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【名师点睛】高中数学好题速递400题(第101—150题,word版,含答案解析)

好题速递 101 1 . 在 ?ABC 和 ?AEF 中 , B 是 EF 的 中 点 , AB? EF?1 , BC ? 6 , CA ? 33 , 若 ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? AB? AE? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角余弦值为 。 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解法一: AB?AE ? AC ?AF ? 2 ,则 AB ? AB ? BE ? AC ? AB ? BF ? 2 ? ? ? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB ? AB?BE ? AC ?AB ? AC ?BF ? 2 ? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ?2 33 ? 1 ? 36 ? ?1 , BE ? ? BF 因为 AB ? 1, AB?AC ? 33 ? 1 ? 2 33 ??? ? ???? ??? ? 所以 1 ? BF ? AC ? AB ? 1 ? 2 ? ? ??? ? ??? ? 所以 BF ?BC ? 2 所以 ? 6cos? ? 2 ,所以 cos? ? 1 2 2 3 解法二:设 AE ? x, AF ? y, CF ? z 则 1? x ? 1 ? x2 ? 1 2 2 4 ? 33 y 33 ? y ? z ? 2 2x 2 33 y 3 x2 ? y 2 ? z 2 ? 29 ? 0 4 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? 2 ??? ?2 5 又因为 AB 为 ?AEF 中线,所以 4 AB ? EF ? 2 AE ? AF ,即 x 2 ? y 2 ? 所以 z 2 ? 32 ? ? 2 1 4 36 ? 1 1 ? 32 4 4?2 1 3 2? ?6 2 在 ?CBF 中, cos ? ? 2.一个口袋里装着一个红球、一个黄球、一个蓝球、一个白球,这些小球除了颜色之外, 没有区别,从中一次性摸出 2 个球。若摸得红球记 3 分,摸得黄球记 2 分,摸得蓝球记 1 分,摸得白球得 0 分,则得分和至少为 4 分的概率是 。 解:得分和至少为 4 分的情况为摸出红和黄或摸出红和蓝,故 P ? 2 1 ? 2 C4 3 好题速递 102 1.将正方形的四个角(四个全等的小等腰直角三角形)分别沿其底边向同侧折起,使其与 原所在平面成直二面角,则所形成的空间图形的 12 条棱所在的直线中,共有异面直线 对。 解:可以将空间图形放回正方体内,问题就转化为 8 条侧面对角线与底面 4 条棱所在直线 组成几对异面直线。 以对角线 BE 为一条,共有 AH , GD, FC 三条对角线异面,共有 还有 AD, CD 两条底边棱异面,共有 2 ? 8 ? 16 对 所以共有 28 对。 2.某次中俄军演中,中方参加演习的有 4 艘军舰,3 架飞机;俄方有 5 艘军舰,2 架飞 机。从中俄两方中各选 2 个单位(1 艘军舰或 1 架飞机都作为一个单位,所有的飞机和军 舰都是不同的) ,则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 解: C C C ? C C C ? 120 ? 60 ? 180 1 4 1 3 2 5 1 5 1 2 2 4 3?8 ? 12 对 2 种. 好题速递 103 1.正 ?ABC , DE ? 3 , DF ? 2 3 , ?EDF ? 90? ,则满足条件的正 ?ABC 边长的最大值 是 解: . 2 3 sin ? 3 ? BD ? 2? ? ?? ? ,解得 BD ? 4sin ? ? 2? ? ? 3 ? sin ? ?? ? ? 3 ? 3 sin ? 3 ? ?? CD ? ,解得 CD ? 2 3 sin ? ? ? ? ?? 6? ? ? sin ? ? ? ? 6? ? ? 3 ? ? 3 ? 1 1 cos ? ? sin ? ? 2 3 sin ? ? cos ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? 所以 BC ? BD ? CD ? 4 ? ? 5sin? ? 3 3cos? ? 2 13sin ?? ? ? ? 故 BCmax ? 2 13 2.用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数,满足 1 不在左右两端,2,4,6 三个 偶数中有且仅有两个偶数相邻,则这样的六位数共有 解:288 个 个. 好题速递 104 1.已知函数 y ? f ? x ? 是 R 上的奇函数,且 f ? x ? 在区间 ? ??,0 ? 上单调递增, f ? ?1? ? 0 。 设 ? ? ? ?? g ? x ? ? cos2 x ? m sin x ? 2m , 集 合 M ? ?m | ?x ? ?0, ? , g ? x ? ? 0? , 集 合 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? 。 N ? ?m | ?x ? ?0, ? , f ? ? g ? x ?? ? ? 0? ,则 M ? N ? 2 ? ? ? ? 解析:易得 f ?1? ? f ? ?1? ? 0 ,,所以 f ? x ? ? 0 ? x ? ?1 或 0 ? x ? 1 ? ? ? ?? 由此 N ? ?m | ?x ? ?0, ? , g ? x ? ? ?1 或 0 ? g ? x ? ? 1? ? 2? ? ? ? ? ? ?? 所以 M ? N ? ?m | ?x ? ?0, ? , g ? x ? ? ?1 ? ? 2? ? ? ? ?? 即 ?x ? ? 0, ? , g ? x ? ? cos2 x ? m sin x ? 2m ? ?1 恒成立 ? 2? 即 1 ? sin 2 x ? m sin x ? 2m ? 1 ?

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