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2018-2019年浙江版高考数学一轮复习(讲+练+测) 专题6.1 数列的概念与简单表示法(讲)及答案

第 01 节 数列的概念与简单表示法 【考纲解读】 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 1.高频考向:利用 an 与 Sn 的关系求通 项,递推数列求通项. 2.低频考向:数列的周期性、单调性及 数 列 的 概 了解数列的概念和表 最值. 念 和 表 示 示方法 (列表、 图象、2016 浙江 13 3.特别关注: 方法 公式) (1)构造特殊数列求通项; (2)利用数列的单调性求参数范围或数 列项的最值. 【知识清单】 一.数列的概念与通项公式 1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数, 称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是 第几项,则在数列中是第几项.一般记为数列 {an } . 对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这 些“数”的排列顺序有关,这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的数相同而 排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区别. 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 类型 有穷数列 满足条件 项数有限 无穷数列 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准 分类 摆动数列 项数无限 an?1 ? an an?1 ? an an?1 ? an 存在正数 M ,使 an ? M 其中 n∈N+ an 的符号正负相间,如 1, -1,1,-1,… 3.数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数,其定义域 是正整数集 N ? 和正整数集 N ? 的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线,而是一串 孤立的点. 4.数列的通项公式: 如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数 列的通项公式.即 an ? f ? n ? ,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通 项公式. (n ? 1) ?S 5.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 和通项 an 的关系: an ? ? 1 . ?Sn ? Sn?1 (n ? 2) 对点练习: 已知数列的前几项为 ? 【答案】 an ? ? ?1? n 1 1 1 1 , ,? , ,…,则数列的一个通项公式为 1? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 . 1 . n ? n ? 1? 二.数列的性质 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量 依次从小到大取值时所对应的一列函数值, 就是数列. 所以数列的函数的图像不是连续的曲线, 而是一串孤立的点,因此,在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法 的特殊性. 对点练习: 已知数列 an ? 【答案】5 n ?1 , ( n ? N *) ,则数列 {an } 最小项是第 3n ? 16 项. 【考点深度剖析】 关于数列的概念问题,虽然在高考中很少独立命题,但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意 识却融入数列的试题之中,因此对本节要细心领会,认真掌握. 【重点难点突破】 考点 1 数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 【1-1】 【2018 届贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考(一) 】只用“加减乘除”就可 解决问题.88511,16351,?,10251;“?”处应填的数字是__________. 【答案】73155 【解析】1+6=7 3*5=15 5 ?1 ? 5 6-3=3 故得到 73155. 【1-2】 【2018 届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底考试理】若 有穷数列 a1 , a2 , ???, an ? n ? N * ? 满足 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ,就称该数列为“相邻等和数列”,已知 各项都为正整数的数列 ?an ? 是项数为 8 的“相邻等和数列”,且 a1 ? a2 ? 8,a2 ? a3 ? 9 ,则满 足条件的数列 ?an ? 有__________个. 【答案】4 【 解 析 】 设 a1 ? a , 由 题 意 知 , a2 ? 8 ? a, a3 ? 1 ? a, a4 ? 7 ? a , a5 ? 2 ? a, a6 ? 6 ? a , ∴ 1 ? a ? 4, a ? N * , 则满足条件的数列 ?an ? 有 a7 ? 3 ? a, a8 ? 5 ? a .∵数列 ?an ? 各项都为正整数, 4 个. 【领悟技法】 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与 n 之 间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对 于正负符号变化,可用 ? ?1? 或 ? ?1? n n ?1 来调整. 2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一 般”的思想.由不完全归纳法得出的结果是不可靠,要注意代值验证. 3.对于数列的通项公式要掌握:①已知数列的通项公式,就可以求出数列的各项;②根据 数列的前几项,写出数列的一个通项公式,这是一个难点,在学习中要注意观察数列中各项与 其序号的变化情况,分解所给数列的前几项,看看这几项的分解中.哪些部分是变化的,哪些 是不变的, 再探索各项中变化部分与序号的联系, 从而归纳出构成数列的规律, 写出通项公式. 【触类旁通】 【变式一】 【2018 届重庆市第一中学高三上学期第一次月考】我们把满足 的数列 叫做牛顿数列,已知函数 A. B. C. D. ,且数列 为牛顿数列,设 ,则 ( ) 【答案】C 【变式二】 【2018 届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 , an?1 ? ? 2n ? ? ? an

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