平面向量分解定理

8.3

平面向量的分解定理
执教班级：高二（1）班 执教教师： 高 虹

2011年10月14日

Network Optimization Expert Team

情景1：

火箭在升空的某一时刻，速度可以分解 成________和_________的两个分速度．

v2

v
v1
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情景2：

一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重 力G，可分解为________和__________.

F1 F2 G

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情景3：

一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上， 也可以由电线AO和绳BO拉住，CO所受的拉力 F与电灯重力G平衡，拉力F可以分解为AO与 BO所受的拉力F1和F2 .
A

C F
O B

A

C

A

C
F O

F1
O

F1 F2
B

F2

B

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问题一：
? 在同一个平面内，是不是给定一个向 量都可以按指定方向（不平行）分解 成两个不平行的向量？

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? 问题1 在同一个平面内，给定一个向量 a 是否可以分解成两个 不平行的向量？
N

? a
?? ? e2 ?? B ? e2
O

C

? a

? ? e1

? ? e1

A M

?? ?? ? 结论： 如果 e1、 e2 是同一个平面内的两个不平行的向量，那么对于给定 ? ?? ?? ? ? 存在 a =?1 e1 +?2 e2 向量 a ，_______一对实数 ?1、 ?2 ，使 _____________ .
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问题二：
?? ?? ? 在同一平面内，对于确定的不平行的向量 e1 和 e2 ， 给定 ? 向量 a 的分解 是否唯一？ ?? ?? ? ? ?? ?? ? 即 对不共线的向量 e1 和 e2 ， a ? ?1 e1 ? ?2 e2 中的一对实数

?1、 2是否唯一？ ?

? 问题1 在同一个平面内，给定一个向量 a 是否可以分解成两个 ? ???? ???? ? 不共线的向量，即 a ? OM ? ON ？
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问题三：
? 将前面问题中的“给定”换成“任意”， 结论是否还成立？
?? ?? ? 在同一个平面内，有不平行的向量 e1、 e2 ，那么对于给定 任意 ? ? ?? ?? ? 向量 a ，有且只有一对实数 ?1、 ?2 ，使 a =?1 e1、?2 e2？ + .

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平面向量分解定理 如果
? ? ?? ? e1、 e2

基底

是同一平面内两个不平行的向量， ? 那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一 ? ? ? ?? ? 对实数 ?1、 ?2 ，使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ．
? ? ?? ? （1）我们把不平行的向量 e1、 e2 叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底.

线性组合

? ? ?? ? （2）一个平面向量用一组基底 e1、 e2 表示成 ? ? ? ?? ?

a ? ?1 e1 ? ?2 e2 的形式，我们称它为向量的分解．
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? ? ?? ? （3）当 e1、 e2 互相垂直时，就称为向量的正交分解.

例1

??? ? ? ??? ? ? 如图所示，平行四边形 OADB中，设OA ? a， OB ? b， ? ? ? ???? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? 1 1 又 BM ? BC， CN ? CD，试用a、表示OM 、 、 ． b ON MN 3 3

A
N C O M B

D

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例2

?

??? ??? ? ? 如图所示，已知OA、 是不平行的两个向量， OB ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? k 是实数，且 AP ? k AB ( k ? R )，用OA、 表示 OP. OB

P

B

A
O

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课堂小结

平面向量分解定理
?? ?? ? ? 基底　 e2，任意向量 a e1、　

? ?? ?? ? a =?1 e1 +?2 e2

λ1，λ2

存在

唯一

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作业布置

阅读《平面向量分解定理》相关资料

拓展阅读
练习册B组

能力提高
练习册A组

基础练习

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