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2019课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理精品教育.doc

课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理

1.在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“a<b”是使“cos A>cos B”成立的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(2019·惠州模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A=π3,b=

1,△ABC 的面积为 23,则 a 的值为( )

A.1

B.2

3 C. 2

D. 3

3.(2019·“江南十校”联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知

a=2 3,c=2 2,1+ttaann AB=2bc,则 C=( )

A.30°

B.45°

C.45°或 135°

D.60°

4.(2019·陕西高考)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2

=2c2,则 cos C 的最小值为( )

3 A. 2

2 B. 2

1 C.2

D.-12

5.(2019·上海高考)在△ABC 中,若 sin2 A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 b=2asin B,则角 A 的大小为

() A.30° C.60°或 120°

B.60° D.30°或 150°

7.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,A=π3,则 C 的大小为________.

8.(2019·北京西城期末)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=

2 5,B=π4,sin C= 55,则 c=________;a=________.

9.(2019·北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=-14,则 b=________.

10.(2019·揭阳模拟)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=1,A+C

第1页

=2B,△ABC

的面积

S=3

4

3 .

(1)求 b 的长;

(2)求 cos 2C 的值.

11.(2019·广州统考)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,

且满足 3a-2bsin A=0.

(1)求角 B 的大小;

(2)若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求 AB ·AC 的值

12.(2019·山东高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan

A+tan C)=tan Atan C.

(1)求证:a,b,c 成等比数列;

(2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S.

1.(2019·湖北高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若三边的长为连

续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为( )

A.4∶3∶2

B.5∶6∶7

C.5∶4∶3

D.6∶5∶4

2.(2019·珠海调研)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 4sin2A+2 B-

cos 2C=72,且 a+b=5,c= 7,则△ABC 的面积为________.

3.(2019·深圳调研)已知函数 f(x)=sin x+cos??x-π6??,x∈R.

(1)求 f(x)的最大值;

(2)设△ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a、b,若 B=2A 且 b=2af??A-π6??,求角 C 的大

小.

答案

课时跟踪检测(二十四)

A级

1.选 C a<b?A<B?cos A>cos B.

2.选 D 由已知得12bcsin A=12×1×c×sinπ3= 23,解得 c=2,则由余弦定理可得 a2= 4+1-2×2×1×cosπ3=3?a= 3.
3.选 B 由 1+ttaann AB=2bc和正弦定理得

第2页

cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos A, 即 sin C=2sin Ccos A, 所以 cos A=12,则 A=60°. 由正弦定理得s2in 3A=s2in 2C, 则 sin C= 22, 又 c<a,则 C<60°,故 C=45°. 4.选 C 由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C,又 c2=12(a2+b2),得 2abcos C=12(a2+ b2),即 cos C=a24+abb2≥24aabb=12.
a2+b2-c2 5.选 C 由正弦定理得 a2+b2<c2,所以 cos C= 2ab <0,所以 C 是钝角,故△ABC

是钝角三角形.

6.选 D 由正弦定理得 sin B=2sin Asin B,

∵sin B≠0,

∴sin A=12,∴A=30°或 A=150°.

π

7.解析:由正弦定理可知 sin B=bsian A=

3sin 3

3=12,所以 B=6π或56π(舍去),所以 C

=π-A-B=π-π3-6π=π2.

答案:π2 8.解析:根据正弦定理得sinb B=sinc C,则 c=bssiinnBC=2 2,再由余弦定理得 b2=a2+

c2-2accos B,即 a2-4a-12=0,(a+2)(a-6)=0,解得 a=6 或 a=-2(舍去).

答案:2 2 6
9.解析:根据余弦定理代入 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×??-14??,解得 b=4.
答案:4 10.解:(1)∵A+C=2B,A+B+C=π,∴B=π3,

第3页

∵S=12acsin

B=3

4

3,∴c=as2inS

2×3 B=


3 4
=3. 3 2

由余弦定理得 b2=a2+c2-2ac cos B=1+9-6×12=7,

∴b= 7.

(2)由正弦定理知sinb B=sinc C,

csin B



3 2

3 21

∴sin C= b = 7 = 14 ,

∴cos 2C=1-2sin2C

=1-2×??3 1421??2=-1143.
11.解:(1)因为 3a-2bsin A=0,

所以 3sin A-2sin Bsin A=0,

因为

sin

A≠0,所以

sin

B=

3 2.

又 B 为锐角,所以 B=π3.

(2)由(1)可知,B=π3.因为 b= 7.

根据余弦定理,得 7=a2+c2-2accosπ3,

整理,得(a+c)2-3ac=7.

由已知 a+c=5,得 ac=6.

又 a>c,故 a=3,c=2.

b2+c2-a2 7+4-9 7 于是 cos A= 2bc = 4 7 =14 ,
所以 AB ·AC =| AB |·| AC |cos A=cbcos A=2× 7×147=1.
12.解:(1)证明:在△ABC 中,

由于 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,

第4页

所以

sin

B??csoins

AA+csoins

CC??=csoins

A sin A·cos

CC,

因此 sin B(sin Acos C+cos Asin C)

=sin Asin C,

所以 sin Bsin(A+C)=sin Asin C.

又 A+B+C=π,

所以 sin(A+C)=sin B, 因此 sin2B=sin Asin C. 由正弦定理得 b2=ac,

即 a,b,c 成等比数列.

(2)因为 a=1,c=2,所以 b= 2,

由余弦定理得

a2+c2-b2 12+22-2 3 cos B= 2ac = 2×1×2 =4,

因为 0<B<π,

所以 sin B= 1-cos2B= 47,

故△ABC 的面积

S=12acsin

B=12×1×2×

47=

7 4.

B级

1.选 D 由题意可得 a>b>c,且为连续正整数,设 c=n,b=n+1,a=n+2(n>1,且

?n+1?2+n2-?n+2?2

n∈N*),则由余弦定理可得 3(n+1)=20(n+2)·

,化简得 7n2-13n-60=

2n?n+1?

0,n∈N*,解得 n=4,由正弦定理可得 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4.

2.解析:因为

A+B 4sin2 2 -cos

2C=72,

所以 2[1-cos(A+B)]-2cos2C+1=72,

第5页

2+2cos C-2cos2C+1=72,cos2C-cos C+14=0,

1

1 a2+b2-7

解得 cos C=2.根据余弦定理有 cos C=2= 2ab ,

ab=a2+b2-7,3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18,ab=6,所以△ABC 的面



1 S△ABC=2absin

C=12×6×

3 33 2= 2 .

答案:3 2 3

3.解:(1)f(x)=sin

x+cos??x-6π??=sin

x+

3 2 cos

x+12sin

x=32sin

x+

3 2 cos

x=

3

sin??x+6π??,

所以 f(x)的最大值为 3.

(2)因为 b=2af??A-π6??,由(1)和正弦定理,

得 sin B=2 3·sin2A.

又 B=2A,所以 sin 2A=2 3sin2A,

即 sin Acos A= 3sin2A,

而 A 是三角形的内角,所以 sin A≠0,故 cos A= 3sin A,tan A= 33,所以 A=π6,B =2A=π3,C=π-A-B=π2.

第6页


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