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三角函数的诱导公式的练习题及答案


1、在 ?ABC 中,若 sin ? A ? B ? C ? ? sin ?B ? A ? C ? ? 0 , 试判断 ?ABC 的形状。

三角函数的诱导公式的答案

(2)、 ? 是第三象限, sin ? ? ? ;? cos ? ? ?

3 5

4 ; 5

? sin ? A ? B ? C ? ? sin ?B ? A ? C ? ? 0 ? sin??? ? C ? ? C ? ? sin?B ? ?? ? B ?? ? 0 ? sin ?? ? 2C ? ? sin ?2 B ? ? ? ? 0 ? sin 2C ? sin ?? ? 2 B ? ? 0 ?B ?C ? ? 2C ? ? ? 2 B或2C ? ? ? 2 B ? ?

? f ?? ? ? ?

4 5

(1)、 f ?? ? ?

2 cos 3 ? ? sin 2 ?2? ? ? ? ? sin(

?? ) ? 3 2 2 ? 2 cos 2 ?? ? ? ? ? cos?? ? ?

?

(3)、 f ?? 1860?? ? cos?? 1860?? ? cos?? 6 ? 360? ? 300??

? cos 300? ? cos?360? ? 60?? ? cos 60? ?

1 . 2

?
2

或B ? C

? ?ABC 为直角三角形或等腰三角形。

2、设 f ?x ? ? a sin ??x ? ? ? ? b cos??x ? ? ?, 其中 a, b, ? , ? 都是非零实数,若 f ?2010 ? ? ?1, 则 f ?2011? ? 。

? f ?x ? ? a sin ??x ? ? ? ? b cos??x ? ? ?, f ?2010 ? ? ?1;

? f ?2010 ? ? a sin ?2010? ? ? ? ? b cos?2010? ? ? ? ? ?1 ? a sin ? ? b cos ? ? ?1 ? f ?2011? ? a sin ?2011? ? ? ? ? b cos?2011? ? ? ? ? a sin?2010? ? ?? ? ? ?? ? b cos?2010? ? ?? ? ? ?? ? a sin ?? ? ? ? ? b cos?? ? ? ? ? ??a sin ? ? b cos ? ? ? 1.

1 ? ? cos ?x( x ? 2 ) ? sin ?x?x ? 0 ? 4.设 f ?x ? ? ? g ?x ? ? ? 1 ? f ?x ? 1? ? 1?x ? 0 ? ? g ?x ? 1? ? 1( x ? ) 2 ? 1 1 5 3 求 f ( ) ? g ( ) ? g ( ) ? f ( ) 的值。 3 4 6 4 1 1 5 3 f ( ) ? g( ) ? g( ) ? f ( ) 3 4 6 4 1 ? 5 3 ? f ( ? 1) ? 1 ? cos ? g ( ? 1) ? 1 ? f ( ? 1) ? 1 3 4 6 4

2 cos 3 ? ? sin 2 ? ? cos ? ? 3 ? 2 ? 2 cos 2 ? ? cos ? 2 cos 3 ? ? 2 ? ?cos 2 ? ? cos ? ? 2 ? 2 cos 2 ? ? cos ? 2?cos 3 ? ? 1? ? cos ? ?cos ? ? 1? ? 2 ? 2 cos 2 ? ? cos ? 2?cos ? ? 1??cos 2 ? ? cos ? ? 1? ? cos ? ?cos ? ? 1? ? 2 ? 2 cos 2 ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ? ? 1 (2)、 f ( ) ? cos ? 1 ? ? 3 3 2 ?
3 5 sin ?3? ? ? ? tan ?2? ? ? ? cos?5? ? ? ? 求 的值。 tan ?? ? ? ? tan ?3? ? ? ?sin ?2? ? ? ? sin ?3? ? ? ? tan ?2? ? ? ? cos?5? ? ? ? tan ?? ? ? ? tan ?3? ? ? ?sin ?2? ? ? ? sin ?? ? ? ? tan ? cos?? ? ? ? ? tan ? tan ?? ? ? ?sin ?
6、已知 sin ?? ? ? ? ? ? ,

2 2 1 1 ? f (? ) ? ? g (? ) ? f (? ) ? 1 3 2 6 4 2 2 ? ? ? sin(? ? ) ? ? cos(? ) ? sin(? ) ? 1 3 2 6 4 2 2 ? ? ? ? sin ? ? ? cos ? sin ? 1 3 2 6 4

3、已知 ? 是第三象限

sin ?? ? ? ? cos?2? ? ? ? tan(?? ? 2? ) f ?x ? ? tan ?? ? ? ? ?sin ?3? ? ? ? (1)、化简 f ?? ?;

2 1 2 ? ? ?1 3 2 2 2 ? 1 1 1 ? ? sin ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? 1 3 2 2 2 ? ? sin(? ? )?
2 cos 3 ? ? sin 2 ?2? ? ? ? ? sin(

?

3 5 (3)、若 ? ? ?1860?, f ?? ?;

(2)、若 sin ? ? ? ; 求 f ?? ?;

? sin ? tan ? ?? cos ? ? cos ? cos 2 ? ? ? tan ? tan ? sin ? tan ? sin ? 3 3 16 ? sin ?? ? ? ? ? ? ,? sin ? ? ;? cos 2 ? ? 5 5 25 16 5 16 ? 上式 ? ? ? 25 3 15 ?
? sin ?x?x ? 0 ? 11 11 , 则 f (? ) ? f ( ) ? ? ? ? ? f x ? 1 ? 1 x ? 0 6 6 ?

?

sin ?? ? ? ? cos?2? ? ? ? tan(?? ? 2? ) (1)、 f ?x ? ? tan ?? ? ? ? ?sin ?3? ? ? ? sin ? cos ? ?? tan ? ? ? ? sin ? ?? tan ? ?sin ?

5、设 f ?? ? ?

(1)、化简 f ?? ?;

2 2 ? 2 cos 2 ?? ? ? ? ? cos?? ? ?

?? ) ? 3

7、已知 f ?x ? ? ?

(2)、求 f ( ) 的值。

?

3

11 11 11 5 ) ? f ( ) ? sin(? ? ) ? f ( ) ? 1 6 6 6 6 ? 1 1 ? ? sin ? f (? ) ? 2 ? ? sin(? ) ? 2 ? ?2 6 6 2 6 f (?

8、在 ?ABC 中,若 sin ?2? ? A? ?

2 sin ?? ? B ?, 3 cos A

? ? 2 cos?? ? B ?, 求 ?ABC 的各内角的度数。 ? sin ?2? ? A? ? 2 sin ?? ? B ? 3 cos A ? ? 2 cos?? ? B ?
? sin A ? 2 sin B, 3 cos A ? 2 cos B; ? sin A ? 3 cos A ? 2 sin B ? 2 cos B
2 2 2 2

(3)、

?1 ? 2 cos 2 A ? 2;? 2 cos 2 A ? 1;? cos A ? ?

2 2

sin 960? ? cos?? 1290?? 43 sin(? ? ) 6 sin ?2 ? 360? ? 240?? cos?3 ? 360? ? 210?? ? 7 ? sin(6? ? ? ) 6 sin ?180? ? 60?? cos?180? ? 30?? ? ? ? sin(? ? ) 6

(6)、 ?sin 1970? ? cos1990???sin 1970? ? cos1990??

?sin 1970? ? cos1990???sin 1970? ? cos1990??
? sin 2 1970? ? cos 2 1990? ? ?sin (22 ? 90? ? 10?)? ? ?sin(22 ? 90? ? 10?)?
2

2

? sin 2 10 ? sin 2 (?10) ? 0

若 cos A ? ?

2 3 , 则 cos B ? ? ,? A, B 为钝角,舍去。 2 2

?

? sin 60??? cos 30?? sin

2 ? ? cos A ? ,? A ? , cos B ? 2 4 ? 7? ? B ? ;? C ? 6 12
9、已知 cos( 的值。

?

?

?

3

3 cos A ? ; 2 2

6

3 3 ? (? ) 2 2 ?3 1 2 2

11、设 tan(? ?

8 ? ) ? m, 7

(4)、 sin ?? 1200?? ? cos1290? ? cos?? 1020?? ? sin ?? 1050??

?
6

??) ?

3 5? ? , 求 cos( ? ? ) ? sin 2 (? ? ) 3 6 6

? cos( ?-

?
6

??) ?

3 ? ? ? ? ,? cos ?? - ( ? ? )? ? - cos( ? ? ) 3 6 6 ? ?

? tan 945? ? ?sin ?3 ? 360? ? 120?? cos?3 ? 360? ? 210?? ? cos (2 ? 360? ? 300?)sin ?2 ? 360? ? 330?? ? tan ?2 ? 360? ? 225?? ? ?sin ?180? ? 60?? cos?180? ? 30?? ? cos?360? ? 60?? sin ?360? ? 30?? ? tan ?180? ? 45??
? 3 3 1 1 ? ? ? ?1 ? 2 2 2 2 2

3 ? ? 2 ; sin 2 (? ? ) ? 1 ? cos 2 ( ? ? ) ? 3 6 6 3

? cos(

5? ? 3 2 2? 3 ? ? ) ? sin 2 (? ? ) ? - ?6 6 3 3 3

10、求值

2 ? ? ) cos(k? ? )?k ? ? ? 3 6 ①当 k ? 2n?n ? Z ? ,则
(5)、 sin(k? ?

(1)、 sin 135? ? cos 225? ? tan ?? 120?? (2)、 sin ?? 945?? ? cos(?

? 3?

29 ?) 6

2 ? 2 ? 3 sin(k? ? ? ) cos(k? ? ) ? ? sin ? cos ? ? 3 6 3 6 4

sin ?? 945?? ? cos(?

29 ?) 6

? sin ?? 11? 90? ? 45?? ? cos(?10 ? ? cos 45? ? cos

?
2

?

?
6

②当 k ? 2n ? 1?n ? Z ? ,则 2 ? sin(k? ? ? ) cos(k? ? )
)
3 6 2 ? ? sin (2n? ? ? ? ? ) cos(2n? ? ? ? ) 3 6 ? ? 3 ? sin (? cos ) ? ? 3 6 4

15 13 ? ? ? ) ? 3 cos(? ? ? ) 7 7 求 的值。 20 22 sin( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 7 7 15 13 sin( ? ? ? ) ? 3 cos(? ? ? ) 7 7 20 22 sin( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 7 7 8 8 ? ? ? ? sin ?? ? ( ? ? ? )? ? 3 cos ?? 3? ? ( ? ? ? )? 7 7 ? ? ? ? ? 8 8 ? ? ? ? sin ?4? ? ( ? ? ? )? ? cos ?2? ? ( ? ? ? )? 7 7 ? ? ? ? 8 8 ? ? ? sin( ? ? ? ) ? 3 cos ?? ? ( ? ? ? )? 7 7 ? ? ? 8 8 ? sin( ? ? ? ) ? cos? sin( ? ? ? ) 7 7 8 8 sin( ? ? ? ) ? 3 cos( ? ? ? ) 7 7 ? 8 8 sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) 7 7 8 tan( ? ? ? ) ? 3 m?3 7 ? ? 8 tan( ? ? ? ) ? 1 m ? 1 7 sin(

?
2

?

?
6

?

2 3 ? ? 2 2

2? 3 2

12、已知 a ? tan(? ? ), b ? cos

7 6

23 33 ? , c ? sin(? ? ) ,则 4 4

? f ?12 ? n ? ? cos ? cos(2? ?

?n ? 12? ?
6

17、下列三角函数:① sin(n? ?

a, b, c 的大小关系为

7 ? 3 a ? tan(? ? ) ? tan ? ? ? 6 6 3 23 ? 2 b ? cos ? ? cos ? 4 4 2 33 ? 2 ? ) ? ? sin ? ? 4 4 2 ?b ? a ? c c ? sin(?

n? n? ) ? cos ? f ?n ? 6 6 ? f ?1? ? f ?2 ? ? ? ? f ?6 ? ? 2? 6? ? ? ? cos ? ?1 6 6 6 f ?7 ? ? f ?8? ? ? ? f ?12 ? ? 1,? ? f ?1? ? f ?2 ? ? ? f ?12 ? ? 0 ? f ?1? ? f ?2 ? ? ? ? f ?2010? ? f ?1? ? f ?2 ? ? ? ? f ?6 ? ? ?1 cos ? cos

4 ? ? ); ② cos(2n? ? ); 3 6

? ③ sin(2n? ? );
3

?? ? ④ cos ??2n ? 1?? ? ?; 6
? ?
?

?

?? ? ⑤ sin ??2n ? 1?? ? ?.?n ? Z ?. 3
?
其中与 sin

?
3

数值相同的是

②③⑤ 。

? ? ? sin 3 (n为奇数) 4 ① sin(n? ? ? ) ? ? ? 3 ?? sin (n为偶数) 3 ?

13、已知 ? 为锐角, 2 tan ?? ? ? ? ? 3 cos(

?

2 tan ?? ? ? ? ? 6 sin ?? ? ? ? ? 1 ? 0, 则 sin ? ?

? ? ) ? 5 ? 0,
1 15、已知 cos?75? ? ? ? ? , 且 ?180? ? ? ? ?90?, 则 3 。 cos?15? ? ? ? ?

? ? ? ② cos(2n? ? ) ? cos ? sin

? 2 tan ?? ? ? ? ? 3 cos(

?

③ sin(2n? ? ) ? sin
3
? ?

6 ?

6 ?
3

3

2 tan ?? ? ? ? ? 6 sin ?? ? ? ? ? 1 ? 0, ? ?2 tan ? ? 3 sin ? ? 5 ? 0, tan ? ? 6 sin ? ? 1 ? 0
sin ? sin ? ? 3;? ?9 cos ? cos 2 ? sin 2 ? 9 ? ? 9;? sin 2 ? ? ;? ?为锐角 1 ? sin 2 ? 10 ? tan ? ? 3,? tan ? ?
2

? ? ) ? 5 ? 0,

cos?15? ? ? ? ? cos?90? ? ?75? ? ? ?? ? sin ?75? ? ? ? ? ?180? ? ? ? ?90?;? ?105? ? 75? ? ? ? ?15? 1 ? cos?75? ? ? ? ? ? 0;? ?90? ? 75? ? ? ? ?15? 3 ? sin ?75? ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?75? ? ? ? ? ? ? cos?15? ? ? ? ? ? 2 3 3 2 3 3

?? 5 ? ? ④ cos ??2n ? 1?? ? ? ? cos ? ? ? sin 6 6 3
? ? ⑤ sin ??2n ? 1?? ? ? ? sin 3? 3 ? ??

? sin ? ?

3 10 10

14、已知 f ?n ? ? cos

f ?2010? ?

n? ?n ? Z ?, 则 f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? 6

16、若 f ?sin x ? ? cos 2010 x, 则 f ?cos x ? ?



? ? ? ? ? ? f ?cos x ? ? f ?sin( ? x)? ? cos ?2010( ? x)? 2 2 ? ? ? ? ? cos(502 ? 2? ? ? ? 2010 x) ? cos(? ? 2010 x)
? ? cos 2010 x


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