等比数列前n项和公式的推导及性质._图文

细节决定成败 态度决定一切 引入：印度国际象棋发明者的故事 （西 萨） 引入新课 分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为： 1, 2, 2 , 2 ,?, 2 . 它是以１为首项公比是２的等比数列， 麦粒的总数为: 2 3 63 S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 . 2 3 63 S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 的方法 . (1) ,就 2 3 63 是错位相 2S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ). 减法 ! 2 3 63 64 (2) 即2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 . 2 3 这种求和 63 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2S64 ? S64 ? (2 ? 2 ? 那么这些麦粒的总质量就是 2 3 4 2 3 4 63 克，64 如果1000 粒麦粒重为 40 ) ?(1 ? 27300 ? 2多亿吨。根据统计资料显 ? 2 ? 2 ? …? 2 ) 63 ?S64 ? 2 64 ?1 ? ? 1.84 ?10 示，全世界小麦的年产量约为 6亿吨，就是说全世界都要 18446744073709551615 1000多年才能生产这么多小麦， 19 国王无论如何是不能实现发明 者的要求的。 2 30 -1 =1 07 37 41 82 3 请同学们考虑如何求出这个和？ 如何求等比数列的Sn: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 错位相减法 n ?2 n?1 Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q 2 2 3 ? a1q ① n qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q n?1 ? a1q ② n ①—② ，得 (1 ? q)Sn ? a1 ? 0 ??? 0 ? a1q (1 ? q)Sn ? a1 ? a1q n 显然，当q=1时， Sn ? na1 n a1 ? an q a1 ? a1q ? q ? 1时 : S n ? 1? q 1? q 注意： 1.使用公式求和时，需注意对 q 的情况加以讨论； ? 1和 q ? 1 2.推导公式的方法：错位相减法。 等比数列的前n项和表述为： Sn ? { na1 , ( q=1). n a1 ? an q a1 ? 1 ? q ? , 1? q 1? q ? ? (q≠1). 证法二： 借助Sn-an =Sn-1 Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 ) = a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an ) Sn = a1 ( 1 – q n ) 1–q (q ? 1) (一) 用等比定理推导 因为 所以 证法三： 用等比定理： 当 q = 1 时 Sn = n a1 等比数列的前n项和公式 已知 a1 、n、 q时 已知 a 1 、 a n、 q 时 知三求二 ? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? ? 1? q Sn ? ? ?na (q ? 1) 1 ? ? ? a1 ? an q ( q ? 1 ) ? 1? q Sn ? ? ?na1 (q ? 1) ? 等比数列前n项和公式 你了解多少？ (1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推 n a1 (q=1) 导 n a1 (q=1) Sn= Sn= n { a1 (1 ? q ) (q=1) 1-q { a1 ? a n q 1-q (q=1) (2) 等比数列前n项和公式的应用： 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提； ２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。 (3) 两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二： 例1、求下列等比数列前8项的和 1 1 1 1 (1) , , , ? (2)a1 ? 27, a9 ? ,q ? 0 2 4 8 243 1 1 ,q ? (1) 因为 a1 ? 解： 所以当 n ? 8时 2 2 1 2 8 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 255 1 256 1? 2 Sn ? 1 1 8 ? 27 ? q ( 2) 由a1 ? 27 , a9 ? , 可得 : 243 243 1 又由 q ? 0, 可得： q ? ? 3 于是当 n ? 8时 Sn 8 ? ? 1? ? 27 ?1 ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 1640 ? 1 81 1 ? (? ) 3 例2、在等比数列 ?a n ?中，求满足下列条件的 量 : (1)a1 ? a3 ? 2, 求sn 1 解： (1 ) ?q a1 ? a ? 2 an q 2 ? 2 , n ? 5 , a ? 1 (3)将a1 ? 1, an 3? ?512 ,2 S n ? ?341代入S n ? a11? ? q 可得 n ?q2 ? 1 即q n ? ? 1 a 1 ? q ?1 1 说明： 在利用公式，一定要注 意 q的取值，应把它 代入a n１ ? a q , s ? 得： )q .1 ? 1 ( ?512 n 1 ? q ? ? .解得： q? ?2 S ? na ? 2n 当 q 341 ? 1时，数列为常数列 2 ， 2 ， 2 ， ? ，所以 n 1 1 作为第一要素来考虑。 1 ?q 4 4 a5 ? a1q ? ? 2 ? 8 n n 2n ?1 a1 ( 在五个变量 a , q , n , a , S 中，只知三可求二