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求通项公式和数列求和的常用方法教师用


求递推数列通项公式的常用方法 一 公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) ,

等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,并且 an ? Sn ? 1(n ? N * ) ,求 ?a n ? 的通项公式?
1 1 ?1? 【解析】 : Sn ? 1 ? an ,? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an ? an?1 ,? an ?1 ? an ,又 a1 ? ,? an ? ? ? . 2 2 ?2? 反思:利用相关数列 ?a n ? 与 ?Sn ? 的关系: a1 ? S1 , an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 与提设条件,建立递推关系,
n

是本题求解的关键. 跟踪训练 1.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn , 满足关系 lg? Sn ?1? ? n (n ? 1, 2 ???) .试证数列 ?an ? 是等比数列. 二 归纳法:由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式,再利用数学归纳法证明其正确性, 这种方法叫归纳法. 例二 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?a n ? 的通项公式. 【解析】 :

a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,? a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 7 ????

猜测 an ? 2n ?1 (n ? N * ) ,再用数学归纳法证明.(略) 反思:用归纳法求递推数列,首先要熟悉一般数列的通项公式,再就是一定要用数学归纳法证明 其正确性. 跟踪训练 2.设 ?a n ? 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn ,并且对于所有自然数 n , an 与 1 的等差 中项等于 Sn 与 1 的等比中项,求数列 ?a n ? 的通项公式. 三 累加法:利用 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ????(an ? an?1 ) 求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如
n

an?1 ? an ? f (n) 的递推数列通项公式的基本方法( f (n) 可求前 n 项和).

?1? 例三 已知无穷数列 ?a n ? 的的通项公式是 an ? ? ? , 若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , (n ? 1) , 求数列 ?bn ? ?2? 的通项公式.
1 ?1? ?1? 【解析】 :b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? ? ? (n ? 1) ,? bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? ???(bn ? bn?1 ) =1+ + ?? + ? ? 2 ?2? ?2? 反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? an ? f (n) .
n
n n ?1

?1? =2?? ? ?2?

n ?1

.

1 ?1? 跟踪训练 3.已知 a1 ? , an?1 ? an ? ? ? (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 2 ?2? a a a 四 累乘法:利用恒等式 an ? a1 2 3 ??? n (an ? 0, n ? 2) 求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型 a1 a2 an?1 如: an?1 ? g (n)a n 的递推数列通项公式的基本方法(数列 g (n) 可求前 n 项积).

例四

已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式.

【解析】 :

an ? n(an?1 ? an ) ,?

an?1 n ? 1 a a a ,又有 an ? a1 2 3 ??? n (an ? 0, n ? 2) = ? an n a1 a2 an?1
-1-

2 3 n 1× × ×??? × = n ,当 n ? 1 时 a1 ? 1 ,满足 an ? n ,? an ? n . 1 2 n-1 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? g (n)a n .

跟踪训练 4. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ???? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) . 则 ?a n ? 的通项公式 是. 五 构造新数列: 类型 1 an?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 1 1 例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n 1 1 1 1 ? ? ? 解:由条件知: a n?1 ? a n ? 2 n ? n n(n ? 1) n n ? 1 分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加 之 , 即 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 所以 a n ? a1 ? 1 ? ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 3 3 4 n ?1 n n 2 2 n 2 n 类型 2 an?1 ? f (n)an a 解法:把原递推公式转化为 n?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an 2 n a n ,求 an 。 例 2:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1 a n 解 : 由 条 件 知 n?1 ? , 分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 乘 之 , 即 an n ?1 a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 2 2 1 又? a1 ? ,? a n ? ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n 3 3n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n 3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 例 3:已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 3n ? 2 3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ? ? ? ?3 ? 3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。 ? ? ???? ? a1 解: an ? 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2 变式:(2004,全国 I,)已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),则{an}

n ?1 ?1 的通项 an ? ? ? ___ n ? 2 解:由已知,得 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 ? nan ,用此式减去已知式,得 当 n ? 2 时, an?1 ? an ? nan ,即 an?1 ? (n ? 1)an ,又 a2 ? a1 ? 1, a a a a n! ? a1 ? 1, 2 ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,? ? ?, n ? n ,将以上 n 个式子相乘,得 an ? (n ? 2) 2 a1 a2 a3 an?1
类型 3 。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )
q ,再利用换元法转化为 1? p

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 等比数列求解。 例 4:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故递推公式为

-2-

an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且

bn?1 an?1 ? 3 ? ? 2 .所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 bn an ? 3

为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 . 变式:(2006,重庆,文,14) 在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________ (key: an ? 2n?1 ? 3 ) 。 (或 an?1 ? pan ? rqn ,其中 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) p,q, r 均为常数) 。 a ?1 p an 1 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得: n ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ? (其中 q n?1 q q n q a p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 bn ? n n q q q 5 1 1 例 5:已知数列 ?an ? 中, a1 ? , a n ?1 ? a n ? ( ) n ?1 ,求 an 。 6 3 2 1 1 2 解:在 a n ?1 ? a n ? ( ) n ?1 两边乘以 2 n ?1 得: 2 n?1 ? a n?1 ? (2 n ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,解之得: bn ? 3 ? 2( ) n 3 3 bn 1 n 1 n 所以 a n ? n ? 3( ) ? 2( ) 2 3 2 类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解 ( 特 征 根 法 ) : 对 于 由 递 推 公 式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给 出 的 数 列 ?an ? , 方 程 类型 4

x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。 若 x1 , x 2 是特征方程的两个根, n?1 当 x1 ? x 2 时, 数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2 , 其中 A, B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定 (即把 a1 , a2 , x1 , x2
n?1 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ,得到关于 A、B 的方程组) ;

当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。 例 6: 数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求 an 2 解(特征根法) :的特征方程是: 3x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 。? x1 ? 1, x 2 ? , 3 2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3 ?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a 2 ? 故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n ?1 2 ?? ? 3 b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ? 2 1 练习:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3 7 3 1 key : an ? ? (? ) n ?1 。 4 4 3 变式:(2006,福建,文,22) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式; (I)解: ?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
-3-

? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ). 类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) )
?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 解 法 : 利 用 an ? ? 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消 去 S n (n ? 2) 或 与 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2) S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。 1 例 7:数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ? n ?2 .(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an . 2 1 1 解: (1)由 S n ? 4 ? a n ? n ?2 得: S n ?1 ? 4 ? a n ?1 ? n ?1 2 2 1 1 于是 S n ?1 ? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? ( n ? 2 ? n ?1 ) 2 2 1 1 1 所以 an?1 ? an ? an?1 ? n?1 ? a n ?1 ? a n ? n . 2 2 2 n (2)应用类型 4( an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) )的方法,上式两边

同乘以 2 n ?1 得: 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 1 由 a1 ? S1 ? 4 ? a1 ? 1?2 ? a1 ? 1 . 于 是 数 列 2n an 是 以 2 为 首 项 , 2 为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以 2 n 2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ? n ?1 2 数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是,抓 通项,找规律,套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法: 一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、 等差数列求和公式: S n ? 2 2 (q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

?

?

n n 1 1 4、 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) S n ? ? k ? n(n ? 1) 6 2 k ?1 k ?1 n 1 5、 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1 例 1(07 高考山东文 18)设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,

3、

且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的等差数列. (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . , 2, ,
?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知得 : ? (a1 ? 3) ? (a3 ? 4) 解得 a2 ? 2 . ? 3 a . 2 ? ? 2 2 设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ? ,a3 ? 2q . q
-4-

2 又 S3 ? 7 ,可知 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , q 1 解得 q1 ? 2,q2 ? .由题意得 q ? 1, ?q ? 2 . 2 ?a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 .

(2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 由(1)得 a3n?1 ? 23n , 2, ,
?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 , ?{bn } 是等差数列.

又 bn?1 ? bn ? 3ln 2n

?Tn ? b1 ? b2 ? ? bn n(b1 ? bn ) ? 2 n(3ln 2 ? 3ln 2) 3n(n ? 1) ln 2 . 故 Tn ? ? 2 2 3n(n ? 1) ? ln 2. 2 Sn 练习:设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ? 的最大值. (n ? 32) S n ?1 二、错位相减法 设数列 ?an ? 的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则数列 ?an bn ?的前 n 项和 S n 求解,均可用错位相 减法。 例 2(07 高考天津)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2,an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ,其中 ? ? 0 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅰ)解:由 an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N? ) , ? ? 0 ,

a ?2? ?2? 可得 n?1 ? ? ? ? n ? ? ? 1, ? ?n ? ??? ??? n n ? an ? 2 ? ? an ? 2 ? ? ? 所以 ? n ? ? ? ? 为等差数列,其公差为 1,首项为 0,故 ? ? ? ? n ? 1 ,所以数列 ?an ? 的通项公 ?n ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 式为 an ? (n ?1)? n ? 2n . an?1
(Ⅱ)解:设 Tn ? ? 2 ? 2? 3 ? 3? 4 ?
? (n ? 2)? n?1 ? (n ?1)? n ,

n ?1

n



② ?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ? 3? 5 ? ? (n ? 2)? n ? (n ?1)? n?1 当 ? ? 1 时,①式减去②式, ? 2 ? ? n?1 2 3 n n ?1 ? (n ? 1)? n ?1 , 得 (1 ? ? )Tn ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1)? ? 1? ? 2 n ?1 n ?1 n?2 n ?1 ? ?? (n ? 1)? (n ? 1)? ? n? ? ? 2 Tn ? ? ? . (1 ? ? )2 1? ? (1 ? ? )2 (n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 ? 2n?1 ? 2 . 这时数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2 (1 ? ? )
n( n ? 1) n(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 . .这时数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2 2 例 3(07 高考全国Ⅱ文 21)设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,

当 ? ? 1 时, Tn ?

a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13
-5-

(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;
?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13, 解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,

bn ? qn?1 ? 2n?1 . a 2n ? 1 (Ⅱ) n ? n?1 . bn 2 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? n ?2 ? n ?1 ,① 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 Sn ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2
? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? 2 2

1 1 ? n ?1 2n ? 1 2n ? 3 1 ? 2n ? 1 ? n?2 ? ? n?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 2 ? 2 1? 2

三、逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广) 2x 1 例 4 设函数 f ( x) ? x 的图象上有两点 P1(x1, y1)、P2(x2, y2),若 OP ? (OP1 ? OP2 ) ,且点 P 的横 2 2 ? 2 1 坐标为 . 2 (I)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值; 1 2 3 n (II)若 S n ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ), n ? N * , 求S n ; n n n n 1 1 (I)∵ OP ? (OP1 ? OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 2 2 ∴P 是 P1P 2 的中点,且 x1 ? x2 ? 1

y ?y
1

2

?

2 x1 ? 2

2x

1

?

2x

2x
2 2

2

? 2
1

x x ? 2 2 ?
1

2

? 2 ? 2x2

?2x ?
2

?

?2x ? 2 ? 2?
1

?

4? 2 4 ? 2 2 x 2 ? 2 x1

?

?

?2x ? 2x ? ? 1
? x ? ? f ? x ? ? 1, 且f ?1? ? 2 ?
1 2

? y ?1
p

由(I)知, x1 ? x2 ? 1 f

2

?1? ?2? 又S n ? f ? ? ? f ? ? ? ?n? ?n? ?n? ? n ?1 ? ?? f ? ?? Sn ? f ? ?n? ? n ?

? n ?1 ? ?n? ?f? ? ? f ? ? ?1? ? n ? ?n? , (1)+(2)得: ?2? ?1? ? f ? ? ? f ? ? ? 2? ?n? ?n?
-6-

? ?1? 2S n ? f ?1? ? ? f ? ? ? ? ?n? ? 2 f ?1? ? 1 ? 1 ? ?S n ?

? n ? 1 ?? ? ? 2 ? f? ?? ? ? f ? ? ? ? n ?? ? ? n ?

? n ? 2 ?? f? ?? ? ? n ??

? ?n? ?? f ? ?? ? ?n?

? 1 ?? f ? ? ? ? f ?1? ? n ??

?1 ? n ? 3 ? 2 2

n ?3? 2 2 2 四、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解, 然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: 1 1 1 (1) a n ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1 (2n) 2 1 1 1 (2) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? [ ? ] 等。 (3) an ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 , ,? ? ?, ,? ? ? 的前 n 项和. 例 5 求数列 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1 1 ? n ?1 ? n 解:设 a n ? (裂项) n ? n ?1 1 1 1 ? ? ??? ? 则 Sn ? (裂项求和) 1? 2 2? 3 n ? n ?1

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 例6 (06 高考湖北) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; m 1 (Ⅱ)设 bn ? ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的最小正整数 m; 20 an an?1 解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5. 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N ? ) 3 1 1 1 3 ? ), (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ? = = ( (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1 a n a n ?1
1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ). (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ? i ?1 1 1 m 1 m 因此,要使 (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10,所以满足 2 6n ? 1 20 2 20 要求的最小正整数 m 为 10. n 1 评析:一般地,若数列 ?an ? 为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,则求和: ? 首先考 i ?1 ai ai ?1

?

?

故 Tn= ? bi =

n

1 2

n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ?? ( ? )则? = ( ? 。下列求和: ? )? d a1 a n ?1 a1a n?1 ai ?1 ai ? ai ?1 i ?1 ai ai ?1 i ?1 d ai i ?1 ai ai ?1 i ?1 裂项求和法。

虑?

n

也可用

五、分组求和法
-7-

所谓分组法求和就是: 对一类既不是等差数列, 也不是等比数列的数列, 若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 例 7 数列{an}的前 n 项和 S n ? 2an ? 1,数列{bn}满 b1 ? 3, bn?1 ? an ? bn (n ? N ? ) . (Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 解析: (Ⅰ)由 S n ? 2an ? 1, n ? N ? ,? S n?1 ? 2an?1 ? 1, 两式相减得: an?1 ? 2an?1 ? 2an , ? an?1 ? 2an , n ? N ? .同a1 ? 1知an ? 0 ,
? an?1 ? 2, 同定义知 {an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. an

(Ⅱ) an ? 2n?1 , bn?1 ? 2 n?1 ? bn

bn?1 ? bn ? 2 n?1 ,

b2 ? b1 ? 2 0 , b3 ? b2 ? 21 , b4 ? b3 ? 2 2 , ?

bn ? bn?1 ? 2 n?2 , 等式左、右两边分别相加得:
bn ? b1 ? 2 0 ? 21 ? ? ? 2 n?2 ? 3 ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n?1 ? 2, 1? 2

?Tn ? (20 ? 2) ? (21 ? 2) ? (22 ? 2) ? ? ? (2n?1 ? 2) ? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? 2n

= 1 ? 2 ? 2n ? 2 n ? 2n ? 1.
n

1? 2

例 8 求 S ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 解:⑴ 当 n 为偶数时,
S ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ?

? (?1)n?1 n2 ( n ? N? )

? [(n ? 1)2 ? n2 ] ? ?(1 ? 2 ?

? n) ? ?

n(1 ? n) ; 2
n(n ? 1) 1 ? n2 ? (n2 ? n) 综 上 所 述 , 2 2



当 n 为奇数时,
? [(n ? 2)2 ? (n ? 1)2 ] ? n2 ? ?[1 ? 2 ? ? (n ? 1)] ? n2 ? ?

S ? (12 ? 22 ) ? (32 ? 42 ) ?
1 S ? ( ?1n?)

1 n n ( ?. 1) 2

点评:分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.

-8-


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