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等比数列前n项和公式的推导及性质.


细节决定成败 态度决定一切 引入:印度国际象棋发明者的故事 (西 萨) 引入新课 分析:由于每格的麦粒数都是前一格的2倍, 共有64格每格所放的麦粒数依次为: 1, 2, 2 , 2 ,?, 2 . 它是以1为首项公比是2的等比数列, 麦粒的总数为: 2 3 63 S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 . 2 3 63 S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 的方法 . (1) ,就 2 3 63 是错位相 2S64 ? 2(1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ). 减法 ! 2 3 63 64 (2) 即2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 . 2 3 这种求和 63 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2S64 ? S64 ? (2 ? 2 ? 那么这些麦粒的总质量就是 2 3 4 2 3 4 63 克,64 如果1000 粒麦粒重为 40 ) ?(1 ? 27300 ? 2多亿吨。根据统计资料显 ? 2 ? 2 ? …? 2 ) 63 ?S64 ? 2 64 ?1 ? ? 1.84 ?10 示,全世界小麦的年产量约为 6亿吨,就是说全世界都要 18446744073709551615 1000多年才能生产这么多小麦, 19 国王无论如何是不能实现发明 者的要求的。 2 30 -1 =1 07 37 41 82 3 请同学们考虑如何求出这个和? 如何求等比数列的Sn: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 错位相减法 n ?2 n?1 Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q 2 2 3 ? a1q ① n qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q n?1 ? a1q ② n ①—② ,得 (1 ? q)Sn ? a1 ? 0 ??? 0 ? a1q (1 ? q)Sn ? a1 ? a1q n 显然,当q=1时, Sn ? na1 n a1 ? an q a1 ? a1q ? q ? 1时 : S n ? 1? q 1? q 注意: 1.使用公式求和时,需注意对 q 的情况加以讨论; ? 1和 q ? 1 2.推导公式的方法:错位相减法。 等比数列的前n项和表述为: Sn ? { na1 , ( q=1). n a1 ? an q a1 ? 1 ? q ? , 1? q 1? q ? ? (q≠1). 证法二: 借助Sn-an =Sn-1 Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 ) = a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an ) Sn = a1 ( 1 – q n ) 1–q (q ? 1) (一) 用等比定理推导 因为 所以 证法三: 用等比定理: 当 q = 1 时 Sn = n a1 等比数列的前n项和公式 已知 a1 、n、 q时 已知 a 1 、 a n、 q 时 知三求二 ? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? ? 1? q Sn ? ? ?na (q ? 1) 1 ? ? ? a1 ? an q ( q ? 1 ) ? 1? q Sn ? ? ?

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