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直线的倾斜角与斜率课件(公开课)


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人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2

3.1.1 倾斜角与斜率

我们学过函数y=x+1,它的图象是什么? 如何在平面直角坐标系内确定它的位置?

y
1 -1 两点确定一条直线.

o

x

已知直线l经过点P,直线l 的位置能够确定吗?

l3 l 2
y

l1
l
P

不确定.过一个点有无数条直线.

这些直线有何区别?
它们的倾斜程度不同.

O

x
用什么量来刻画直 线的倾斜程度?

直线的倾斜角 定义:当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为 基准,x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫 做直线 l 的倾斜角.
y 规定 当直线l与x轴平行或重合时, ? 0 它的倾斜角为 . a

? ? 0?
x

注意: (1)直线向上方向; (2)x轴的正方向。

o

试一试
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y
y

A
y

a
C D
x x o

x

o

o

a

B
y

a

o

x

a

直线的倾斜角范围
议一议:如果一条直线绕着一点旋转,则它的倾斜角有 什么变化?
y
p o
l

y p o
l

l

y

y p? x o

? x

?x

p

o

l x

直线倾斜角α的范围为:
? 0 ,180 ?
? ?

?

思考1:如图,直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角相等?

y
1
2

a

b 3

c

o

x

相等

思考2:若给定一个倾斜角 ,能确定一条直线的位 置?并说明理由。

不能

想一想

你认为下列说法对吗?
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。 对

错 2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。

升高量 坡度(比) ? (即坡角的正切值) 前进量

类比坡度,引进一个刻画直线倾斜程度的量

直线的斜率
定义:我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:

k ? tan ? (? ? 90 )
?

注:倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度

? 试一试 提示: tan ?180 - ? ? ? - tan ?
已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率.
(1)? ? 30? ; (2)? ? 45? ;
?

(3)? ? 120? ;

(4)? ? 135? ;

3 解: (1)k ? tan 30 ? ; 3

(2)k ? tan 45? ? 1;
(4)k ? tan135? ? ?1.

(3)k ? tan120? ? ? 3;

倾斜角与斜率有怎样的关系呢?

k? tan?
? ? [0, ) ? ( , π)
π 2 π 2

k

k ? (??,??)

π ? 2

O

π 2

π

3? 2

a

a?0
π 0?a? 2
π ?a?π 2

k ?0
k ?0

k?0

π k不存在 ? a ? 时, k 2

试一试
如图,直线的斜率分别为,则(C) A.k1 ? k2 ? k3 B. k3 ? k1 ? k 2 C.k3 ? k 2 ? k1 D.k1 ? k3 ? k 2
Y O

l1
l2
X

l3

判断正误: ①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为

tan ?

( )

②直线的斜率的范围是 (??,??)

(∨)
) )

③任一条直线都有倾斜角,所以任一条直线都有 斜率. (
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 (

⑤两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π

(
(

)
)

典例讲解
?? ? ? 1、若直线的倾斜角为? ? ? , ?,求斜率k的取值范围。 ?6 3 ?

变式训练
? ? 3? ? 1、若直线的倾斜角为? ? ? , ?,求斜率k的取值范围。 ?6 4 ?

1.确定直线位置关系的要素

2.刻画直线倾斜程度的量
倾斜角a 斜率k

k ? tan ? ?? ? 90??

? ? 2? ? 1、若直线的倾斜角为? ? ? , ?,求斜率k的取值范围。 ?3 3 ?

? ,求倾斜角? 取值范围。 能力题:若直线的斜率k ? ? -1 , 3 ? ?

祝同学们学习快乐!


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