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平面向量分解定理


8.3

平面向量的分解定理
执教班级:高二(1)班 执教教师: 高 虹

2011年10月14日

Network Optimization Expert Team

情景1:

火箭在升空的某一时刻,速度可以分解 成________和_________的两个分速度.

v2

v
v1
Network Optimization Expert Team

情景2:

一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重 力G,可分解为________和__________.

F1 F2 G

Network Optimization Expert Team

情景3:

一盏电灯,可以由电线CO吊在天花板上, 也可以由电线AO和绳BO拉住,CO所受的拉力 F与电灯重力G平衡,拉力F可以分解为AO与 BO所受的拉力F1和F2 .
A

C F
O B

A

C

A

C
F O

F1
O

F1 F2
B

F2

B

Network Optimization Expert Team

问题一:
? 在同一个平面内,是不是给定一个向 量都可以按指定方向(不平行)分解 成两个不平行的向量?

Network Optimization Expert Team

? 问题1 在同一个平面内,给定一个向量 a 是否可以分解成两个 不平行的向量?
N

? a
?? ? e2 ?? B ? e2
O

C

? a

? ? e1

? ? e1

A M

?? ?? ? 结论: 如果 e1、 e2 是同一个平面内的两个不平行的向量,那么对于给定 ? ?? ?? ? ? 存在 a =?1 e1 +?2 e2 向量 a ,_______一对实数 ?1、 ?2 ,使 _____________ .
Network Optimization Expert Team

问题二:
?? ?? ? 在同一平面内,对于确定的不平行的向量 e1 和 e2 , 给定 ? 向量 a 的分解 是否唯一? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 即 对不共线的向量 e1 和 e2 , a ? ?1 e1 ? ?2 e2 中的一对实数

?1、 2是否唯一? ?

? 问题1 在同一个平面内,给定一个向量 a 是否可以分解成两个 ? ???? ???? ? 不共线的向量,即 a ? OM ? ON ?
Network Optimization Expert Team

问题三:
? 将前面问题中的“给定”换成“任意”, 结论是否还成立?
?? ?? ? 在同一个平面内,有不平行的向量 e1、 e2 ,那么对于给定 任意 ? ? ?? ?? ? 向量 a ,有且只有一对实数 ?1、 ?2 ,使 a =?1 e1、?2 e2? + .

Network Optimization Expert Team

平面向量分解定理 如果
? ? ?? ? e1、 e2

基底

是同一平面内两个不平行的向量, ? 那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一 ? ? ? ?? ? 对实数 ?1、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .
? ? ?? ? (1)我们把不平行的向量 e1、 e2 叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底.

线性组合

? ? ?? ? (2)一个平面向量用一组基底 e1、 e2 表示成 ? ? ? ?? ?

a ? ?1 e1 ? ?2 e2 的形式,我们称它为向量的分解.
Network Optimization Expert Team

? ? ?? ? (3)当 e1、 e2 互相垂直时,就称为向量的正交分解.

例1

??? ? ? ??? ? ? 如图所示,平行四边形 OADB中,设OA ? a, OB ? b, ? ? ? ???? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? 1 1 又 BM ? BC, CN ? CD,试用a、表示OM 、 、 . b ON MN 3 3

A
N C O M B

D

Network Optimization Expert Team

例2

?

??? ??? ? ? 如图所示,已知OA、 是不平行的两个向量, OB ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? k 是实数,且 AP ? k AB ( k ? R ),用OA、 表示 OP. OB

P

B

A
O

Network Optimization Expert Team

课堂小结

平面向量分解定理
?? ?? ? ? 基底  e2,任意向量 a e1、 

? ?? ?? ? a =?1 e1 +?2 e2

λ1,λ2

存在

唯一

Network Optimization Expert Team

作业布置

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拓展阅读
练习册B组

能力提高
练习册A组

基础练习

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