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四川省成都市温江区2017届九年级(上)期末数学试卷(解析版)


2016-2017 学年四川省成都市温江区九年级(上)期末数学试卷
一、选择题:每小题 3 分,共 30 分 1.方程 x2=3x 的解为( A.0 B.﹣3 C.0,3 ) D.3 )

2. 下列选项中, 不是如图所示几何体的主视图、 左视图、 俯视图之一的是 (

A.

B.

C.

D.

3.做重复试验:抛掷一枚啤酒瓶盖 1000 次.经过统计得“凸面向上”的次数为 420 次,则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为( A.0.22 B.0.42 C.0.50 D.0.58 4.如图,以点 O 为位似中心,将△ABC 缩小后得△A′B′C′,已知 OB=3OB′,则△ A′B′C′与△ABC 的面积比为( ) )

A.1:3

B.3:1

C.9:1

D.1:9

5.一个公共房门前的台阶高出地面 2 米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡, 数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( )

A.斜坡 AB 的坡度是 18° C.AC=2tan18°米 D.AB=

B.斜坡 AB 的坡度是 tan18° 米
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6.设抛物线 C1:y=x2 向右平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度得到抛 物线 C2,则抛物线 C2 对应的函数解析式是( )

A.y=(x﹣2)2﹣3 B.y=(x+2)2﹣3 C.y=(x﹣2)2+3 D.y=(x+2)2+3 7.如图,l1∥l2∥l3,直线 a,b 与 l1,l2,l3 分别相交于 A,B,C 和点 D,E,F, 若 = ,DE=6,则 EF 的长是( )

A.

B.

C.10 D.6 )

8.如图,已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E,则下列结论一定错误的是(

A.CE=DE

B.AE=OE C.

=

D.△OCE≌△ODE

9.二次函数 y=2x2﹣3 的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的 是( )

A.抛物线开口向下 B.抛物线经过点(2,3) C.抛物线的对称轴是直线 x=1 D.抛物线与 x 轴有两个交点 10.如图,点 A 和点 B 都在反比例函数 y= 的图象上,且线段 AB 过原点,过点 A 作 x 轴的垂线段,垂足为 C,P 是线段 OB 上的动点,连接 CP.设△ACP 的面 积为 S,则下列说法正确的是( )

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A.S>3

B.S>6

C.3≤S≤6 D.3<S≤6

二、填空题:每小题 3 分,共 15 分 11.小新的身高是 1m,他的影子长为 2m,同一时刻水塔的影长是 32m,则水 塔的高度是 m.

12.如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条 件是 . (只需写一个条件,不添加辅助线和字母)

13.小颖在二次函数 y=2x2+4x+5 的图象上,依横坐标找到三点(﹣1,y1) , (2, y2) , (﹣3,y3) ,则你认为 y1,y2,y3 的大小关系应为 .

14.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆 10m 的 A 处测得旗杆 顶端 B 的仰角为 60°,测角仪高 AD 为 1m,则旗杆高 BC 为 号) . m(结果保留根

15. AB 是⊙O 的直径, C, D 是⊙O 上的两点, 如图, 若∠BCD=28°, 则∠ABD=

°.

三、解答题:每小题 12 分,共 24 分 16. (1)计算:2﹣1+(2π﹣1)0﹣ ﹣sin45°﹣ tan30°

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(2)解方程:x2+4x﹣1=0. 17.甲、乙两个不透明的口袋,甲口袋中装有 3 个分别标有数字 1、2、3 的小球, 乙口袋中装有分别标有数字 4、5 的小球,它们的形状、大小完全相同,现随机 从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从乙口袋中摸出一个小球记下数字.请用 列表或树状图的方法(只选其中一种)求出两个数字之和能被 3 整除的概率. 18.如图,直线 y= x+2 与双曲线相交于点 A(m,3) ,与 x 轴交于点 C. (1)求双曲线解析式; (2)点 P 在 x 轴上,如果△ACP 的面积为 3,求点 P 的坐标.

四、解答题:每小题 7 分,共 14 分 19.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,AD 与 BE 相交于 点 F. (1)求证:△ACD∽△BFD; (2)若∠ABD=45°,AC=3 时,求 BF 的长.

20.某网店销售某款童装,每件售价 60 元,每星期可卖 300 件,为了促销,该 网店决定降价销售.市场调查反映:每降价 1 元,每星期可多卖 30 件.已知该 款童装每件成本价 40 元,设该款童装每件售价 x 元,每星期的销售量为 y 件. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?

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五、解答题: (19 小题 8 分,20 小题 9 分,共 17 分) 21. 2014 为进一步发展基础教育, 自 2014 年以来, 某县加大了教育经费的投入, 年该县投入教育经费 6000 万元.2016 年投入教育经费 8640 万元.假设该县这 两年投入教育经费的年平均增长率相同. (1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率; (2) 若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率, 请你预算 2017 年该 县投入教育经费多少万元. 22.如图,在△ABC,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E,点 F 在 AC 的延长线上,且∠CBF= ∠CAB. (1)求证:直线 BF 是⊙O 的切线; (2)若 AB=5,sin∠CBF= ,求 BC 和 BF 的长.

六、填空题:每小题 4 分,共 20 分 23.如图,一次函数 y=kx+b(k、b 为常数,且 k≠0)和反比例函数 y= (x>0) 的图象交于 A、B 两点,利用函数图象直接写出不等式 <kx+b 的解集是 .

24.现有三张分别标有数字 1、2、6 的卡片,它们除了数字外完全相同,把卡片 背面朝上洗匀,从中任意抽取一张,将上面的数字记为 a(不放回) ,再从中任 意抽取一张,将上面的数字记为 b,这样的数字 a,b 能使关于 x 的一元二次方 程 x2﹣2(a﹣3)x﹣b2+9=0 有两个正根的概率为
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25.如图,△ABC 中,AC=6,AB=4,点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧,且∠ACD= ∠ABC,CD=2,点 E 是线段 BC 延长线上的动点,当△DCE 和△ABC 相似时,线 段 CE 的长为 .

26.如图,在直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上,点 A 的坐标为(﹣1, 0) ,∠ABO=30°,线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发,沿△OBA 的边按 O→B→A→O 运动一周,同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动,如果 PQ= 当点 P 运动一周时,点 Q 运动的总路程为 . ,那么

27.如图,边长为 4 的正方形 ABCD 内接于点 O,点 E 是 B 重合) ,点 F 是

上的一动点(不与 A、

上的一点,连接 OE、OF,分别与 AB、BC 交于点 G,H,且∠

EOF=90°,有以下结论: ① = ;

②△OGH 是等腰三角形; ③四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而变化; ④△GBH 周长的最小值为 4+ 其中正确的是 .

(把你认为正确结论的序号都填上) .

七、解答题
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28.如图所示,港口 B 位于港口 O 正西方向 120km 处,小岛 C 位于港口 O 北偏 西 60°的方向.一艘游船从港口 O 出发,沿 OA 方向(北偏西 30°)以 vkm/h 的 速度驶离港口 O,同时一艘快艇从港口 B 出发,沿北偏东 30°的方向以 60km/h 的速度驶向小岛 C,在小岛 C 用 1h 加装补给物资后,立即按原来的速度给游船 送去. (1)快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间? (2)若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1h,求 v 的值及相遇处与港口 O 的 距离.

八、解答题 29. 【探究证明】 (1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量 关系进行探究,提出下列问题,请你给出证明. 如图 1,矩形 ABCD 中,EF⊥GH,EF 分别交 AB,CD 于点 E,F,GH 分别交 AD, BC 于点 G,H.求证: 【结论应用】 (2)如图 2,在满足(1)的条件下,又 AM⊥BN,点 M,N 分别在边 BC,CD 上,若 = ,则 的值为 ; = ;

【联系拓展】 (3)如图 3,四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN, 点 M,N 分别在边 BC,AB 上,求 的值.

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九、解答题 30.如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交与点 A(﹣3, 0) ,点 B(9,0) ,与 y 轴交与点 C,顶点为 D,连接 AD、DB,点 P 为线段 AD 上一动点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点 P 作 BD 的平行线,交 AB 于点 Q,连接 DQ,设 AQ=m,△PDQ 的面积 为 S,求 S 关于 m 的函数解析式,以及 S 的最大值; (3)如图 2,抛物线对称轴与 x 轴交与点 G,E 为 OG 的中点,F 为点 C 关于 DG 对称的对称点,过点 P 分别作直线 EF、DG 的垂线,垂足为 M、N,连接 MN, 当△PMN 为等腰三角形时,求此时 EM 的长.

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2016-2017 学年四川省成都市温江区九年级(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:每小题 3 分,共 30 分 1.方程 x2=3x 的解为( A.0 B.﹣3 C.0,3 ) D.3

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法. 【分析】因式分解法求解可得. 【解答】解:∵x2﹣3x=0, ∴x(x﹣3)=0, 则 x=0 或 x﹣3=0, 解得:x=0 或 x=3, 故选:C.

2. 下列选项中, 不是如图所示几何体的主视图、 左视图、 俯视图之一的是 (



A.

B.

C.

D.

【考点】简单几何体的三视图. 【分析】首先判断几何体的三视图,然后找到答案即可. 【解答】解:几何体的主视图为选项 D,俯视图为选项 B,左视图为选项 C. 故选 A.

3.做重复试验:抛掷一枚啤酒瓶盖 1000 次.经过统计得“凸面向上”的次数为 420 次,则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为(
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A.0.22 B.0.42 C.0.50 D.0.58 【考点】利用频率估计概率. 【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可. 【解答】解:∵抛掷同一枚啤酒瓶盖 1000 次.经过统计得“凸面向上”的次数约 为 420 次, ∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为 故选:B. =0.42,

4.如图,以点 O 为位似中心,将△ABC 缩小后得△A′B′C′,已知 OB=3OB′,则△ A′B′C′与△ABC 的面积比为( )

A.1:3

B.3:1

C.9:1

D.1:9

【考点】位似变换. 【分析】根据位似变换的性质得到 A′B′∥AB,A′C′∥AC,求出△A'B'C'与△ABC 的 相似比,根据相似三角形的性质得到面积比. 【解答】解:由位似变换的性质可知,A′B′∥AB,A′C′∥AC, ∴ ∴ = = = , = ,

∴△A'B'C'与△ABC 的相似比为 1:3, ∴△A'B'C'与△ABC 的面积的比 1:9, 故选:D.

5.一个公共房门前的台阶高出地面 2 米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡, 数据如图所示,则下列关系或说法正确的是(
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A.斜坡 AB 的坡度是 18° C.AC=2tan18°米 D.AB=

B.斜坡 AB 的坡度是 tan18° 米

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题. 【分析】构建坡度,锐角三角函数的定义一一判断即可. 【解答】解:A、错误.斜坡 AB 的坡度= B、正确.斜坡 AB 的坡度= C、错误.AC=1.2÷tan18°. D、错误.AB= 故选 B. . =tan18°. =tan18°.

6.设抛物线 C1:y=x2 向右平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度得到抛 物线 C2,则抛物线 C2 对应的函数解析式是( )

A.y=(x﹣2)2﹣3 B.y=(x+2)2﹣3 C.y=(x﹣2)2+3 D.y=(x+2)2+3 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】根据“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可. 【解答】解:由“左加右减”的原则可知,向右平移 2 个单位长度所得抛物线的解 析式为:y=(x﹣2)2; 由“上加下减”的原则可知,将抛物线 y=(x﹣2)2 向下平移 3 个单位长度所得的 抛物线的解析式为:y=(x﹣2)2﹣3. 故选 A.

7.如图,l1∥l2∥l3,直线 a,b 与 l1,l2,l3 分别相交于 A,B,C 和点 D,E,F, 若 = ,DE=6,则 EF 的长是( )

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A.

B.

C.10 D.6

【考点】平行线分线段成比例. 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式,代入求出即可. 【解答】解:∵l1∥l2∥l3, ∴ ∵ ∴ = ,

= ,DE=6, = ,

∴EF=10, 故选 C.

8.如图,已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E,则下列结论一定错误的是(



A.CE=DE

B.AE=OE C.

=

D.△OCE≌△ODE

【考点】垂径定理. 【分析】根据垂径定理得出 CE=DE,弧 CB=弧 BD,再根据全等三角形的判定方法 “AAS”即可证明△OCE≌△ODE. 【解答】解:∵⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E, ∴CE=DE,弧 CB=弧 BD, 在△OCE 和△ODE 中,

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, ∴△OCE≌△ODE, 故选 B

9.二次函数 y=2x2﹣3 的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的 是( )

A.抛物线开口向下 B.抛物线经过点(2,3) C.抛物线的对称轴是直线 x=1 D.抛物线与 x 轴有两个交点 【考点】二次函数的性质. 【分析】根据二次函数的性质对 A、C 进行判断;根据二次函数图象上点的坐标 特征对 B 进行判断;利用方程 2x2﹣3=0 解的情况对 D 进行判断. 【解答】解:A、a=2,则抛物线 y=2x2﹣3 的开口向上,所以 A 选项错误; B、当 x=2 时,y=2×4﹣3=5,则抛物线不经过点(2,3) ,所以 B 选项错误; C、抛物线的对称轴为直线 x=0,所以 C 选项错误; D、当 y=0 时,2x2﹣3=0,此方程有两个不相等的实数解,所以 D 选项正确. 故选 D.

10.如图,点 A 和点 B 都在反比例函数 y= 的图象上,且线段 AB 过原点,过点 A 作 x 轴的垂线段,垂足为 C,P 是线段 OB 上的动点,连接 CP.设△ACP 的面 积为 S,则下列说法正确的是( )

A.S>3

B.S>6

C.3≤S≤6 D.3<S≤6

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】先作出△APC 的高线 PD,发现动点 P 组成的△APC 中边 AC 为定值,因
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此 S 的确定取决于高线 PD 的长,设 A(x,y) ,则 B 与 A 关于原点对称,根据面 积求取值即可. 【解答】解:过 P 作 PD⊥AC 于 D,连接 CB, 设 A(x,y) ,则 B(﹣x,﹣y) , ∵点 A 在反比例函数 y= 的图象上, ∴xy=6, ∵P 是线段 OB 上的动点, ∴x≤PD≤2x, ∵S=S△APC= AC?PD, 当 PD 最小时,此时 P 与 O 重合,PD=x, ∴S=S△APC= xy= ×6=3, 当 PD 最大时,此时 P 与 B 重合,PD=2x, ∴S=S△APC= AC?PD= ?y?2x=xy=6, ∴3≤S≤6, 故选 C.

二、填空题:每小题 3 分,共 15 分 11.小新的身高是 1m,他的影子长为 2m,同一时刻水塔的影长是 32m,则水 塔的高度是 16 m.

【考点】相似三角形的应用. 【分析】设水塔的高为 xm,根据同一时刻,平行投影中物体与影长成正比得到 32:x=1:2,然后利用比例性质求 x 即可. 【解答】解:设水塔的高为 xm,
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根据题意得 x:32=1:2,解得 x=16, 即水塔的高为 16m. 故答案为 16.

12.如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条 件是 AB∥DE . (只需写一个条件,不添加辅助线和字母)

【考点】相似三角形的判定. 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件. 【解答】解:∵∠A=∠D, ∴当∠B=∠DEF 时,△ABC∽△DEF, ∵AB∥DE 时,∠B=∠DEF, ∴添加 AB∥DE 时,使△ABC∽△DEF. 故答案为 AB∥DE.

13.小颖在二次函数 y=2x2+4x+5 的图象上,依横坐标找到三点(﹣1,y1) , (2, y2) , (﹣3,y3) ,则你认为 y1,y2,y3 的大小关系应为 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】将三个点的横坐标分别代入解析式,求出相应的函数值,再进行比较即 可. 【解答】解:将点(﹣1,y1) , (2,y2) , (﹣3,y3)分别代入 y=2x2+4x+5 得, y1=2﹣4+5=3, y2=21, y3=18﹣12+5=11. 可见,y2>y3>y1. 故答案是:y2>y3>y1. y2>y3>y1 .

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14.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆 10m 的 A 处测得旗杆 顶端 B 的仰角为 60°,测角仪高 AD 为 1m,则旗杆高 BC 为 保留根号) . 10 +1 m(结果

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题. 【分析】首先过点 A 作 AE∥DC,交 BC 于点 E,则 AE=CD=10m,CE=AD=1m,然 后在 Rt△BAE 中,∠BAE=60°,然后由三角形函数的知识求得 BE 的长,继而求得 答案. CE=AD=1m, 【解答】 解: 如图, 过点 A 作 AE∥DC, 交 BC 于点 E, 则 AE=CD=10m, ∵在 Rt△BAE 中,∠BAE=60°, ∴BE=AE?tan60°=10 ∴BC=CE+BE=10 ∴旗杆高 BC 为 10 故答案为:10 (m) ,

+1(m) . +1m.

+1.

15.如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上的两点,若∠BCD=28°,则∠ABD= 62 °.

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【考点】圆周角定理. 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°,求出∠BCD,根据圆周 角定理解答即可. 【解答】解:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∵∠BCD=28°, ∴∠ACD=62°, 由圆周角定理得,∠ABD=∠ACD=62°, 故答案为:62.

三、解答题:每小题 12 分,共 24 分 16. (1)计算:2﹣1+(2π﹣1)0﹣ (2)解方程:x2+4x﹣1=0. 【考点】解一元二次方程﹣配方法;实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特 殊角的三角函数值. 【分析】 (1)根据实数的混合运算顺序和法则计算即可得; (2)公式法求解可得. 【解答】解: (1)原式= +1﹣ = +1﹣ = ﹣ ; ﹣1 ﹣ ﹣ × ﹣sin45°﹣ tan30°

(2)∵a=1,b=4,c=﹣1, ∴△=16﹣4×1×(﹣1)=20>0, 则 x= =﹣2 .
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17.甲、乙两个不透明的口袋,甲口袋中装有 3 个分别标有数字 1、2、3 的小球, 乙口袋中装有分别标有数字 4、5 的小球,它们的形状、大小完全相同,现随机 从甲口袋中摸出一个小球记下数字,再从乙口袋中摸出一个小球记下数字.请用 列表或树状图的方法(只选其中一种)求出两个数字之和能被 3 整除的概率. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】 画树状图展示所有 6 种等可能的结果数,再找出数字之和能被 3 整除的 结果数,然后根据概率公式求解. 【解答】解:画树状图为:

共有 6 种等可能的结果数,其中两个数字之和能被 3 整除的结果数为 2, 所以两个数字之和能被 3 整除的概率= = .

18.如图,直线 y= x+2 与双曲线相交于点 A(m,3) ,与 x 轴交于点 C. (1)求双曲线解析式; (2)点 P 在 x 轴上,如果△ACP 的面积为 3,求点 P 的坐标.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】 (1)把 A 坐标代入直线解析式求出 m 的值,确定出 A 坐标,即可确定 出双曲线解析式; (2)设 P(x,0) ,表示出 PC 的长,高为 A 纵坐标,根据三角形 ACP 面积求出 x 的值,确定出 P 坐标即可. 【解答】解: (1)把 A(m,3)代入直线解析式得:3= m+2,即 m=2,
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∴A(2,3) , 把 A 坐标代入 y= ,得 k=6, 则双曲线解析式为 y= ; (2)对于直线 y= x+2,令 y=0,得到 x=﹣4,即 C(﹣4,0) , 设 P(x,0) ,可得 PC=|x+4|, ∵△ACP 面积为 3, ∴ |x+4|?3=3,即|x+4|=2, 解得:x=﹣2 或 x=﹣6, 则 P 坐标为(﹣2,0)或(﹣6,0) .

四、解答题:每小题 7 分,共 14 分 19.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,AD 与 BE 相交于 点 F. (1)求证:△ACD∽△BFD; (2)若∠ABD=45°,AC=3 时,求 BF 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】 (1)只要证明∠DBF=∠DAC,即可判断. (2)利用相似三角形的性质即可解决问题. 【解答】 (1)证明:如图,∵AD⊥BC,BE⊥AC ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90° ∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90° ∴∠DBF=∠DAC ∴△ACD∽△BFD;

(2)解:如图,∵∠ABD=45°,∠ADB=90°,
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∴AD=BD, ∴ =1,

∵△ACD∽△BFD,AC=3, ∴ =1,

∴BF=AC=3.

20.某网店销售某款童装,每件售价 60 元,每星期可卖 300 件,为了促销,该 网店决定降价销售.市场调查反映:每降价 1 元,每星期可多卖 30 件.已知该 款童装每件成本价 40 元,设该款童装每件售价 x 元,每星期的销售量为 y 件. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元? 【考点】二次函数的应用. 【分析】 (1)根据售量 y(件)与售价 x(元/件)之间的函数关系即可得到结论; (2) )设每星期利润为 y 元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题. 【解答】解: (1)根据题意可得: y=300+30(60﹣x) =﹣30x+2100;

(2)设每星期利润为 W 元,根据题意可得: W=(x﹣40) (﹣30x+2100) =﹣30(x﹣55)2+6750. 则 x=55 时,W 最大值=6750. 故每件售价定为 55 元时,每星期的销售利润最大,最大利润 6750 元.

五、解答题: (19 小题 8 分,20 小题 9 分,共 17 分)
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21. 2014 为进一步发展基础教育, 自 2014 年以来, 某县加大了教育经费的投入, 年该县投入教育经费 6000 万元.2016 年投入教育经费 8640 万元.假设该县这 两年投入教育经费的年平均增长率相同. (1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率; (2) 若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率, 请你预算 2017 年该 县投入教育经费多少万元. 【考点】一元二次方程的应用. 【分析】 (1)设该县投入教育经费的年平均增长率为 x,根据 2014 年该县投入 教育经费 6000 万元和 2016 年投入教育经费 8640 万元列出方程,再求解即可; (2)根据 2016 年该县投入教育经费和每年的增长率,直接得出 2017 年该县投 入教育经费为 8640×(1+0.2) ,再进行计算即可. 【解答】解: (1)设该县投入教育经费的年平均增长率为 x,根据题意得: 6000(1+x)2=8640 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去) , 答:该县投入教育经费的年平均增长率为 20%;

(2)因为 2016 年该县投入教育经费为 8640 万元,且增长率为 20%, 所以 2017 年该县投入教育经费为:y=8640×(1+0.2)=10368(万元) , 答:预算 2017 年该县投入教育经费 10368 万元.

22.如图,在△ABC,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E,点 F 在 AC 的延长线上,且∠CBF= ∠CAB. (1)求证:直线 BF 是⊙O 的切线; (2)若 AB=5,sin∠CBF= ,求 BC 和 BF 的长.

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【考点】 切线的判定与性质; 勾股定理; 圆周角定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形. 【分析】 (1)连接 AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形, 利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABF=90°. (2)利用已知条件证得△AGC∽△ABF,利用比例式求得线段的长即可. 【解答】 (1)证明:连接 AE, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AEB=90°, ∴∠1+∠2=90°. ∵AB=AC, ∴∠1= ∠CAB. ∵∠CBF= ∠CAB, ∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90° 即∠ABF=90° ∵AB 是⊙O 的直径, ∴直线 BF 是⊙O 的切线.

(2)解:过点 C 作 CG⊥AB 于 G. ∵sin∠CBF= ∴sin∠1= , ,∠1=∠CBF,

∵在 Rt△AEB 中,∠AEB=90°,AB=5, ∴BE=AB?sin∠1= ,

∵AB=AC,∠AEB=90°, ∴BC=2BE=2 , =2 = = , ,

在 Rt△ABE 中,由勾股定理得 AE= ∴sin∠2= = = ,cos∠2=

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在 Rt△CBG 中,可求得 GC=4,GB=2, ∴AG=3, ∵GC∥BF, ∴△AGC∽△ABF, ∴ ∴BF= =

六、填空题:每小题 4 分,共 20 分 23.如图,一次函数 y=kx+b(k、b 为常数,且 k≠0)和反比例函数 y= (x>0) 的图象交于 A、B 两点,利用函数图象直接写出不等式 <kx+b 的解集是 <4 . 1<x

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】先根据图形得出 A、B 的坐标,根据两点的坐标和图形得出不等式的解 集即可. 【解答】解:∵由图象可知:A(1,4) ,B(4,1) ,x>0, ∴不等式 <kx+b 的解集为 1<x<4, 故答案为:1<x<4.

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24.现有三张分别标有数字 1、2、6 的卡片,它们除了数字外完全相同,把卡片 背面朝上洗匀,从中任意抽取一张,将上面的数字记为 a(不放回) ,再从中任 意抽取一张,将上面的数字记为 b,这样的数字 a,b 能使关于 x 的一元二次方 程 x2﹣2(a﹣3)x﹣b2+9=0 有两个正根的概率为 【考点】列表法与树状图法. 【分析】 首先用列表法或树状图得到所有可能的结果, 在根据满足条件的事件数, 在整理时要借助于根与系数之间的关系,根的判别式,要进行讨论得到结果. 【解答】解:画树形图得: .

∵方程有两个正根, ∴由韦达定理得 2(a﹣3)>0,﹣b2+9>0, 解得 a>3,b<3, 若 b=2,9﹣b2=5 要使方程有两个正根,判别式=4(a﹣3)2﹣4×5>0 (a﹣3)
2

>5,解得,a=6;

若 b=1,9﹣b2=8 判别式=4(a﹣3)2﹣4×8>0 (a﹣3)2>8,解得,a=6, ∴a,b 只有两种情况满足要求:a=6,b=1, ∴能使关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(a﹣3)x﹣b2+9=0 有两个正根的概率= , 故答案为: .

25.如图,△ABC 中,AC=6,AB=4,点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧,且∠ACD= ∠ABC,CD=2,点 E 是线段 BC 延长线上的动点,当△DCE 和△ABC 相似时,线 段 CE 的长为 3或 .

【考点】相似三角形的性质.
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【分析】根据题目中的条件和三角形的相似,可以求得 CE 的长,本题得以解决. 【解答】解:∵△DCE∽△ABC,∠ACD=∠ABC,AC=6,AB=4,CD=2, ∴∠A=∠DCE, ∴ 即 或 或

解得,CE=3 或 CE= 故答案为:3 或 .

26.如图,在直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上,点 A 的坐标为(﹣1, 0) ,∠ABO=30°,线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发,沿△OBA 的边按 O→B→A→O 运动一周,同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动,如果 PQ= 当点 P 运动一周时,点 Q 运动的总路程为 4 . ,那么

【考点】解直角三角形. 【分析】 首先根据题意正确画出从 O→B→A 运动一周的图形, 分四种情况进行计 算:①点 P 从 O→B 时,路程是线段 PQ 的长;②当点 P 从 B→C 时(QC⊥AB,C 为垂足) ,点 Q 从 O 运动到 Q,计算 OQ 的长就是运动的路程;③点 P 从 C→A 时,点 Q 由 Q 向左运动,路程为 QQ′;④点 P 从 A→O 时,点 Q 运动的路程就是 点 P 运动的路程;最后相加即可. 【解答】解:在 Rt△AOB 中,∵∠ABO=30°,AO=1, ∴AB=2,BO= = , ,

①当点 P 从 O→B 时,如图 1、图 2 所示,点 Q 运动的路程为

②如图 3 所示,QC⊥AB,则∠ACQ=90°,即 PQ 运动到与 AB 垂直时,垂足为 P, 当点 P 从 B→C 时,
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∵∠ABO=30° ∴∠BAO=60° ∴∠OQD=90°﹣60°=30° ∴cos30°= ∴AQ= ∴OQ=2﹣1=1 则点 Q 运动的路程为 QO=1, ③当点 P 从 C→A 时,如图 3 所示,点 Q 运动的路程为 QQ′=2﹣ ④当点 P 从 A→O 时,点 Q 运动的路程为 AO=1, ∴点 Q 运动的总路程为: 故答案为:4 +1+2﹣ +1=4 , =2

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27.如图,边长为 4 的正方形 ABCD 内接于点 O,点 E 是 B 重合) ,点 F 是

上的一动点(不与 A、

上的一点,连接 OE、OF,分别与 AB、BC 交于点 G,H,且∠

EOF=90°,有以下结论: ① = ;

②△OGH 是等腰三角形; ③四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而变化; ④△GBH 周长的最小值为 4+ 其中正确的是 ①② .

(把你认为正确结论的序号都填上) .

【考点】圆的综合题. 【分析】①根据 ASA 可证△BOE≌△COF,根据全等三角形的性质得到 BE=CF, 根据等弦对等弧得到 = ,可以判断①;

②根据 SAS 可证△ BOG ≌△ COH ,根据全等三角形的性质得到∠ GOH=90°, OG=OH,根据等腰直角三角形的判定得到△OGH 是等腰直角三角形,可以判断 ②; ③通过证明△HOM≌△GON,可得四边形 OGBH 的面积始终等于正方形 ONBM 的面积,可以判断③; ④根据△BOG≌△COH 可知 BG=CH,则 BG+BH=BC=4,设 BG=x,则 BH=4﹣x,根 据勾股定理得到 GH= = , 可以求得其最小值, 可以判断④.

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【解答】解:①如图所示,

∵∠BOE+∠BOF=90°,∠COF+∠BOF=90°, ∴∠BOE=∠COF, 在△BOE 与△COF 中, , ∴△BOE≌△COF, ∴BE=CF, ∴ = ,①正确;

②∵BE=CF, ∴△BOG≌△COH; ∵∠BOG=∠COH,∠COH+∠OBF=90°, ∴∠GOH=90°,OG=OH, ∴△OGH 是等腰直角三角形,②正确. ③如图所示,

∵△HOM≌△GON, ∴四边形 OGBH 的面积始终等于正方形 ONBM 的面积,③错误; ④∵△BOG≌△COH, ∴BG=CH, ∴BG+BH=BC=4, 设 BG=x,则 BH=4﹣x,
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则 GH=

=

, ,D 错误.

∴其最小值为 4+2 故答案为:①②.

七、解答题 28.如图所示,港口 B 位于港口 O 正西方向 120km 处,小岛 C 位于港口 O 北偏 西 60°的方向.一艘游船从港口 O 出发,沿 OA 方向(北偏西 30°)以 vkm/h 的 速度驶离港口 O,同时一艘快艇从港口 B 出发,沿北偏东 30°的方向以 60km/h 的速度驶向小岛 C,在小岛 C 用 1h 加装补给物资后,立即按原来的速度给游船 送去. (1)快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间? (2)若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1h,求 v 的值及相遇处与港口 O 的 距离.

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题. 【分析】 (1)要求 B 到 C 的时间,已知其速度,则只要求得 BC 的路程,再利用 路程公式即可求得所需的时间; (2)过 C 作 CD⊥OA,垂足为 D,设相会处为点 E.求出 OC=OB?cos30°=60 CD= OC=30 ,

,OD=OC?cos30°=90,则 DE=90﹣3v.在直角△CDE 中利用勾股定 )2+(90﹣3v)2=602,解方程求出 v=20 或 40,

理得出 CD2+DE2=CE2,即(30

进而求出相遇处与港口 O 的距离. 【解答】解: (1)∵∠CBO=60°,∠COB=30°, ∴∠BCO=90°. 在 Rt△BCO 中,∵OB=120,
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∴BC= OB=60, ∴快艇从港口 B 到小岛 C 的时间为:60÷60=1(小时) ;

(2)过 C 作 CD⊥OA,垂足为 D,设相会处为点 E. 则 OC=OB?cos30°=60 ∴DE=90﹣3v. ∵CE=60,CD2+DE2=CE2, ∴(30 )2+(90﹣3v)2=602, ,CD= OC=30 ,OD=OC?cos30°=90,

∴v=20 或 40, ∴当 v=20km/h 时,OE=3×20=60km, 当 v=40km/h 时,OE=3×40=120km.

八、解答题 29. 【探究证明】 (1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量 关系进行探究,提出下列问题,请你给出证明. 如图 1,矩形 ABCD 中,EF⊥GH,EF 分别交 AB,CD 于点 E,F,GH 分别交 AD, BC 于点 G,H.求证: 【结论应用】 (2)如图 2,在满足(1)的条件下,又 AM⊥BN,点 M,N 分别在边 BC,CD 上,若 = ,则 的值为 ; = ;

【联系拓展】
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(3)如图 3,四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN, 点 M,N 分别在边 BC,AB 上,求 的值.

【考点】相似形综合题. 【分析】 (1)过点 A 作 AP∥EF,交 CD 于 P,过点 B 作 BQ∥GH,交 AD 于 Q, 如图 1,易证 AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后运用相似三角形的性质就可 解决问题; (2)只需运用(1)中的结论,就可得到 = = ,就可解决问题;

(3)过点 D 作平行于 AB 的直线,交过点 A 平行于 BC 的直线于 R,交 BC 的延 长线于 S,如图 3,易证四边形 ABSR 是矩形,由(1)中的结论可得 = .设

SC=x, DS=y, RD=10﹣y, 则 AR=BS=5+x, 在 Rt△CSD 中根据勾股定理可得 x2+y2=25 ①,在 Rt△ARD 中根据勾股定理可得(5+x)2+(10﹣y)2=100②,解①②就可 求出 x,即可得到 AR,问题得以解决. 【解答】解: (1)过点 A 作 AP∥EF,交 CD 于 P,过点 B 作 BQ∥GH,交 AD 于 Q, 如图 1, ∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB∥DC,AD∥BC. ∴四边形 AEFP、四边形 BHGQ 都是平行四边形, ∴AP=EF,GH=BQ. 又∵GH⊥EF,∴AP⊥BQ, ∴∠QAT+∠AQT=90°. ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠DAB=∠D=90°, ∴∠DAP+∠DPA=90°, ∴∠AQT=∠DPA. ∴△PDA∽△QAB,

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∴ ∴

= =

, ;

(2)如图 2, ∵EF⊥GH,AM⊥BN, ∴由(1)中的结论可得 ∴ = = . ; = , = ,

故答案为

(3)过点 D 作平行于 AB 的直线,交过点 A 平行于 BC 的直线于 R,交 BC 的延 长线于 S,如图 3, 则四边形 ABSR 是平行四边形. ∵∠ABC=90°,∴?ABSR 是矩形, ∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS. ∵AM⊥DN, ∴由(1)中的结论可得 = .

设 SC=x,DS=y,则 AR=BS=5+x,RD=10﹣y, ∴在 Rt△CSD 中,x2+y2=25①, 在 Rt△ARD 中, (5+x)2+(10﹣y)2=100②, 由②﹣①得 x=2y﹣5③, 解方程组 (舍去) ,或 ∴AR=5+x=8, ∴ = = = . ,得 ,

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九、解答题 30.如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交与点 A(﹣3, 0) ,点 B(9,0) ,与 y 轴交与点 C,顶点为 D,连接 AD、DB,点 P 为线段 AD 上一动点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点 P 作 BD 的平行线,交 AB 于点 Q,连接 DQ,设 AQ=m,△PDQ 的面积 为 S,求 S 关于 m 的函数解析式,以及 S 的最大值; (3)如图 2,抛物线对称轴与 x 轴交与点 G,E 为 OG 的中点,F 为点 C 关于 DG 对称的对称点,过点 P 分别作直线 EF、DG 的垂线,垂足为 M、N,连接 MN, 当△PMN 为等腰三角形时,求此时 EM 的长.

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【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)可以假设抛物线解析式为 y=﹣ (x+3) (x﹣9) ,展开化简即可. (2)作 PH⊥AQ 于 H,则 AH=HQ= (如图 1 中) ,根据 S=S△ADQ﹣S△APQ 构建二次 函数,利用二次函数的性质即可解决问题. (3)分三种情形讨论①PM=PN,②NP=NM,③MN=MP,分别求出直线 PM 的解 析式,利用方程组求出点 M 坐标即可解决问题. 【解答】解: (1)∵a=﹣ ,抛物线与 x 轴交与点 A(﹣3,0) ,点 B(9,0) , ∴可以假设抛物线解析式为 y=﹣ (x+3) (x﹣9)=﹣ x2+ x+6, ∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+6,

(2)∵y=﹣ x2+ x+6=﹣ (x﹣3)2+8, ∴顶点 D 坐标(3,8) , ∵AD=DB=10, ∴∠DAB=∠DBA, ∵PQ∥BD, ∴∠PQA=∠DBA, ∴∠PAQ=∠PQA, ∴PA=PQ, ∴△PAQ 为等腰三角形, 作 PH⊥AQ 于 H,则 AH=HQ= (如图 1 中) , ∴tan∠DAB= = ,
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∴PH= m, ∴S=S△ADQ﹣S△APQ= ?m?8﹣ ?m? m=﹣ m2+4m=﹣ (m﹣6)2+12, ∴当 m=6 时,S 最大值=12.

(3)∵E( ,0) ,F(6,6) , ∴直线 EF 解析式为 y= x﹣2,直线 AD 解析式为 y= x+4, ∴EF∥AD,作 EL⊥AD 于 L, (如图 2 中) ∵AE= ,sin∠DAB= , ∴LE= × = ①PM=PN= ∴xP=3﹣ =PM, 时, =﹣ ,yP=﹣ × +4= ) , , ,

∴P(﹣ ,

∴直线 PM 解析式为 y=﹣ x+



,解得



∴点 M( ∴EM=



) = .

②NP=NM 时,设直线 EF 与对称轴交于点 K,K(3,2) , 此时点 N 在 PM 的垂直平分线上,DN=NK, ∴N(3,5) ,P( ,5) , ∴直线 PM 的解析式为 y=﹣ x+ ,



解得



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∴M( ∴EM=



) , = , , , ) ,

③PM=MN 时,cos∠MPN= = ∴PN= ,由此可得 P(﹣

∴直线 PM 解析式为 y=﹣ x﹣ ,



解得



∴M( ∴EM=

,﹣

) , = 或 或 . .

综上所述,EM=

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2017 年 3 月 12 日

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