 x12 x2 ∴?-4x1-4p2=0.同理有?-4x2-4p2=0,因此x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两

个根, ∴把x1+x2与x1·2作为整体进行运算, x
引言 题型示例 总结 对点集训

? x1 ? x2 ? 4, ∴ ? x ? x ? ?4 p 2 , ? 1 2

?

2 x12 x2 ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1x2 16 ? 8 p 2 线段AB中点的纵坐标为6,y1+y2= + = = =12, 2p 2p 2p 2p

???

?

∴p2-3p+2=0(p>0),∴p=1或p=2,∴抛物线的方程为x2=2y或x2=4y. 【答案】x2=2y或x2=4y

引言

题型示例

总结

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