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(试题3)1.1正弦定理和余弦定理

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1.1 正弦定理和余弦定理水平测试题
一、选择题 1.在△ABC 中, A ? 45? , B ? 60? , a ? 10 ,则 b ? ( )

A. 5 2

B. 10 2

C.

10 6 3

D. 5 6

答案:D 提示:由正弦定理知

a b a 10 3 ? ? sin B = ,故 b ? =5 6 . ? sin A sin B sin A 2 2 2
2 2

2.已知三角形的三边长分别为 a,b 和 a ? b ? ab 则这个三角形的最大角是( A.



5? 12

B.

? 2
2

C.

5? 6
2

D.

2? 3
2 2

答案:D

提示:∵ a ? b ? ab >a, a ? b ? ab >b,设该三角形的最大角为 ? ,则

cos ? =

a 2 ? b2 ?

?

a 2 ? b2 ? ab 2ab

? = ? 1 ,又 0 ? ? ?π ,故? ? 2π .
2

2

3

3.在△ABC 中,若 A ? 60? , a ? 3 ,则
1 2

a?b?c 等于( sin A ? sin B ? sin C
D.
3 2



A.2

B.

C. 3

a?b?c a ? =2. sin A ? sin B ? sin C sin A 4.△ABC 中,若 a sin A ? b sin B ,则△ABC 的形状为(
答案:A 提示:由 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形

) D.等边三角形

2 2 答案:A 提示:利用正弦定理可得 a ? b ,故 a=b,所以△ABC 为等腰三角形.

5.已知锐角三角形的三边长为 2,3,x,则 x 的取值范围是( A .1<x<5 B. 5 ? x ? 13 C .0<x< 5



D. 13 ? x ? 5

答案:B 提示:利用余弦定理. 6.在△ABC 中,A=60°,AB=2,S△ABC=

3 ,则 BC 的长为( 2



A. 7

B.7

C. 3

D.3

答案:C 提示:由 S△ABC=

1 3 ,且 A=60°,AB=2 可得 AC=1.再由余 AB ? AC ? sin A ? 2 2

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弦定理可求得 BC ? 3 . 二、填空题

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7. 在△ABC 中,如果 a : b : c ? 2: 6 : ( 3 ?1) ,那么这个三角形的最小角是________. 答案:

? 4

提示: 不妨设三角形三边分别为 2, 6,( 3 ? 1) , 则长为 2 的边对的角为最小角,

由余弦定理得 cos A ?

? b2 ? c2 ? a2 6 ? ( 3 ? 1)2 ? 4 2 ,又 0 ? A ? ? ,∴ A ? . ? ? 4 2bc 2 2 ? 6 ? ( 3 ? 1)

8.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 cos∠ABC=_______. 答案:

11 16

提示:由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中 R 为该三角形外接

圆的半径.设 sinA=2k,sinB=3k,sinC=4k (k>0) ,则 a=4kR,b=6kR,c=8kR..由余弦定理得 cos ∠ABC=

a 2 ? c 2 ? b 2 11 ? . 2ac 16
abc cos A cos B cos C ( ? ? ) =____________. 2 2 a b c a ?b ?C
2

9.在△ABC 中, 答案:

1 2

提示:由余弦定理将 cos A , cos B , cos C 代入整理即得. .
2

10.△ABC 中,C 是直角, b ? ac ,则 sin A ? 答案:
5 ?1 2
2

提示:由 b ? ac 得 b ? ac ,利用正弦定理可得 sin B ? sin A sin C ,又

sin B ? cos A , C ? 1 , cs sin 故o

2

As? n i

A, n i 即s

2

Ai? 1 A ? ? , n s 0 解得 sin A ?

5 ?1 2

或 sin A ?

? 5 ?1 (舍去). 2

三、解答题 11.在△ABC 中,A=75°,B=45°, c ?

6 ,解此三角形.

解:C=180°―A―B=180°―75°―45°=60°. 由正弦定理

a c ? 知 sin A sin C

a?

6 6? 2 c 6 ? sin A = = 3 ? 1. ? ? sin 75? = sin C sin 60? 4 3 2

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同理 b ?

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6 2 c ? sin B = =2. ? sin C 3 2 2

12.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60? ,另两边之比为 8:5,试求这个三角形的 面积. 解:由题意可设另两边长度分别为 8k ,5k ,则由余弦定理可得,

64k 2 ? 25k 2 ? 2 ? 8k ? 5k cos 60? ? 142 ,解得 k ? 2 ,∴另两边长度分别为 16,10 .
∴这个三角形的面积 S ?

1 ?16 ?10sin 60? ? 40 3. 2 3 2 , b ? ac , 2

13.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos( A ? C ) ? cos B ? 求 B. 解:由 cos(A ? C)+cosB=

3 及 B=π ? (A+C)得 2 3 cos(A-C) ? cos(A+C)= , 2 3 , 2

即 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= 所以 sinAsinC=
2

3 . 4

又由 b =ac 及正弦定理得
2 s i n B ? s iA n

s Cn i

,

2 故 sin B ?

3 3 3 ,所以 sin B ? 或 sin B ? ? (舍去). 4 2 2

于是 B= 又由

π 2 π 或 B= . 3 3

b2 ? a c b ? a 或 b ? c . 知

所 以 B=

π . 3

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